數(shù)學(xué)人教B版必修4學(xué)案2.1.1向量的概念

2.1向量的線性運(yùn)算2.1.1向量的概念基礎(chǔ)知識(shí)基本能力1．了解向量的實(shí)際背景．2．理解向量的有關(guān)概念．(重點(diǎn))3．掌握向量的幾何表示及共線(平行)向量．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1．會(huì)用字母表示向量，用向量表示點(diǎn)的位置．(重點(diǎn))2．會(huì)判斷向量間平行(共線)、相等的關(guān)系．(難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．理解零向量的特殊性．(易混點(diǎn))1．位移的概念位移是表達(dá)“一點(diǎn)相對(duì)于另一點(diǎn)位置”的量，是一個(gè)既有大小又有方向的量．名師點(diǎn)撥對(duì)于位移概念的理解要把握三點(diǎn)：(1)位移由“方向”和“距離”唯一確定；(2)位移只與質(zhì)點(diǎn)的始、終點(diǎn)間的位置關(guān)系有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)的路線無關(guān)；(3)相同(相等)的位移：從兩個(gè)不同點(diǎn)出發(fā)的位移，只要方向相同，距離相等，我們都把它們看成相同的位移或相等的位移．【自主測試1】某人由A點(diǎn)出發(fā)向正北方向行走1km至B點(diǎn)，然后再向東拐彎沿正東方向行走2km至C點(diǎn)，則此人的行走路程共__________km，總位移的大小為__________km.答案：3eq\r(5)2．向量的概念(1)向量：具有大小和方向的量稱為向量．(2)自由向量：向量是一種新的量，與以前的數(shù)量不同．我們把只有大小和方向，而無特定位置的量叫做自由向量．(3)有向線段：具有方向的線段，叫做有向線段．如下圖，從點(diǎn)A位移到點(diǎn)B，用線段AB的長度表示位移的距離，在點(diǎn)B處畫上箭頭表示位移的方向，這時(shí)我們說線段AB具有從A到B的方向，點(diǎn)A叫做有向線段的始點(diǎn)，點(diǎn)B叫做有向線段的終點(diǎn)，以A為始點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作eq\o(AB,\s\up6(→)).(4)向量的表示方法：向量的圖形表示和向量的符號(hào)表示．①向量的圖形表示．向量常用一條有向線段來形象直觀地表示(如下圖)，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．②向量的符號(hào)表示．如，eq\o(AB,\s\up6(→))表示從點(diǎn)A到點(diǎn)B的向量(即A為始點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量)，因?yàn)閮蓚€(gè)字母是有順序的，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量eq\o(BA,\s\up6(→))是兩個(gè)不同的向量．通常在印刷時(shí)，向量用黑體小寫字母a，b，c…表示，手寫時(shí)，可寫成帶箭頭的小寫字母eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))…有向線段是向量嗎？答：有向線段不是向量，它只是用來表示向量而已．(5)向量的長度：eq\o(AB,\s\up6(→))的長度，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|；如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，那么eq\o(AB,\s\up6(→))的長度表示向量a的大小，也叫做a的長(或模)，記作|a|.向量能比較大小嗎？向量的模呢？答：向量既有長度，又有方向，不能比較大小；但向量的模是指向量的長度，能比較大?。?6)相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量，即兩非零向量a，b相等的等價(jià)條件應(yīng)是a，b的方向相同且模相等．若向量a與向量b相等，記作a＝b.(7)共線向量或平行向量：通過有向線段eq\o(AB,\s\up6(→))的直線，叫做向量eq\o(AB,\s\up6(→))的基線．如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行．向量a平行于b，記作a∥b.(8)零向量：長度等于零的向量，叫做零向量，記作0.零向量的方向不確定，通常規(guī)定零向量與任意向量平行．【自主測試2－1】下列各量中是向量的是()A．密度B．電流C．面積D．速度解析：主要考慮各量是否具備向量的兩個(gè)要素，即大小和方向．密度、電流和面積都只有大小，沒有方向，只有速度既有大小，又有方向．答案：D【自主測試2－2】下圖中，小正方形的邊長均為1，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝________，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝__________，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝__________.解析：根據(jù)勾股定理，可得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(26)，|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).答案：3eq\r(2)eq\r(26)2eq\r(2)3．用向量表示點(diǎn)的位置任給一定點(diǎn)O和向量a(如下圖)，過點(diǎn)O作有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，則點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置被向量a所唯一確定，這時(shí)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，又常叫做點(diǎn)A相對(duì)于點(diǎn)O的位置向量．【自主測試3】已知，A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對(duì)于B地的位置是__________．答案：西北方向5eq\r(2)km1．向量與有向線段的聯(lián)系與區(qū)別剖析：從概念的內(nèi)涵和外延上來討論．向量是規(guī)定了大小和方向的量，有向線段是規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)的線段．它們的聯(lián)系是：向量可以用有向線段來表示，有向線段的長度是向量的模，有向線段的方向是向量的方向．它們的區(qū)別是：向量是可以自由移動(dòng)的，故當(dāng)用有向線段來表示向量時(shí)，有向線段的始點(diǎn)是任意的，而有向線段是不能自由移動(dòng)的，有向線段平移后就不是原來的有向線段了．有向線段僅僅是向量的直觀體現(xiàn)，是向量的一種表現(xiàn)形式，不能等同于向量；有向線段有平行和共線之分，而向量的平行和共線是相同的，是同一個(gè)概念．2．向量與矢量、數(shù)量的關(guān)系剖析：(1)向量與物理中的矢量既有區(qū)別又有聯(lián)系，如，力是矢量，力的作用效果不僅與大小、方向有關(guān)，而且還與力的作用點(diǎn)有關(guān)；數(shù)學(xué)中所說的向量與大小和方向有關(guān)，而與表示向量的有向線段的始點(diǎn)無關(guān)，這就是數(shù)學(xué)中所研究的自由向量．(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大?。蛄康哪？梢员容^大小．(3)向量的表示方法：①幾何表示法：優(yōu)點(diǎn)是便于用向量處理幾何問題；②字母表示法：優(yōu)點(diǎn)是便于向量的運(yùn)算．3．教材中的“思考與討論”在四邊形ABDC中，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，那么四邊形ABDC是平行四邊形嗎？如果四邊形ABDC是平行四邊形，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))嗎？剖析：在四邊形ABDC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則有AB∥CD，且AB＝CD，從而可以斷定四邊形ABDC是平行四邊形；反之，如果四邊形ABDC是平行四邊形，則有AB∥CD且AB＝CD，從而有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→)).題型一有關(guān)向量概念的問題【例題1】下列幾種說法：(1)若非零向量a與b共線，則a＝b；(2)若向量a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b；(3)若兩向量有相同的基線，則兩向量相等；(4)若a∥b，b∥c，則a∥c.其中錯(cuò)誤的是__________．(填序號(hào))解析：(1)錯(cuò)誤．共線向量是指向量的基線互相平行或重合，其方向相同或相反，所以共線向量未必相等．(2)錯(cuò)誤．向量是既有大小，又有方向的量，不能比較大?。?3)錯(cuò)誤．兩向量有相同的基線表示兩向量共線(或平行)，但兩向量的大小和方向都不一定相同．(4)錯(cuò)誤．當(dāng)b＝0時(shí)，a與c不一定平行．答案：(1)(2)(3)(4)反思對(duì)向量的有關(guān)概念的理解要全面、準(zhǔn)確．要注意相等向量與共線向量(或平行向量)之間的區(qū)別和聯(lián)系；零向量的長度為零，方向不確定，解題時(shí)一定要注意這一特殊向量．解答本題(4)時(shí)，易忽略零向量與任意向量共線．題型二相等向量與共線向量【例題2】如下圖，D，E，F(xiàn)分別是等腰Rt△ABC的各邊的中點(diǎn)，∠BAC＝90°.(1)分別寫出圖中與向量eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))相等的向量；(2)分別寫出圖中與向量eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(FD,\s\up6(→))共線的向量．分析：相等向量要考慮兩個(gè)向量的方向和大小是否都相同，共線向量只考慮方向是否相同或相反．解：(1)eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))；eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→)).(2)eq\o(DE,\s\up6(→))∥eq\o(FC,\s\up6(→))∥eq\o(BF,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))；eq\o(FD,\s\up6(→))∥eq\o(CE,\s\up6(→))∥eq\o(EA,\s\up6(→))∥eq\o(CA,\s\up6(→)).反思向量有兩個(gè)要素：一是大小，二是方向．兩個(gè)向量的模相等且方向相同時(shí)才稱它們?yōu)橄嗟鹊南蛄浚碼＝b就意味著|a|＝|b|，且a與b的方向相同，還要注意到0與0是相等的向量．題型三向量在幾何中的應(yīng)用【例題3】如圖，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，N，M分別是AD，BC上的點(diǎn)，且eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，證明：四邊形DNBM是平行四邊形．證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，且AD＝BC．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))，∴四邊形CNAM為平行四邊形，∴AN∥MC，且AN＝MC，∴DN∥MB，且DN＝MB，∴四邊形DNBM是平行四邊形．反思向量的方向反映了形的特征，利用向量知識(shí)可以判定圖形的形狀及線段間的相等關(guān)系．將平面幾何與向量結(jié)合在一起，可以使問題更加直觀、明了．題型四向量的實(shí)際應(yīng)用【例題4】一輛消防車從A地去B地執(zhí)行任務(wù)，先從A地向北偏東30°方向行駛2km到D地，然后從D地沿北偏東60°方向行駛6km到達(dá)C地，從C地又向南偏西30°方向行駛2km才到達(dá)B地．(1)在圖中畫出eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)求B地相對(duì)于A地的位置向量．分析：按要求用直尺作出向量．作圖時(shí)，既要考慮向量的大小，又要考慮其方向．解：(1)向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))如圖所示．(2)由題意知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即AD∥BC且AD＝BC，所以，四邊形ABCD為平行四邊形．則有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則B地相對(duì)于A地的位置向量為eq\o(AB,\s\up6(→))＝“北偏東60°，6km”．反思用向量知識(shí)解決物理問題，關(guān)鍵是將物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型．題型五易錯(cuò)辨析【例題5】設(shè)O為△ABC的外心，則eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))是()A．相等向量B．平行向量C．模相等的向量D．方向相同的向量錯(cuò)解：∵eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))都表示△ABC的外接圓半徑，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(CO,\s\up6(→)).故選A．錯(cuò)因分析：忽視了向量是有方向的，要知道只有同向且等長的向量才是相等向量．正解：∵O為△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，即|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|.故選C．1．下列命題中，正確的是()A．若兩個(gè)向量相等，則表示它們的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合B．模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量C．若向量a和b的模都為1，則a＝bD．兩個(gè)相等向量的模相等答案：D2．如圖所示的四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，則下列四組向量中，相等的是()A．與B．與C．與D．與解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可以判斷出四邊形ABCD為平行四邊形，可以判斷選項(xiàng)中的四組向量，只有eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))是正確的．答案：D3．把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始點(diǎn)上，那么它們的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A．一條線段B．一段圓弧C．兩個(gè)孤立點(diǎn)D．一個(gè)圓解析：如果把平面上所有模等于1的向量平移到相同的始點(diǎn)上，則所有的終點(diǎn)到這個(gè)始點(diǎn)的距離都等于1，即所有的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是一個(gè)圓．答案：D4．如圖，在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD為__________．解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可得AB∥DC且AB＝DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形．又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以AB＝AD，所以四邊形ABCD為菱形．答案：菱形5．如圖所示，ABCD是邊長為3的正方形，P，M，E，G，N，Q，H，F(xiàn)分別為各邊的三等分點(diǎn)，圖中共有16個(gè)交點(diǎn)，從中選取2個(gè)交點(diǎn)組成向量，則與eq\o(AC,\s\up6(→))平行且長度為2eq\r(2)的向量的個(gè)數(shù)是__________．解析：由題意知，每一個(gè)小正方形的邊長為1，則其