數(shù)學(xué)人教A版（2023）必修第一冊(cè)2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件（共36張ppt）

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第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【素養(yǎng)目標(biāo)】

1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)

2．了解不等式(組)的實(shí)際背景，會(huì)用不等式(組)表示不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)

3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．(邏輯推理)

4．會(huì)用作差法(或作商法)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大?。?數(shù)學(xué)運(yùn)算)

5．能運(yùn)用等式的性質(zhì)或不等式的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題．(邏輯推理)

【學(xué)法解讀】

在相等關(guān)系與不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)類比學(xué)過(guò)的等式與不等式的性質(zhì)，進(jìn)一步探索等式與不等式的共性與差異．

在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長(zhǎng)與短、高與矮、遠(yuǎn)與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過(guò)或不少于等．類似于這樣的問(wèn)題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．

【等式】指的是用等號(hào)“=”連接起來(lái)的式子.

【不等式】指的是用不等號(hào)“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接起來(lái)的式子

【問(wèn)題1】你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？

（1）某路段限速；；

（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量應(yīng)不少于2.3%；

設(shè)該路段行駛的汽車速度為，則

，

問(wèn)題1：不等關(guān)系及其表示

（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（4）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

設(shè)P是直線AB外任意一點(diǎn)，PQ是P到AB的垂

線段，C是直線AB上任意一點(diǎn)，則PC≥PQ.

A

B

C

P

Q

你能寫出其他的可能情況嗎？

【問(wèn)題1】你能用不等式或不等式組表示下列問(wèn)題中的不等關(guān)系嗎？

設(shè)三角形三邊分別為，則

【問(wèn)題2】某種雜志原本以每本2.5元的價(jià)格出售，可以售出8萬(wàn)本.據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價(jià)才能使?jié)q價(jià)后的總收入不低于20萬(wàn)元

【分析】設(shè)漲價(jià)之后的雜志每本定價(jià)元，則銷售總收入為

萬(wàn)元，

≥20，求出不等式的解，即可求出定價(jià)

所以用不等式表示為：

問(wèn)題1：不等關(guān)系及其表示

問(wèn)題2：不等式的性質(zhì)

實(shí)際上，在初中我們已經(jīng)通過(guò)具體實(shí)例歸納了一些不等式的性質(zhì)．那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問(wèn)題要用到關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)．

由于數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系來(lái)規(guī)定實(shí)數(shù)的大小關(guān)系：如圖，設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，ab.

如何解不等式≥20呢？

問(wèn)題3：比較大小

關(guān)于實(shí)數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實(shí)：

如果a-b是正數(shù)，那么a>b;

如果a-b等于0,那么a=b;

如果a-b是負(fù)數(shù)，那么a>

②<<③==

0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，它為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”

比較和的大小.

【解】運(yùn)用作差法：

2＞0，

所以＞

0是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界線，它為比較實(shí)數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.

如圖是根據(jù)第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的，會(huì)標(biāo)靈感來(lái)源于中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，圖中有什么不等關(guān)系？

很顯然趙爽弦圖是我們?cè)诔踔醒芯抗垂啥ɡ頃r(shí)的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.

設(shè)圖中直角三角形的兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為，那么正方形的邊長(zhǎng)就是，這樣，四個(gè)直角三角形的面積之和就是，正方形的面積為，很顯然正方形的面積大于三角形面積和.即

當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切螘r(shí)，內(nèi)部的小正方形變成了一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)，有，所以綜合可知，

問(wèn)題4：一個(gè)重要不等式

一般地，，這個(gè)不等式被稱為重要不等式，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

事實(shí)上，利用完全平方公式也可以得到這個(gè)不等式：

因?yàn)?,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

所以

因此，由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，我們得到：

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.

問(wèn)題4：一個(gè)重要不等式

★性質(zhì)1【對(duì)稱性】

★性質(zhì)2【傳遞性】

★性質(zhì)3【加減性】

★性質(zhì)4【同乘性】

★性質(zhì)5【同除性】

如果，那么

如果，，那么

如果，那么

如果，那么

如果，，那么

思考

請(qǐng)你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性．你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？

可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運(yùn)算的角度提出的，反映了等式在運(yùn)算中保持的不變性．

問(wèn)題5：等式有什么性質(zhì)

★性質(zhì)1【對(duì)稱性】

★性質(zhì)2【傳遞性】

如果，那么.即

如果，，那么.

即，

我們來(lái)證明性質(zhì)2：

類比等式的性質(zhì)1，2，我們可以猜想不等式有如下性質(zhì)：

問(wèn)題6：不等式有什么性質(zhì)

★性質(zhì)3

【可加性】

★性質(zhì)4

【可乘性】

★性質(zhì)5

【同向可加性】

如果，那么

如果，，那么；

如果，,那么

不等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，不變號(hào)

不等式兩邊同時(shí)乘上一個(gè)正數(shù)，不變號(hào)；

如果，，那么

不等式兩邊同時(shí)乘上一個(gè)負(fù)數(shù)，要變號(hào).

如果，,那么

如果，,那么

問(wèn)題6：不等式有什么性質(zhì)

類比等式的性質(zhì)3~5，可以猜想不等式還有如下性質(zhì)：

★性質(zhì)6

【同向同正可乘性】

★性質(zhì)7

【同正可乘方性】

如果，，那么

如果，那么

等式

不等式

問(wèn)題6：不等式有什么性質(zhì)

我的等號(hào)左右能對(duì)應(yīng)加減乘除(除數(shù)不為0)，你行嗎？

我只有同向可加性，同向可乘還必須保證是正數(shù)！

例2已知，，求證

【分析】因?yàn)?，所以要證，可先證明

【證明】因?yàn)椋裕?

所以，

因?yàn)椋?，?/p>

＞

＜

＜

＜

習(xí)題2.1

（第42頁(yè)）

2．某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個(gè)出資方案：方案A為一次性出資500萬(wàn)元；方案B為第一年出資100萬(wàn)元，以后每年出資10萬(wàn)元．列出不等式表示“經(jīng)過(guò)n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．

4．一個(gè)大于50且小于60的兩位數(shù)，其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2．試用不等式表示上述關(guān)系，并求這個(gè)兩位數(shù)（用a和b分別表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字）．

B

9．證明：圓的面積大于與它具有相同周長(zhǎng)的正方形的面積．并據(jù)此說(shuō)明，人們通常把自來(lái)水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因．

所以圓的面積更大

原因：自來(lái)水管的橫截面是圓形的，可以最大面積地使水通過(guò)，減少阻力．

12．火車站有某公司代運(yùn)的甲種貨物1530，乙種貨物1150．現(xiàn)計(jì)劃用A，B兩種型號(hào)的貨廂共50節(jié)運(yùn)送這批貨物．已知35甲種貨物和15乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂，25甲種貨物和35乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂，據(jù)此安排A，B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.5萬(wàn)元，每節(jié)B型貨廂的運(yùn)費(fèi)是0.8萬(wàn)元，哪種方案的運(yùn)費(fèi)較少？

所以共有三種方案，方案一：安排A型貨廂28節(jié)，B型貨廂22節(jié)；方案二：安排A型貨廂29節(jié)，B型貨廂21節(jié)；方案三：安排A型貨廂30節(jié)，B型貨廂20節(jié)．

謝謝大家

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