數(shù)學(xué)人教A版（2023）選擇性必修第一冊(cè)1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（共19張ppt）

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1.3.2空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊(cè)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．會(huì)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題．

2．掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示，并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線或垂直．

3．掌握空間向量的模、夾角公式和兩點(diǎn)間的距離公式，并能運(yùn)用這些公式解決簡(jiǎn)單幾何體中的問(wèn)題.

01空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

PARTONE

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

探究：有了空間向量的坐標(biāo)表示，你能類比平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，得出空間向量的坐標(biāo)表示并給出證明嗎？

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

與平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示一樣，我們有：

a+b=（a1+b1,a2+b2,a3+b3）

a—b=（a1—b1,a2—b2,a3—b3）

λa=（λa1,λa2,λa3）,λ∈R

ab=（a1b1,a2b2,a3b3）

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

下面我們來(lái)證明空間向量的數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示：

設(shè){i,j,k}為空間向量的正交基底，則

a=a1i+a2j+a3k,b=b1i+b2j+b3k

∴ab=（a1i+a2j+a3k）（b1i+b2j+b3k）

∵ii=jj=kk=1ij=jk=ki=0

∴ab=（a1b1,a2b2,a3b3）

其他運(yùn)算的坐標(biāo)表示可以類似證明，請(qǐng)同學(xué)們自己完成。

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

由上述結(jié)論可知，空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示是完全一致；

如：一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)

減去起點(diǎn)坐標(biāo).

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

類似平面坐標(biāo)運(yùn)算的坐標(biāo)表示，我們還可以得到：

設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)

當(dāng)b≠0時(shí)，a∥ba＝λba1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)

a⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

空間兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點(diǎn)，

02空間向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

PARTONE

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1．已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,|a|,8a,a·b

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

2.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E是棱D1D的中點(diǎn)，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點(diǎn)，且3＝，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．若PQ⊥AE，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

由題可知：A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，a,1)，

因?yàn)?＝，所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a,0)，

所以3a－3＝－a，解得a＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(b，b,0)，

因?yàn)镻Q⊥AE，所以·＝0，所以·＝0，

即－－＝0，解得b＝，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

3.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中點(diǎn)．

(1)求FH的長(zhǎng)；

(2)求EF與C1G所成角的余弦值．

解：如圖所示，以DA，DC，DD1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，E(0,0，)，F(xiàn)(，，0)，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G(0，，0)．

(1)∵H是C1G的中點(diǎn)，∴H.又F(，，0)，∴FH＝||＝＝.

(2)∵＝，則||＝.又||＝，且·＝，

∴cos〈，〉＝＝，即EF與C1G所成角的余弦值為.

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

方法總結(jié)

運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問(wèn)題的一般步驟

(1)建系：根據(jù)題目中的幾何圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

(2)求坐標(biāo)：①求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；②寫出向量的坐標(biāo)；

(