(修改)第七講：從海岸線長度談起-分形幾何解讀課件

第七講海岸線的長度問題

第七講海岸線的長度問題1歐幾里得幾何歐幾里得幾何2大自然的幾何學(xué)放眼宇宙，細(xì)看犬牙交錯的海岸線，美麗對稱而邊緣并不平滑的雪花，以及天上的云朵，山中的楓葉…，絕大多數(shù)的客觀實物，并不像歐幾里得幾何中討論的點、線段、圓、立方體、球等乃至笛卡兒的解析幾何中的橢圓、橢球等那樣單純；復(fù)雜是宇宙的本性。有不少東西大處和小處的結(jié)構(gòu)有相似性，大自然的幾何學(xué)放眼宇宙，3例如太陽系，地球繞著太陽轉(zhuǎn)，月亮又繞著地球轉(zhuǎn)，月亮上的氫原子核外又有繞其旋轉(zhuǎn)的電子等等，這種無限嵌套的精細(xì)的層次結(jié)構(gòu)實乃大自然的幾何學(xué)！例如太陽系，4

多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和概念來描述我們這個生存的世界。但是自然界隨機性似乎常常產(chǎn)生出無法用歐幾里得幾何描述的對象。在這些場合，分形是最好的描述工具多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和5分形幾何學(xué)的基本思想分形幾何學(xué)的基本思想6我們的主觀世界認(rèn)知范圍是“有限”的，但是客觀世界是“無限”的，我們需要開拓自己的認(rèn)知領(lǐng)域。(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件7思考1.閃電、沖積扇、泥裂、凍豆腐、水系、小麥須根系、樹冠、支氣管、星系、材料斷口、大腦皮層等等復(fù)雜、不規(guī)則的圖形還能用歐幾里得幾何描述嗎？2.一塊稻田的面積可以用歐幾里得幾何，但假如稻田干涸時的“泥裂”還能用歐幾里得幾何嗎？3.劉徽“割圓術(shù)”能得到圓周長，但類似的方法能得到“海岸線”的長嗎？思考1.閃電、沖積扇、泥裂、凍豆腐、水系、小麥須根8你會相信嗎？我們的主觀世界認(rèn)知范圍是“有限”的，但是客觀世界是“無限”的，我們需要開拓自己的認(rèn)知領(lǐng)域。以下一些問題，在你所認(rèn)知的領(lǐng)域里可能較難判斷。你會相信嗎？我們的主觀世界認(rèn)知范圍是“有限”的，但是客觀世界91.你相信有這樣的曲線嗎？

它所圍的面積是有限的

但它的周長是無限的！1.你相信有這樣的曲線嗎？

10答：有這樣的曲線：雪花曲線（科克1904年創(chuàng)造的曲線）就有這樣兩個出乎意料的迷人的矛盾特性。直覺：曲線周長趨勢？所圍面積趨勢？答：有這樣的曲線：直覺：曲線周長趨勢？所圍面積趨勢？112.你相信有這樣的圖形嗎？

它的周長趨近于無窮大

而它的面積則趨近于零2.你相信有這樣的圖形嗎？12答：有直覺和想象：周長怎么變？面積怎么變？清涼座墊答：有直覺和想象：周長怎么變？面積怎么變？清涼座墊133.你相信有這樣的立體圖形嗎？

它的表面積趨于無窮大

而它的體積則趨于零3.你相信有這樣的立體圖形嗎？14謝爾賓斯基海綿謝爾賓斯基海綿15答：有—謝爾賓斯基海綿。將一個正方體的每個面9等分，則正方體被分成27個小正方體，抽去體心與面心處的7個小正方體；然后，對剩下的20個小正方體中的每一個再實施以上的操作，如此下去……答：有—謝爾賓斯基海綿。將一個正方體的每個面9等分，則正方體16謝爾賓斯基海綿謝爾賓斯基海綿17分形討論圖形的復(fù)雜性以上三種“怪物”有什么共同特點？幾何分形或正規(guī)分形自相似性。局部形態(tài)與整體形態(tài)的相似性。形象地說，就是我們用任何倍數(shù)的顯微鏡去觀察任一局部，都與整體有相似的形態(tài)。（歐幾里得幾何中的圓就沒有這種特性，把圓的一部分放大后便變得比較平直）分形討論圖形的復(fù)雜性以上三種“怪物”有什么共同特點？18一、分形起源從海岸線長度談起1.B.B.Mandelbrot的工作1967年法國數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot（蒙德爾布羅）在《科學(xué)》雜志上發(fā)表文章“英國的海岸線有多長？”。他發(fā)現(xiàn)這個差距源于海岸線形狀的不規(guī)則性及用來測量的尺子長短不一。

一、分形起源從海岸線長度談起19(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件20這看似極其簡單，但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。這看似極其簡單，但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：21但是，在歐幾里得幾何中，

當(dāng)尺的長度趨于零的時候，

測量出的長度趨于圓周長！但是，在歐幾里得幾何中，

當(dāng)尺的長度趨于零的時候，

測量出的22但是，當(dāng)尺的長度趨于零的時候，海岸線的長度卻趨于無窮大！在理論數(shù)學(xué)中，瑞典數(shù)學(xué)家Koch早在1904年就構(gòu)造了如今稱之為“柯赫曲線”(Kochcurve)的幾何對象。直覺：周長趨于無限，面積趨于有限邏輯：如何證明？但是，當(dāng)尺的長度趨于零的時候，海岸線的長度卻趨于無窮大！23或3*1=33+3*1/3=3*4/33*4/3+12*1/3*1/3=3*4/3*4/3數(shù)學(xué)文化：一般到特殊，特殊到一般，歸納總結(jié)找規(guī)律的猜想，證明規(guī)律的猜想得結(jié)論或3*1=33+3*1/3=3*4/324雪花曲線的特點——自相似性。任何一個局部放大后都與整體非常相似。（歐幾里得中的圓就沒有這個性質(zhì)）雪花曲線的特點——自相似性。任何一個局部放大后都與整體非常相25(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件26(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件27(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件28郵票上的雪花曲線（保加利亞）有什么奧秘？郵票上的雪花曲線（保加利亞）有什么奧秘？29隆冬雪花你細(xì)瞧海岸線，就有類似的形狀雪花邊界線的長度？面積？隆冬雪花你細(xì)瞧海岸線，就有類似的形狀雪花邊界線的長度？面積？30春風(fēng)楊柳（分形樹）

春天到了，從一枝長1的柳條的1/3與2/3處各長出長為1/3的新枝，分叉點把新枝分成5段，每段又從其1/3與2/3處長出新枝，此剛長出的新枝之長是該段長的1/3，如此生長下去，最后得到枝繁葉茂的一棵樹。請算一算枝條的總長度。春風(fēng)楊柳（分形樹）

春天到了，從一枝長1的柳條的1/3與2/31(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件32B.B.Mandelbrot：“1975年，我由描述碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形（fractal）一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)則的?！薄笆紫龋鼈兲幪師o規(guī)則可言。其次，它們在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則性。不論從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形看起來一個模樣——它是自相似的。

B.B.Mandelbrot：33“整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點，近處看則發(fā)現(xiàn)它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似?！薄白匀唤缣峁┝嗽S多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征?！?---B.B.Mandelbrot“整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點34(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件35(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件36(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件37(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件38(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件39分形例子—蒙德爾布羅集2.Mandelbrot集大圖是左上角矩形部分的放大，大圖中的矩形部分跟整體又是“自相似”的分形例子—蒙德爾布羅集大圖是左上角矩形部分的放大，大圖中的矩40分形圖形的“自相似性”分形圖形的“自相似性”41(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件42(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件43(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件44(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件45(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件46(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件47(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件48(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件49(修改)第七講：從海岸線長度談起——分形幾何解讀課件50實際上一大類規(guī)則分形都可以這樣生成出來，這種過程具有一般性，并可以用幾套語言類似地表示出來：分形=原形+生成元+迭代分形=公理+產(chǎn)生式+解釋分形=初條件+輸入+反饋實際上一大類規(guī)則分形都可以這樣生成出來，這種過程具有一般性，51分形幾何的應(yīng)用圖像，數(shù)據(jù)壓縮方面的研究。如：對某一個靜態(tài)場景的分形壓縮。自然景物的模擬如：雪花，海岸線，分形山，分形樹葉，分形生長模型分形幾何的應(yīng)用圖像，數(shù)據(jù)壓縮方面的研究。52分形植物真實的植物分形植物真實的植物53用迭代函數(shù)算法畫的樹用迭代函數(shù)算法畫的樹54分形藝術(shù)圖片分形藝術(shù)圖片55分形藝術(shù)圖片分形藝術(shù)圖片56分形幾何的意義分形幾何的意義57二、混沌自然界中的萬物都遵循一定的規(guī)律。傳統(tǒng)觀點認(rèn)為，只要掌握了這些規(guī)律就可以準(zhǔn)確的預(yù)測事物的未來。例如，天文學(xué)家根據(jù)天體運行的牛頓定律就能預(yù)見未來時間里發(fā)生日月蝕的具體時刻。然而，自然界中也存在著許多事物，人們根本不能預(yù)見它們未來的運動變化。二、混沌自然界中的萬物都遵循一定的規(guī)律58例如，空氣中飄動的氣球，氣球本身和作用于氣球的空氣流同樣也都受到牛頓動力學(xué)的支配，但無人能夠準(zhǔn)確地預(yù)測它在不久將來的位置。這種現(xiàn)象根據(jù)確定論代表人物法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯的觀點，其原因是我們不能準(zhǔn)確知曉氣球所在的初始位置和速度及作用于氣球的空氣流的方向和速度。但若從此觀點看這種現(xiàn)象，人們不覺會認(rèn)為自然界的一切隨機不確定現(xiàn)象都源于不可知因素作用的結(jié)果，可能就要產(chǎn)生錯誤。例如，空氣中飄動的氣球，氣球本身和作用于氣球的空氣流同樣也都59蝴蝶效應(yīng)1963年，美國氣象學(xué)家洛倫茨發(fā)現(xiàn)的“蝴蝶效應(yīng)”便是其中典型一例。洛倫茨在一個由三維一階微分方程組描述的氣象預(yù)報模型中，發(fā)現(xiàn)該確定的數(shù)學(xué)模型產(chǎn)生的結(jié)果不是趨于穩(wěn)定平衡的，也不是趨于某種周期性變化，而是貌似隨機的。近似的初始條件并不能獲得近似的結(jié)果，更甚者，兩者的差異隨時間增大而越大。但這種現(xiàn)象并不是由于計算機的精度或可靠性等原因造成的。之后，這種類似現(xiàn)象被大量發(fā)現(xiàn)，引起眾多學(xué)者的關(guān)注。1975年，美國數(shù)學(xué)家約克和華人學(xué)者李天巖將“蝴蝶效應(yīng)”之類的現(xiàn)象稱之為“混沌”。對混沌現(xiàn)象的研究加深了人們對非線性現(xiàn)象的理解，深化了對混沌現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識。蝴蝶效應(yīng)1963年，美國氣象學(xué)家洛倫茨發(fā)現(xiàn)的“蝴蝶效應(yīng)”便是60混沌討論過程的復(fù)雜性

失之毫厘，謬以千里

1.精確度要求很高時要考慮。2.混沌系統(tǒng)中就是“失之毫厘，謬以千里。”如“洛倫茲的天氣預(yù)報”。3.線性系統(tǒng)中，小的擾動只產(chǎn)生結(jié)果的小偏差?；煦缬懻撨^程的復(fù)雜性

失之毫厘，謬以千里

61混沌是比有序更為普遍的現(xiàn)象“蝴蝶效應(yīng)”：巴西的蝴蝶扇一下翅膀，可能會引起幾周之后在美國德克薩斯州有一場風(fēng)暴?！鍌惼潯皩Τ踔档臉O端敏感”在天氣預(yù)報中的發(fā)現(xiàn)?；煦缡潜扔行蚋鼮槠毡榈默F(xiàn)象“蝴蝶效應(yīng)”：62E.N.Lorenz的工作美國氣象學(xué)家E.N.Lorenz在天氣預(yù)報中的發(fā)現(xiàn)是混沌認(rèn)識過程中的一個里程碑。1963年，他在麻省理工學(xué)院操作著一臺當(dāng)時比較的先進工具——計算機進行天氣模擬，試圖進行長期天氣預(yù)報。Lorenz發(fā)現(xiàn)混沌運動的兩個重要特點：（1）對初值極端敏感；(2)解并不是完全隨機的。Lorenz之后，混沌學(xué)的研究開始蓬勃發(fā)展。E.N.Lorenz的工作63三、關(guān)于混沌的思考1.混沌的特點1)混沌是決定論系統(tǒng)的內(nèi)在隨機性，這種隨機性與我們過去所了解的隨機性現(xiàn)象，比如拋硬幣等有很大的區(qū)別。2)混沌對初值的敏感依賴性。在線性系統(tǒng)中，小擾動只產(chǎn)生結(jié)果的小偏差，但對混沌系統(tǒng)，則是“失之毫厘，謬以千里”。3)混沌不是有序，也不是簡單的無序，更不是通常意義下的有序。三、關(guān)于混沌的思考1.混沌的特點642.混沌的意義1)混沌的發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)危機是不同的。數(shù)學(xué)危機是人們對于數(shù)學(xué)根基的質(zhì)疑，而混沌則是人們在看似簡單的問題中發(fā)現(xiàn)了復(fù)雜的現(xiàn)象。2)混沌絕不單單是有趣的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，混沌是比一般的有序更為普遍的現(xiàn)象，它使我們對物質(zhì)世界有了更深一層的認(rèn)識，為我們研究自然的復(fù)雜性開辟了一條道路，同時也引出了關(guān)于物質(zhì)世界認(rèn)識論上的一些哲學(xué)思考。2.混沌的意義65四、混沌學(xué)的應(yīng)用1.通過對生命現(xiàn)象進行的考察，發(fā)現(xiàn)各種各樣的生物節(jié)律既非完全周期，又不可能屬于純粹隨機，它們既有與自然界周期（季節(jié)，晝夜等）協(xié)調(diào)的一面，又有著內(nèi)在的復(fù)雜性質(zhì)。20世紀(jì)20年代后期已經(jīng)有人用非線性電路模擬過心臟搏動。近幾年更發(fā)現(xiàn)了心律不齊等病癥與混沌運動的聯(lián)系。四、混沌學(xué)的應(yīng)用1.通過對生66如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲癇患者發(fā)病時的腦電波呈明顯的周期性，而正常人的腦電波近乎隨機訊號。進一步測量表明它們不是隨機的，而是接近于混沌系統(tǒng)。雖然距離最終認(rèn)清它們還很遠(yuǎn)，但現(xiàn)在已有人進行利用混沌過程預(yù)測和控制癲癇，心律不齊等等病癥。如果考察人類腦電波，對比就更為尖銳。癲67精神病監(jiān)測和治療的最新研究成果正常人的腦電波不是周期的而是混沌的，精神病人犯病時的腦電波卻是周期的。因此可以在精神病人體內(nèi)植入芯片監(jiān)測其腦電波，一旦發(fā)現(xiàn)腦電波接近周期的，就很可能要犯病了，應(yīng)該及時采取措施。這已經(jīng)應(yīng)用于臨床。進一步的研究是在其腦電波接近周期時，給他一個刺激，使其腦電波重新回到混沌狀態(tài)。但是由于混沌現(xiàn)象的一個特點是“對初值極端敏感”，刺激不當(dāng)可能導(dǎo)致病人死亡，所以現(xiàn)在尚未應(yīng)用于臨床。精神病監(jiān)測和治療的最新研究成果正常人的腦電波不是周期的而是混68

2.對于氣象學(xué)研究方面，似乎混沌動力學(xué)的發(fā)展排除了長期預(yù)報的可能性。但是另一方面我們現(xiàn)在對于預(yù)報問題有了更符合實際的態(tài)度。其實對短期預(yù)報和長期預(yù)報的要求從來不同。2.對于氣象學(xué)研究方面，似乎混沌動69只有對于短期預(yù)報，我們才關(guān)心變化的細(xì)節(jié)。對于長期預(yù)報，人們更注意各種平均量的發(fā)展趨勢，例如今后20年內(nèi)華北年降水量的多少?；煦鐒恿W(xué)的進步，恰恰在這方面提高了人類的預(yù)報本領(lǐng)。只有對于短期預(yù)報，我們才關(guān)心變化的細(xì)節(jié)。70

3.基于混沌理論的保密通信、信息加密和信息隱藏技術(shù)的研究已成為國際熱門前沿課題之一，也是高科技研究的一個新領(lǐng)域。盡管已有許多混沌加密方案被提出，但混沌密碼學(xué)的理論還未完全成熟，混沌密碼學(xué)的研究仍然是一個新的具有挑戰(zhàn)性的前沿課題。3.基于混沌理論的保密通信、信息71

4.目前將將混沌理論應(yīng)用到經(jīng)濟理論上的研究也十分活躍，但混沌理論最現(xiàn)實應(yīng)用的應(yīng)屬于美國一交通工程師小組，他們在1988年把混沌與錯綜復(fù)雜的交通圖形聯(lián)系了起來，若有人被停停走走堵塞在公路上，那他就可以把責(zé)任推給混沌。4.目前將將混沌理論應(yīng)用到經(jīng)濟理72分形幾何進入中學(xué)數(shù)學(xué)課程1.分形幾何進入中學(xué)數(shù)學(xué)課程的必要性1）分形幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的又一次進步2）分形理論是描述現(xiàn)實世界的有力工具3）分形幾何是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的極好材料4）有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展辯證思維，提高審美情趣的思想方法。5）課程現(xiàn)代化的需要分形幾何進入中學(xué)數(shù)學(xué)課程73在數(shù)學(xué)上說，分形是一種形式，它從一個對象——例如線段、點、三角形——