2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊(cè) 第六章　§3　用樣本估計(jì)總體分布 課件（39張）

激趣誘思我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一,城市缺水問(wèn)題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過(guò)a的部分按平價(jià)收費(fèi),超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望85%以上的居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理?你認(rèn)為較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作?知識(shí)點(diǎn)撥一、頻率分布表與頻率分布直方圖1.基本概念名稱概念頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),叫作該組的頻數(shù).每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商叫作該組的頻率.頻率反映該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小樣本的頻率分布根據(jù)隨機(jī)所抽樣本的大小,分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率,這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)就叫作樣本的頻率分布極差若一組數(shù)據(jù)的最小值為a,最大值為b,則b-a的差就叫作極差組距把所有數(shù)據(jù)分成若干組,每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離稱為組距2.頻率分布表和頻率分布直方圖的意義從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本時(shí),我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)中直接看出樣本所含的信息.如果把這些數(shù)據(jù)整理成頻率分布表或頻率分布直方圖,就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布,從而估計(jì)總體的分布情況.用樣本估計(jì)總體,是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法,而對(duì)于總體分布,我們總是用樣本頻率分布對(duì)它進(jìn)行估計(jì).3.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟(1)頻率分布是指從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來(lái)表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.(2)一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.(3)畫(huà)頻率分布直方圖的一般步驟為:第一步,求極差.第二步,確定組距和組數(shù).為了方便起見(jiàn),組距的選擇應(yīng)力求“取整”,極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系:第三步,分組.通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開(kāi)區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.第四步,列頻率分布表.統(tǒng)計(jì)各組數(shù)據(jù)的頻數(shù),計(jì)算頻率,填入表格中,完成頻率分布表.第五步,依據(jù)頻率分布表畫(huà)頻率分布直方圖.畫(huà)圖時(shí),以橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸(小長(zhǎng)方形的高)表示頻率與組距的比值.名師點(diǎn)析

頻率分布直方圖的特征總體分布情況可以通過(guò)樣本頻率分布情況來(lái)估計(jì),樣本頻率分布是總體分布的一種近似表示,頻率分布表和頻率分布直方圖有以下特征:(1)從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢(shì).(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定,因此它們會(huì)隨樣本的變化而變化.(4)若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個(gè)頻率會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個(gè)小長(zhǎng)方形的高度也會(huì)穩(wěn)定在特定的值上.微思考1繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意什么問(wèn)題?④同樣一組數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸單位長(zhǎng)度不同,得到的頻率分布直方圖的形狀也會(huì)不同,不同的形狀給人們的印象也不同,這種印象有時(shí)會(huì)影響我們對(duì)總體的判斷.微思考2頻率分布表與頻率分布直方圖各有什么特點(diǎn)?提示頻率分布表反映具體數(shù)據(jù)在各個(gè)不同區(qū)間的取值頻率,但不直觀,數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢(shì)不明顯.頻率分布直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的形狀態(tài)勢(shì),但失去了原始數(shù)據(jù).二、頻率折線圖在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開(kāi)始,用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn),直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn),就可以得到一條折線,我們稱之為頻率折線圖.名師點(diǎn)析

頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì),隨著樣本容量的不斷增加,分組的不斷加密,頻率折線就會(huì)越來(lái)越光滑,最終形成一條光滑的曲線.微拓展總體密度曲線的特征(1)在樣本頻率分布直方圖中,隨著樣本容量的增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線,如圖所示.(2)總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信息,圖中陰影部分的面積,就是總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一頻數(shù)與頻率的有關(guān)計(jì)算例1已知一個(gè)容量是40的樣本,把它分成六組,第一組到第四組的頻數(shù)分別是5,6,7,10,第五組的頻率是0.2,那么第六組的頻數(shù)是

,頻率是

.

答案4

0.1反思感悟

頻數(shù)與頻率的求解策略對(duì)于頻數(shù)與頻率的問(wèn)題,首先要明確幾個(gè)等量關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.在解題過(guò)程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清已知、未知,選擇合適的公式進(jìn)行解題.變式訓(xùn)練

1一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后組距與頻數(shù)如下表:組距[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻率為

.

解析區(qū)間(0,50)包括四部分的數(shù)據(jù),在這四部分上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)和是2+3+4+5=14,樣本容量為20,所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻率為

=0.7.答案0.7探究二畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖例2某省為了了解和掌握2020年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī),數(shù)據(jù)如下:(單位:分)135981021109912111096100103125971171131109210210910411210512487131971021231041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出頻率分布表;(2)畫(huà)出頻率分布直方圖和頻率折線圖;(3)估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例.分析先求極差.根據(jù)極差與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)確定組距、組數(shù),然后按頻率分布直方圖的畫(huà)法繪制圖形.解在100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為

=11.(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048分組頻數(shù)頻率[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)1001.000.200(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫(huà)出頻率分布直方圖及頻率折線圖,如圖所示.(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱100,120)分之間的比例為60%.反思感悟

組距和組數(shù)的確定沒(méi)有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時(shí),組數(shù)力求合適,使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來(lái),組數(shù)太多或太少都會(huì)影響對(duì)數(shù)據(jù)分布情況的了解,若樣本容量不超過(guò)120個(gè)時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少常分為5組~12組,一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.延伸探究本例條件不變,制成頻率分布直方圖時(shí)分組如下,[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120),[120,125),[125,130),[130,135].若90分或90分以上為及格,請(qǐng)計(jì)算該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)的及格率.解列出頻率分布表如下

分組頻數(shù)頻率[80,85)10.01[85,90)20.02[90,95)40.04[95,100)140.14[100,105)240.24[105,110)150.15[110,115)120.12[115,120)90.09[120,125)110.11[125,130)60.06[130,135]20.02合計(jì)1001.00由表可得,及格(即90分或90分以上)的頻率為0.04+0.14+0.24+0.15+0.12+0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.故及格率為97%.探究三頻率分布直方圖的應(yīng)用例3某校在5月份開(kāi)展了科技月活動(dòng).在活動(dòng)中某班舉行了小制作評(píng)比,規(guī)定作品上交的時(shí)間為5月1日到31日,逾期不得參加評(píng)比.評(píng)委會(huì)把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖).已知從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請(qǐng)解答下列問(wèn)題:(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評(píng)比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多,有多少件?(3)經(jīng)過(guò)評(píng)比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng),問(wèn)這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?分析(1)根據(jù)條件:從左到右各長(zhǎng)方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,計(jì)算參加評(píng)比的作品總數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖判斷哪組上交的作品最多,再由本組的頻率計(jì)算頻數(shù);(3)先分別由第四組和第六組的頻率計(jì)算該組的頻數(shù),再計(jì)算獲獎(jiǎng)率.解(1)設(shè)從左到右各長(zhǎng)方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x,x.參加評(píng)比的作品總數(shù)為a件,又(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1,解得a=60(件).(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6×x×5×a=18(件).反思感悟

1.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e=組距×=頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小;(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1;2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)取值的可能性.變式訓(xùn)練

2為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫(huà)出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110或110以上為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?素養(yǎng)形成利用頻率分布直方圖進(jìn)行計(jì)算典例

某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19].如圖所示的是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則x和y分別為(

)A.0.9,35 B.0.9,45C.0.1,35 D.0.1,45解析從頻率分布直方圖可以看出x=1-(0.06+0.04)=0.9,y=50×(0.36+0.34)=35.答案A1.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組及各組的頻數(shù)如下

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本在區(qū)間[20,60)上的頻率是(

)A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8答案D當(dāng)堂檢測(cè)2.一個(gè)容量為32的樣本,已知某組數(shù)據(jù)的頻率為0.125,則該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為(

)A.2 B.4 C.6 D.8解析0.125×32=4.答案B3.(2020天津,4)從一批零件中抽取80個(gè),測(cè)量其直徑(單位:mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為(

)A.10 B.18 C.20 D.36解析在[5.43,5.47]的頻率為(6.25+5.00)×0.02=0.225,∴0.225×80=18.故選B.答案B4.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成