人教版四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)案春季培優(yōu)：最值問(wèn)題(解析版)

抑祖塞主（1）如果兩個(gè)正整數(shù)的和一定，那么這兩個(gè)正整數(shù)的差越小，它們的乘積越大；兩個(gè)正整數(shù)的差越大，它們的乘積越小。（2）如果兩個(gè)正整數(shù)的乘積一定，那么這兩個(gè)正整數(shù)的差越小，那么它們的和也越小；兩個(gè)正整數(shù)的差越大，那么它們的和也越大。（3）把一個(gè)正整數(shù)分拆成若干個(gè)正整數(shù)之和，如果要使這若干個(gè)正整數(shù)的乘積最大，這些正整數(shù)應(yīng)該都是2或3,且2最多不要超過(guò)兩個(gè)。（4）遇到一些其他類似的問(wèn)題，求最大或最小還要根據(jù)實(shí)際的條件解決問(wèn)題。a、力是1,2,3,…，99,100中兩個(gè)不同的數(shù)，求（"+8）÷（"-匕）的最大值。a+b ,分析：要使口的值最大，必須讓分母最小，分子最大?？梢耘袛喑觥ǖ淖钚≈祽?yīng)是1,即〃、力是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)；〃+）的最大值是199,即“=100,0=99。a+b解：當(dāng)〃=100,)=99時(shí),100+99 有最大值 a-b100-99=199o（題中〃、》是兩個(gè)變量，通過(guò)對(duì)它們的控制，使得分?jǐn)?shù)的分子最大，分母最小，從而確保分?jǐn)?shù)的值最大?？疾炝藰O端情形的方法）難度系數(shù)：AI.秣》是5,7,9,…,195,197,199中兩個(gè)不同的數(shù)，求（〃+））-（〃—］）的最大值。（底稿）分析：要使（a+b）-（a-b）的值最大，必須讓被減數(shù)最大，減數(shù)最小?？梢灾繿+b的最大值是197+是9=396,a—b的最小值是2。即a:199,b=197。解：當(dāng)a=199,b=197時(shí)，（a+b）-（a—b）有最大值（199+197）-（199—197）=394難度系數(shù)：A例2“12345678910111213 484950”是一個(gè)位數(shù)很多的多位數(shù)，從中劃去80個(gè)數(shù)字，使剩下的數(shù)字（先后順序不變）組成一個(gè)多位數(shù)，問(wèn)這個(gè)多位數(shù)最大是多少？解析：首先注意觀察這個(gè)多位數(shù)，它是由1至50的連續(xù)自然數(shù)排列而成的，共有數(shù)字1×9+2×41=91（個(gè)），劃去80個(gè)數(shù)字，剩下的將是一個(gè)11位數(shù)。要使剩下的多位數(shù)最大，應(yīng)該保證較大的數(shù)字在較高的數(shù)位上。題中的多位數(shù)中一共含有5個(gè)“9”。顯然前4個(gè)9應(yīng)當(dāng)保留下來(lái)，但當(dāng)?shù)谖鍌€(gè)9出現(xiàn)在第五位上時(shí)，就不能構(gòu)成11位數(shù)。同樣4個(gè)9后，如果是8,也不能組成11位數(shù)。劃過(guò)去的過(guò)程如下圖。1234567秋9I0II……18192021……28293031……38394041……4647484950X V ' '' V ' '' V ' '' V ' '' V '劃去8個(gè) 劃去19個(gè) 劃去19個(gè) 劃去19個(gè) 劃去15個(gè)綜上，剩下的數(shù)字組成的最大多位數(shù)是99997484950o難度系數(shù)：B棟￡從12位數(shù)376247859165中劃去6個(gè)數(shù)字，使剩下的6個(gè)數(shù)字（先后順序不改變）組成的六位數(shù)最小。這個(gè)最小的六位數(shù)是多少?解析：要使刪去6個(gè)數(shù)字后，所得的六位數(shù)是最小的，那么所得的數(shù)的最高位越小越好，不難想象最高位若是L那么需要?jiǎng)h除前面的7個(gè)數(shù)字，不合題意，因此最高位只能為2,從而2前面的三個(gè)數(shù)字都要?jiǎng)h除，接下來(lái)同理考慮從最高位到最低位要依次盡可能的小，所以，最后我們可確定最小的6位數(shù)為245165。難度系數(shù)：A瓶多把50拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，要求自然數(shù)的乘積盡量大，應(yīng)如何拆？解：把一個(gè)自然數(shù)拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，要使它們的乘積最大，應(yīng)盡量拆成若干個(gè)3,如果剩余1,則將一個(gè)3與1改成2個(gè)2,這時(shí)乘積最大，50=16x3+2,所以，應(yīng)把50拆成16個(gè)3與1個(gè)2相加，此時(shí)乘積最大。難度系數(shù)：B外.?把40拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，要求自然數(shù)的乘積盡量大，應(yīng)如何拆？解：把一個(gè)自然數(shù)拆成若干個(gè)自然數(shù)的和，要使它們的乘積最大，應(yīng)盡量拆成若干個(gè)3,如果剩余1,則將一個(gè)3與1改成2個(gè)2,這時(shí)乘積最大，40=13x3+1,所以，應(yīng)把40拆成12個(gè)3與2個(gè)2相加，此時(shí)乘積最大。難度系數(shù)：B某小學(xué)師生共100人去體育館看籃球比賽，體育館每排有30個(gè)座位，為了使得每排上坐的學(xué)生人數(shù)不一樣，問(wèn)：至少要安排多少排座位？至多要安排多少排座位？解析：如果安排3排座位的話，那么至多能坐30+29+28=87（人），不到100人，不可能。下面我們舉例說(shuō)明，可以把這些學(xué)生安排到4排座位上。如每排上的人數(shù)依次為：30,29,28,13。所以至少要安排4排座位。如果安排14排座位，那么至少能坐1+2+3+…+14=（1+14）x14÷2=105（人）超過(guò)了100人，不可能。下面我們舉例說(shuō)明，可以把這些學(xué)生安排到13排座位上，如每排上的人數(shù)依次為：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,22。難度系數(shù)：B與林卒一排有20個(gè)座位，其中有些座位已經(jīng)有人，若新來(lái)一個(gè)人，他無(wú)論坐在何處，都有一個(gè)人與他相鄰，那么原來(lái)至少有多少人就座?解析：o?oo?oo?oo?oo?oo?oo?某農(nóng)戶要在雞舍一面的墻外，用長(zhǎng)為40米的竹籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的場(chǎng)地放養(yǎng)雞群,這個(gè)場(chǎng)地的一面就利用墻。問(wèn)怎么選擇這個(gè)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬才能使它的面積最大？最大的面積是多少？（底稿）分析：場(chǎng)地的竹籬笆不是四周，而只有三面，應(yīng)該設(shè)法使它成為四周是竹籬笆的長(zhǎng)方形場(chǎng)地?？梢约僭O(shè)在原有墻的另一側(cè)，也圍成一個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形場(chǎng)地，并把中間的墻除去（如下圖所示）形成一個(gè)大長(zhǎng)方形，（所求長(zhǎng)方形場(chǎng)地就是所假設(shè)的大長(zhǎng)方形面積的一半）。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是40X2=80（米），如果這個(gè)大的長(zhǎng)方形面積最大，那么所求長(zhǎng)方形場(chǎng)地的面積也就最大。為了使長(zhǎng)方形的面積最大，它的長(zhǎng)與寬應(yīng)該盡可能接近或者相等，所以它的邊長(zhǎng)必須是80÷4=20（米）的正方形。所以所求面積應(yīng)該是這個(gè)正方形面積的一半。20解：當(dāng)長(zhǎng)方形場(chǎng)地的長(zhǎng)為40÷2=20（米），寬為（40—20）÷2=10（米）時(shí)，它的面積最大。最大面積為：20X10=200（平方米）答：這個(gè)場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬分別是20米、10米時(shí)，它的面積最大，最大面積為200平方米。難度系數(shù)：B承把一根28厘米的鐵絲折成一個(gè)直角，將它的兩端靠著直尺，得到一個(gè)直角三角形（如下圖所示）。怎樣折鐵絲，得到的直角三角形面積最大？最大面積是多少？解析：兩條直角邊都是28÷2=14（厘米），得到的直角三角形面積最大。最大面積是：14X14÷2=98（平方厘米）答：直角三角形的兩條直角邊都是14厘米時(shí)，面積最大，且為98平方厘米。租”一次數(shù)學(xué)考試的滿分是100分，9位同學(xué)在這次考試中平均得分是90分，這9位同學(xué)的得分互不相同，其中最后兩名同學(xué)分別得64分、67分。那么，得分排在第五名的同學(xué)至少得了多少分？（底稿）分析：除了最后兩名同學(xué)外，其它7名同學(xué)的總成績(jī)可以計(jì)算得到。要第五名同學(xué)的得分盡可能少，則前面四位同學(xué)的得分應(yīng)該盡可能高，后三位同學(xué)的得分應(yīng)盡可能接近。解：90X9—64—67=679（分）679-（100+99+98+97）=285（分）285÷3=95（分）95+1=96（分）答：得分排在第五名的同學(xué)至少得了96分。難度系數(shù)：CN一次數(shù)學(xué)考試的滿分是100分，6位同學(xué)在這次考試中平均得分是91分，這6位同學(xué)的得分互不相同，其中最后一名同學(xué)僅得65分。那么，得分排在第三名的同學(xué)至少得了多少分？分析：除了最后一名同學(xué)外，其它5名同學(xué)的總成績(jī)可以計(jì)算得到。要第三名同學(xué)的得分盡可能少，則前面兩位同學(xué)的得分應(yīng)該盡可能高，后三位同學(xué)的得分應(yīng)盡可能接近。解：91×6-65=481（分）481-100-99=282（分）282÷3=94（分）94+1=95（分）答：得分排在第三名的同學(xué)至少得了95分。把2-11這十個(gè)數(shù)分別填入下圖中的十個(gè)方格里，使圖中三個(gè)2X2的正方形中四個(gè)數(shù)的和都相等。求這個(gè)和的最小值。解析：圖中十個(gè)方格所填的10個(gè)數(shù)中，a和b是重疊數(shù)，我們可以設(shè)每一個(gè)2X2的正方形中四個(gè)數(shù)的和為m,那么3m=2+3+4+5+6+7+8+9+ll+a+b=65+a+b,如果要使這個(gè)和m最小,那么a+b應(yīng)盡量的小，但又必須考慮到65+a+b是3的倍數(shù)，這a+b只能取7,即a、b只能是2、5或3、4,如果上述分析可行，那么就可以求出這個(gè)和的最小值。答案：設(shè)每一個(gè)2X2的正方形中四個(gè)數(shù)的和為m則3m=2+3+4+5+6+7+8+9+10+ll+a+b=65+a+b要求m的最小值，a+b