2022-2023學年河南省洛陽強基聯(lián)盟高一年級下冊學期5月聯(lián)考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河南省洛陽強基聯(lián)盟高一下學期5月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．若復數(shù)z滿足z（1＋i）＝2（i為虛數(shù)單位），則在復平面內復數(shù)z對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除法運算，求得，再求其對應點即可判斷.【詳解】∵，∴，∴在復平面內復數(shù)z對應的點位于第四象限．故選：D．2．在某中學高一年級的300名學生中，男生有120名，女生有180名.學校想了解學生對選修課程的看法，以便開設有關課程，現(xiàn)準備從高一學生中按性別用分層隨機抽樣的方法選取60人，則應抽取的女生人數(shù)為（

）A．24 B．36 C．40 D．48【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的定義，計算男女比例為，再計算出應抽取的女生人數(shù)即可.【詳解】由題意得，男、女生的比例為,故用分層隨機抽樣的方法選取60人,則應抽取的女生人數(shù)為.故選：B.3．（理科）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點，則異面直線AC和EF所成的角為（

）A．90° B．60° C．45° D．30°【答案】B【分析】E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點，則，為異面直線AC和EF所成的角或其補角，在三角形中求解即可．【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)分別為棱BC和棱的中點，∴，又正方體中，∴，∴為異面直線AC和EF所成的角或其補角，而是正三角形，即，所以異面直線AC和EF所成的角是．故選：B.【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是作出異面直線所成的角．4．“雙減”政策實施后，學生的課外閱讀增多，某班50名學生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下表.借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學生的借書數(shù)量的第25百分位數(shù)是（

）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5【答案】C【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】由,故第25百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第13人,又，故第25百分位數(shù)是6.故選：C.5．在中，，，若平面，，則點到的距離是（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】取的中點，連接、，即可得到，再由線面垂直，得到，從而得到面，即可得到，再由勾股定理求出即可；【詳解】解：如圖，取的中點，連接、，因為，所以，又平面，平面，所以，，面，所以面，面，所以，在中，，，所以，在中，，，所以故選：B6．設l，m是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】B【分析】對于A，C與D，可通過舉反例的方式說明其錯誤性，B選項可以直接證明其正確性.【詳解】對于A，若，，，此時與可能相交，如下圖所示：

對于C與D，若，，，則與均可能發(fā)生，如下圖所示：

對于B，若，，則，又因為，故.故選：B.7．紫金山位于江蘇省南京市玄武區(qū)境內，是江南四大名山之一，三峰相連形如巨龍，山、水、城渾然一體，古有“鐘山龍蟠，石城虎踞”之稱.建筑師在高度接近200米的峰頂測得一建筑物頂部的仰角為，底部的俯角為，那么該建筑的高度接近（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】作出示意圖,過點作，利用三角函數(shù)即可求出，則得到長.【詳解】作出示意圖,過點作,其中,

可得，在直角中,因為,則,在直角中,因為,可得,則米,所以建筑的高度接近米.故選：A.8．已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，結合題意得，結合即得解.【詳解】，因為，所以，又，所以．故選：B．二、多選題9．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，.若有唯一解，則的值可以是（

）A．1 B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)正弦定理三角形有唯一解，得到或，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解；【詳解】解：因為，，因為有唯一解，所以或，即，故選：BD10．某學校為了了解本校學生的上學方式，在全校范圍內隨機抽查部分學生，了解到上學方式主要有：結伴步行，自行乘車，家人接送，其他方式.并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（

）

A．扇形統(tǒng)計圖中D的占比最小 B．條形統(tǒng)計圖中A和C一樣高C．無法計算扇形統(tǒng)計圖中A的占比 D．估計該校一半的學生選擇結伴步行或家人接送【答案】ABD【分析】根據(jù)方式上學的學生占比即可求出總人數(shù)，則得到方式出行的人數(shù)，選項一一分析即可.【詳解】由條形統(tǒng)計圖知，自行乘車上學的有42人,家人接送上學的有30人,其他方式上學的有18人,采用三種方式上學的共90人,由扇形統(tǒng)計圖知,其他方式上學的學生占,所以人，則結伴步行上學的有人，故條形圖中一樣高，故B正確，扇形圖中類占比與一樣都為，和共占,故C錯誤，D正確.因為其他方式上學的人數(shù)最少，故扇形統(tǒng)計圖中D的的占比最小，故A正確.故選：ABD.11．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，則下列結論正確的是（

）A．“至少有一個紅球”和“至少有一個黑球”是互斥事件B．“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件D．“至少一個黑球”和“都是紅球”是對立事件【答案】BD【分析】利用對立事件、互斥事件的定義直接求解．【詳解】解：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋中任取2個小球，可能結果有：二個紅球，一個紅球一個黑球，二個黑球；對于，“至少一個紅球”和“至少有一個黑球”能同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤；對于，“恰有一個黑球”和“都是黑球”不能同時發(fā)生，是互斥事件，故正確；對于，“恰有一個紅球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是可以同時都不發(fā)生，是互斥事件，但不是對立事件，故錯誤；對于，“至少一個黑球”和“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是一定有一個要發(fā)生，是對立事件，故正確．故選：．12．如圖所示，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，，，為線段上的點（不包括端點），則（

）

A． B．平面C．二面角的大小為定值 D．的最小值為【答案】CD【分析】對于A，利用線面垂直的判定定理和性質定理即可得出；對于B，利用線面平行的性質定理即可得出；對于C，由二面角的定義即可判斷；對于D，將側面和展開在一個平面內，結合余弦定理即可得出.【詳解】對于A，平面，平面，，假設，又平面PAD，平面，又平面，，而四邊形為正方形，與矛盾，所以假設錯誤，故不正確，故A不正確；對于B，設，連接，假設平面，

又平面平面，則，在中，因為為的中點，則必為的中點，這與為線段上的動點矛盾，所以假設錯誤，故B不正確；對于C，為線段上的動點，二面角的大小即為二面角的大小，因為二面角的大小為定值，所以二面角的大小為定值，故C正確；對于D，平面，平面，，為等腰直角三角形，平面，平面，，即，又四邊形為正方形，，平面PAD，平面，平面，，為直角三角形，如圖，將側面和展開在一個平面內，，連接，當處在與的交點處時，取得最小值，此時，在中，由余弦定理，得，所以的最小值為，故D正確.

故選：CD.三、填空題13．在中，，若，則.【答案】/1.5【分析】根據(jù)共線向量關系即可得到，則得到值.【詳解】因為在中,，則，所以，即.故答案為：.14．某廠有A，B兩條生產(chǎn)線制造同一型號可充電電池.現(xiàn)采用分層隨機抽樣，從某天兩條生產(chǎn)線上的成品中隨機抽取20件成品，測試產(chǎn)品可充電次數(shù)的均值及方差，結果如下表：項目抽取成品數(shù)樣本均值樣本方差A生產(chǎn)線產(chǎn)品82101B生產(chǎn)線產(chǎn)品122001則20個產(chǎn)品組成的總樣本的方差為.【答案】25【分析】首先計算出樣本平均數(shù)，再利用方差公式即可.【詳解】依題意得,總樣本平均數(shù)，故答案為：25.15．在某次國際圍棋比賽中，中國派出包含甲、乙在內的5位棋手參加比賽，他們分成兩個小組，其中一個小組有3位，另外一個小組有2位，則甲和乙分在不同小組的概率為.【答案】/【分析】寫出所有的樣本空間以及滿足題意得情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可得到答案.【詳解】這5名棋手分別記為:甲,乙,,,,則樣本空間(甲乙，)，(甲乙，)，(甲乙，)，(甲，乙),(甲，乙),(甲，乙),(乙，甲),(乙，甲),(乙，甲),(，甲乙)共含有10個樣本點，設事件表示“甲和乙分在不同小組”,則,所以甲和乙分在不同小組的概率為.故答案為：.16．已知等腰直角三角形ABC的三個頂點都在球O的球面上，，若球O上的點到平面ABC的最大距離為4，則球O的體積為.【答案】【分析】過的中點作平面的垂線，設，球的半徑為，根據(jù)題意得，根據(jù)列出方程即可解出半徑，再根據(jù)球的體積即可求出答案.【詳解】因為是等腰直角三角形且,所以且.如圖，過的中點作平面的垂線，則球心在直線上.設，球的半徑為，不妨設點是球上的一點,則球上的點到平面的最大距離為.所以.由勾股定理得,即，得+8，解得.所以球的體積為.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵作出球心位置，即：過的中點作平面的垂線，分析找到球心位于直線上，設，球的半徑為，則球O上的點到平面ABC的最大距離為，再利用勾股定理得到方程即可解出.四、解答題17．已知向量，．(1)求向量；(2)若向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標表示即可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及向量的模的坐標表示，利用兩向量垂直的條件及數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】（1）因為，，所以.（2）因為，，所以，又因為向量與互相垂直，且，所以，解得，所以的值為．18．已知a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，且．(1)求A；(2)若，且的面積為，求b，c．【答案】(1)(2)，【分析】（1）應用正弦定理結合兩角和差公式計算求解即可；（2）應用余弦定理及三角形面積公式，列方程求邊即得.【詳解】（1）在中，由正弦定理及得，又，代入上式，得，∵，∴，∴，∵，∴．（2）由（1）知，又，∴由余弦定理得，即，①又∵的面積為，∴有，即，∴，②解由①②組成的方程組得，．19．學校對甲、乙兩人的學習態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面做了一個初步的評估，成績（單位：分）如下表所示.學習態(tài)度考試成績活動參與甲989695乙909998(1)如果以學習態(tài)度、考試成績及活動參與三個方面的平均分來計算他們的成績，并以此作為評優(yōu)的依據(jù)，你認為誰會被評為優(yōu)秀？(2)如果以20%，60%，20%依次作為三項成績的比例來計算他們的成績，結果又會如何？【答案】(1)甲被評為優(yōu)秀.(2)乙被評為優(yōu)秀.【分析】（1）直接計算甲乙各自的平均分，再比較大小即可；（2）按比例計算成績，再比較大小即可.【詳解】（1）甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).甲的平均分較高,甲被評為優(yōu)秀.（2）甲的平均分:(分).乙的平均分:(分).乙的平均分較高,乙被評為優(yōu)秀.20．如圖，三角形PCD所在的平面與等腰梯形ABCD所在的平面垂直，AB＝AD＝CD，AB∥CD，CP⊥CD，M為PD的中點．（1）求證：AM∥平面PBC；（2）求證：BD⊥平面PBC．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）取的中點，連，，可證得四邊形為平行四邊形，于是，然后根據(jù)線面平行的判定定理可得結論成立．（2）在等腰中梯形中，取的中點，連，，證得四邊形為菱形，進而得．同理四邊形為菱形，可得．再由平面平面得到平面，于是得，最后根據(jù)線面垂直的判定可得平面．【詳解】證明：（1）如圖，取的中點，連，，∵為的中點，為的中點，∴，．又，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面（2）如圖，在等腰中梯形中，取的中點，連，．∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形．又，∴四邊形為菱形，∴．同理，四邊形為菱形，∴．∵，∴．∵平面平面，平面平面，，平面，∴平面，又平面，∴．∵，，∴平面．【點睛】本題考查線面關系的證明，解題的關鍵是根據(jù)所證的結論并結合三種平行（垂直）間的關系進行合理轉化，以得到證題所需的條件，考查轉化能力的運用和對基本判定方法、性質的掌握程度，屬于基礎題．21．《青年大學習》是共青團中央組織的，以“學習新思想，爭做新青年”為主題的黨史團課學習行動，2023年已開展到第7期.某市團市委為了解全市青年每周利用“青年大學習”了解國家動態(tài)的情況，從全市隨機抽取1000名青年進行調查，統(tǒng)計他們每周利用“青年大學習”進行學習的時長（單位：分鐘），根據(jù)調查結果繪制的頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求被抽取的青年每周利用“青年大學習”進行學習的時長的中位數(shù)；(2)市宣傳部門擬從被抽取青年中選出部分青年參加座談會.辦法是：采用分層抽樣的方法從學習時長在和的青年中共抽取5人，且從參會的5人中又隨機抽取2人發(fā)言，求學習時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）頻率直方圖下的面積之和為1，解出m，知道中位數(shù)是處于最中間的數(shù)，中位數(shù)左邊的頻率為0.5.（2）分層抽樣是按比例抽取的，在算概率時，可以從對立事件出發(fā).【詳解】（1）,解得.設中位數(shù)為,則,解得（2）學習時長在和的青年人數(shù)分別是200、300人.從中抽取5人，則學習時長在的抽取2人，學習時長在的抽取3人.學習時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率可用1減去“發(fā)言的都是學習時長在的人的概率”，即.故學習時長在中至少有1人被抽中發(fā)言的概率為.22．如圖，四棱錐中，底面ABCD，為等邊三角形，，，M是PB上一點，且，N是PC的中點.

(1)求證：；(2)若二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(