2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué)選修4-1（人教版）練習(xí)：第三講章末復(fù)習(xí)課 Word版含解析

章末復(fù)習(xí)課[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建][警示·易錯(cuò)提醒]1．一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：不理解正射影的概念當(dāng)圖形較復(fù)雜時(shí)，特別是投影面不是水平放置時(shí)，如果觀察圖形不細(xì)致，空間想象力不強(qiáng)，不理解投影的概念就會(huì)出錯(cuò)．2．一個(gè)疑難點(diǎn)：確定截線橢圓的參量當(dāng)已知斜截面與圓柱面的母線或直截面的交角時(shí)，我們可以確定橢圓的各個(gè)參量．如設(shè)斜截面與圓柱面的母線的交角為φ，圓柱面的半徑為r，則截線橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝eq\f(2r,sinφ)，短軸長(zhǎng)2b＝2r，離心率e＝cosφ，焦距2c＝2acosφ.專(zhuān)題一平行射影問(wèn)題一個(gè)平面圖形在一個(gè)平面上的平行射影與投影方向和投影面有關(guān)．畫(huà)一個(gè)圖形的平行射影應(yīng)先找出圖形關(guān)鍵點(diǎn)的平行射影．正射影是平行射影的一種特殊情況．準(zhǔn)確理解正射影的概念，能根據(jù)題意準(zhǔn)確確定點(diǎn)、線、面的正射影．[例1]如圖所示，邊長(zhǎng)為20的正三角形ABC的頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，B，C在平面α同側(cè)，且B，C在平面α上的正射影分別為D，E，且BD＝10，CE＝5，求△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大?。猓河烧溆暗男再|(zhì)得BD∥CE，且B，D，C，E共面．因?yàn)锽D≠CE，所以BC，DE必相交，設(shè)交點(diǎn)為F.因?yàn)镈E?α，所以F∈α.因?yàn)锽C?平面ABC，所以F∈平面ABC，所以F是平面ABC和平面α的公共點(diǎn)．因?yàn)锳是平面ABC和平面α的公共點(diǎn)，所以平面ABC∩平面α＝AF.在△BDF中，因?yàn)锽D∥CE，BD＝2CE，所以CF＝BC.又因?yàn)椤鰽BC為正三角形，所以CF＝AC，∠ACF＝120°，所以∠CAF＝30°，所以∠BAF＝∠BAC＋∠CAF＝60°＋30°＝90°，所以BA⊥AF，故DA⊥AF，所以∠BAD是△ABC所在平面和平面α所成的二面角的平面角．在Rt△ABD中，AB＝20，BD＝10，所以∠BAD＝30°，所以△ABC所在平面和平面α所成的二面角的大小為30°.[變式訓(xùn)練]一個(gè)圓在平面α上的正射影是什么圖形？解：(1)圓所在平面與投影平面平行，圓的射影仍然是圓．(2)圓所在平面與投影平面垂直，圓的射影是線段．(3)圓所在平面與投影平面斜交，圓的射影是橢圓．專(zhuān)題二平面與圓柱面、圓錐面的截線問(wèn)題1．平行于圓柱底面的平面截圓柱所得截線是圓，用平面斜截圓柱面所得截線是橢圓，可以用Dandelin雙球去研究橢圓的有關(guān)性質(zhì)．這里要注意雙球與斜截面的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，球的直徑就是橢圓的短軸長(zhǎng)．2．當(dāng)已知斜截面與圓柱面的母線或軸的交角時(shí)，我們可以確定橢圓的各個(gè)參量．如設(shè)斜截面與圓柱面的母線的交角為φ，圓柱面的半徑為r，則截線橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝eq\f(2r,sinφ)，短軸長(zhǎng)2b＝2r，離心率e＝cosφ，焦距2c＝2acosφ.3．設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為α，截面和圓錐軸的夾角為θ，當(dāng)截面不過(guò)頂點(diǎn)時(shí)：(1)當(dāng)θ＝α?xí)r，截線是拋物線．(2)當(dāng)α<θ<eq\f(π,2)時(shí)，截線是橢圓，特別地，當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，截線是圓．(3)當(dāng)0≤θ<α?xí)r，截線是雙曲線，圓錐曲線的有關(guān)問(wèn)題，可以利用Dandelin雙球進(jìn)行探究．[例2]已知圓柱的底面半徑是2，平面α與圓柱母線的夾角為30°，求截口橢圓的離心率和焦距．解：橢圓的離心率e＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).如圖所示，過(guò)G2作G2H⊥AD于點(diǎn)H.在Rt△G1HG2中，∠HG1G2＝30°HG2＝4.所以G1G2＝2HG2所以截口橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝G1G2＝8，短軸長(zhǎng)2所以焦距2c＝2eq\r(a2－b2)＝2eq\r(42－22)＝4eq\r(3).[變式訓(xùn)練]已知一圓錐面的頂角為90°，嵌入兩球的半徑分別為eq\r(2)和7eq\r(2)，試確定截線的圓錐曲線的長(zhǎng)軸(或?qū)嵼S)長(zhǎng)、短軸(或虛軸)長(zhǎng)和截面與軸的夾角．解：(1)若嵌入兩球在圓錐頂點(diǎn)的同側(cè)，則截線為橢圓，如圖所示的是其軸截面．OO′＝eq\f(O′D－OC,sin45°)＝(7eq\r(2)－eq\r(2))×eq\r(2)＝12，CD＝O′D－OC＝6eq\r(2)，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6eq\r(2).設(shè)AB與OO′的夾角為φ，則sinφ＝eq\f(7\r(2)＋\r(2),OO′)＝eq\f(8\r(2),12)＝eq\f(2\r(2),3)，故截面與軸的夾角為arcsineq\f(2\r(2),3)，橢圓的離心率e＝eq\f(cosφ,cos45°)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,\r(2))＝eq\f(\r(2),3)，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為6eq\r(2)×eq\r(1－e2)＝2eq\r(14).(2)若兩球在圓錐頂點(diǎn)的兩側(cè)，則截線為雙曲線．如圖所示的是其軸截面．OO′＝eq\f(OC＋O′D,sin45°)＝(7eq\r(2)＋eq\r(2))×eq\r(2)＝16，CD＝eq\r(OO′2－（OC－O′D）2)＝eq\r(162－（6\r(2)）2)＝2eq\r(46).所以雙曲線的焦距為2eq\r(46).設(shè)截面與軸的夾角為φ，即CD與OO′的夾角為φ.所以cosφ＝eq\f(CD,OO′)＝eq\f(\r(46),8)，所以截面與軸的夾角為arccoseq\f(\r(46),8).所以雙曲線的離心率e＝eq\f(cosφ,cos45°)＝eq\f(\r(23),4).所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為8eq\r(2)，虛軸長(zhǎng)為2eq\r(14).專(zhuān)題三方程思想在平面與圓柱面、圓錐面的截線中，存在著大量的數(shù)量關(guān)系，在求某個(gè)量時(shí)，有時(shí)就可采用方程的思想建立關(guān)于該量的方程，利用方程求解．[例3]已知圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為R，如果過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面面積S的最大值是eq\f(1,2)l2，求eq\f(R,l)的取值范圍．解：如圖所示，△PAB是過(guò)圓錐的頂點(diǎn)P的截面，設(shè)∠APB＝x，圓錐的頂角為α，則△PAB的面積為：S＝eq\f(1,2)PA·PB·sinx＝eq\f(1,2)l2sinx(0<x≤α)，所以S最大＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l2sinα（0<α<\f(π,2)），,\f(1,2)l2（\f(π,2)≤α<π）.))由題意知eq\f(π,2)≤α<π，所以在Rt△PAO中，eq\f(R,l)＝sineq\f(α,2)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).即eq\f(R,l)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).[變式訓(xùn)練]平面α與圓柱軸線成60°角，截圓柱面所得橢圓的焦距為2eq\r(3)，求圓柱面的半徑．解：如圖所示，O為橢圓中心，AA′是橢圓的長(zhǎng)軸，設(shè)其長(zhǎng)為2a，過(guò)O向圓柱母線作垂線，垂足為B，則△OAB是直角三角形，∠OAB是平面α設(shè)圓柱面半徑為r，則a＝eq\f(r,sin60°)＝eq\f(2\r(3)r,3)，橢圓的短軸長(zhǎng)2b＝2r，即b＝r，由已知焦距2c＝2eq\r(3)得c＝eq\r(3)，在橢圓中，因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以(eq\f(2\r(3)r,3))2＝r2＋(eq\r(3))2，解得r＝3，故圓柱面的半徑為3.專(zhuān)題四數(shù)形結(jié)合思想在解決與幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以將圖形信息轉(zhuǎn)換成代數(shù)信息，利用數(shù)量特征，將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解決；在解決與數(shù)量有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)數(shù)量特征構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，即化為幾何問(wèn)題解決．利用數(shù)形的辯證統(tǒng)一和各自的優(yōu)勢(shì)盡快得到解題途徑，這就是數(shù)形結(jié)合思想方法的特點(diǎn)．[例4]如果橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，短軸長(zhǎng)為2b，解：如圖所示，設(shè)橢圓是由半徑為r的圓柱面的斜截面截得的，且斜截面與母線所成的角為α，則b＝r，a＝eq\f(r,sinα).取圓柱面的一直截面，則其面積S圓＝πr2，直截面與斜截面的夾角為eq\f(π,2)－α，由面積射影定理有S橢圓＝eq\f(S圓,cos（\f(π,2)－α）)＝eq\f(πr2,sinα)＝π·r·eq\f(r,sinα)＝πab.故該橢圓的面積為πab.[變式訓(xùn)練]如圖所示，已知一圓錐面的軸線為Sx，軸線與母線的夾角為30°，在軸上取一點(diǎn)O，使SO＝3cm，球O與這個(gè)錐面相切，求球O解：如圖所示，點(diǎn)H為球O與圓錐面的一個(gè)切點(diǎn)，點(diǎn)C為切點(diǎn)圓的圓心，連接OH，HC，則