專題11 極點(diǎn)極線與定點(diǎn)定值

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)專題11極點(diǎn)與極線專題11極點(diǎn)極線與定值定點(diǎn)第一講極點(diǎn)極線原理介紹極點(diǎn)極線顯威力———運(yùn)用高觀點(diǎn)例析圓錐曲線中的完全四點(diǎn)形問題如圖1，設(shè)是不在圓錐曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)，連接交于，連接交于，則直線為點(diǎn)對應(yīng)的極線．若為圓錐曲線上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線即為極線．由圖1同理可知，為點(diǎn)對應(yīng)的極線，為點(diǎn)所對應(yīng)的極線．因而將稱為自極三點(diǎn)形．任意一點(diǎn)對應(yīng)的極線為另外兩點(diǎn)的連線．設(shè)直線交圓錐曲線于點(diǎn)兩點(diǎn)，則恰為圓錐曲線的兩條切線．圖1只有“站得高”，遇到問題才能夠從容面對．解析幾何一直是學(xué)生乃至部分中學(xué)數(shù)學(xué)老師所害怕的內(nèi)容，如果能從高等數(shù)學(xué)的視角去看待這些問題，有時候處理起來將會變得非常容易．極點(diǎn)、極線是高等幾何中的內(nèi)容，但在中學(xué)里會經(jīng)常涉及．統(tǒng)一結(jié)論：已知圓錐曲線：，則點(diǎn)對應(yīng)的極線方程為：．以橢圓為例，我們來證明一下極點(diǎn)極線的結(jié)論如圖M是橢圓外一點(diǎn)，過P作兩條直線分別與橢圓交于A，B和C，D兩點(diǎn)．N是AD與CD的交點(diǎn)，證明N點(diǎn)在直線上接下來我們推廣到更一般的形式，設(shè)和交于點(diǎn)，類似的方法我們也可以證明從而一定在直線上，那么點(diǎn)和均在直線上，隨著四點(diǎn)的運(yùn)動，所有的點(diǎn)和的軌跡就構(gòu)成了直線，即點(diǎn)對應(yīng)的極線為，同樣的以點(diǎn)為研究對象，可以得出其對應(yīng)的極線是兩點(diǎn)的連線所在的直線，同樣的以點(diǎn)為研究對象，可以得出其對應(yīng)的極線是兩點(diǎn)的連線所在的直線除此之外，極點(diǎn)極線還有如下結(jié)論，是橢圓外一點(diǎn)，是對應(yīng)的極線上位于橢圓內(nèi)的任一點(diǎn)，連接交橢圓于兩點(diǎn)，則，且現(xiàn)證明如下設(shè)M是橢圓外一點(diǎn)，MA，MB均與橢圓相切，O為橢圓的中心，直線MO與AB交于點(diǎn)N，交橢圓于E，F(xiàn)．則，且此結(jié)論還可以用定比點(diǎn)差法來證明，參見定比點(diǎn)差法那一節(jié)第二講應(yīng)用極點(diǎn)極線的解決定值定點(diǎn)【例9】（武漢模擬）已知，分別為雙曲線實軸的左右兩個端點(diǎn)，過雙曲線的左焦點(diǎn)作直線交雙曲線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，異于，，則直線，的斜率之比（）A． B． C． D．【例10】已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過x軸上一點(diǎn)作一直線PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)（異于A，B），若直線AP和BQ的交點(diǎn)為N，記直線MN和AP的斜率分別為，，則（）A． B． C． D．【例11】（沙坪壩期中）設(shè)，分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，設(shè)過的直線，與雙曲線分別交于點(diǎn)，，直線交軸于點(diǎn)，過的直線交雙曲線的于，兩點(diǎn)，且，則的面積（）A． B． C． D．【例12】（濟(jì)南二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓的一個頂點(diǎn)，且右焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)．①若，為鄰邊的平行四邊形為菱形，求的取值范圍；②若直線過定點(diǎn)，且線段上存在點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)在定直線上．【例13】（2013?江西）橢圓的離心率，．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，，，是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)直線交于點(diǎn)，設(shè)的斜率為，的斜率為，證明為定值．【例14】(湖北十一校聯(lián)考)已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，滿足．定點(diǎn)，，M是拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)直線CM，DM與拋物線的另一個交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．(1)求拋物線的方程；(2)求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動時(只要點(diǎn)E、F存在且不重合)，直線EF恒過一個定點(diǎn)；并求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo).第三講非典型極點(diǎn)極線解決定值定點(diǎn)（平行情況）圓錐曲線上四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為梯形時，如圖，，無法構(gòu)成自極三角形，則點(diǎn)對應(yīng)的極線過，所在直線的交點(diǎn)，且極線與平行．（設(shè)，交于,可以認(rèn)為直線和的交于無限遠(yuǎn)處的一點(diǎn)，按照極點(diǎn)極線模型可知為點(diǎn)對應(yīng)的極線，則與，的交點(diǎn)都在無限遠(yuǎn)處，所以）這種情況我們稱之為非典型極點(diǎn)極線．推論1：四線平行模型：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)，則點(diǎn)對應(yīng)的極線為一條經(jīng)過點(diǎn)的直線，并且與AC，BD都平行(圖中未畫出)，且與點(diǎn)對應(yīng)的極線也平行．設(shè)，則點(diǎn)對應(yīng)極線方程為，其斜率為，故（雙曲線中，拋物線中），這三個和中點(diǎn)弦的斜率形式一模一樣，非常好記．推論2：特別地，如右圖若AD∥BC∥y軸，由對稱性知AC，BD的交點(diǎn)Q在x軸上，則點(diǎn)的極線過點(diǎn)Q，且與y軸平行，結(jié)合上一節(jié)中的結(jié)論2，有．（我們把這個模型稱之為模型），由對稱性可知此時為等腰梯形，則四點(diǎn)共圓，由圓的曲線系可知此時（證明過程參見圓的曲線系那一節(jié)）．【例15】（桃城月考）已知橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于、和、兩點(diǎn)，且滿足，，若變化時，直線的斜率總為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【例16】（泉州模擬）已知雙曲線，斜率為的直線與的左右兩支分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)．若直線的斜率為，則的離心率為（）A． B． C． D．【例17】（湖北省預(yù)賽題）設(shè)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)P的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A、C和B、D，且．（1）證明：直線AB的斜率為定值；（2）過點(diǎn)P作AB的平行線，與橢圓交于E、F兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)P平分線段E、F．【例18】已知拋物線，斜率為的動直線l與拋物線交于兩點(diǎn)A、B，拋物線內(nèi)的定點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，若直線AP、BP分別與拋物線交于另一點(diǎn)C、D，問直線AD、BC是否相交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不是，說明理由．很多考題的命題背景是極點(diǎn)極線，熟練使用極點(diǎn)極線的結(jié)論，解題方向會更加清晰.【例19】已知拋物線，過點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為．（1）求拋物線的方程；（2）斜率為1的直線不經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于、．①求直線在軸上截距的取值范圍；②若、分別與拋物線交于另一點(diǎn)、，證明：、交于一定點(diǎn)．【例20】已知拋物線E：的焦點(diǎn)F，是E上一點(diǎn)，且．（1）求E的方程：（2）設(shè)點(diǎn)B是E上異于點(diǎn)A的一點(diǎn)，直線AB與直線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線交E于點(diǎn)M