2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）（含答案解析）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二）

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2,4},B={x|-5<3x-2<7},則Afl8=（）

A.1—1,0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2)D.{0,1,2,4)

c-l-3i,

2.--------=()

l-3i

34.43.〃34.43.

A.一+一1B.—1—1C.------1D.——1

55555555

3.第24屆冬奧會(huì)于2022年02月04日?2022年02月20日在我國(guó)北京市和張家口

市聯(lián)合舉行.為了解某校中小學(xué)生對(duì)冬奧會(huì)參賽項(xiàng)目的熟知程度，從該校3000名學(xué)生

中，利用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100人進(jìn)行調(diào)查，若小學(xué)、初中、高中的學(xué)生人數(shù)如

下表：

小學(xué)生初中生高中生

12001050a

則從高中生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.25B.30C.35

D.40

12

4%>3廣是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知拋物線C：V=2px（p>2）上一點(diǎn)網(wǎng)〃?,2夜）到其焦點(diǎn)尸的距離為3,則片

（）

7

A.3B.-C.4D.5

2

6.已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。，E分別為A8,8c的中點(diǎn)，若詼=之而

（2GR）,且而?比=g,貝ij/l二（）

A.—B.1C.2D.4

7.甲、乙兩名同學(xué)從生物、地理、政治、化學(xué)中各選兩門進(jìn)行學(xué)習(xí)，若甲、乙不能同

時(shí)選生物，則甲、乙總的選法種數(shù)有（）

A.27B.36C.18D.24

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在［3,物)上單調(diào)遞減，且y=/(x+3)為偶函數(shù)，則關(guān)

于x的不等式/任)>/(4)的解集為()

A.卜2,-2)B.—^2,2j<J(2,+<?)

C.2)u(2,+<x>)D.(-2,2)

二、多選題

9.以下條件能夠判斷平面a與平面夕平行的是()

A.平面a內(nèi)有兩條直線與平面夕平行

B.兩不同平面a,夕平行于同一個(gè)平面

C.平面a內(nèi)的任意一條直線與平面萬(wàn)無(wú)公共點(diǎn)

D.夾在平面a與平面夕間的兩條平行線段相等

10.已知a>0,h>0,a+b=2,貝ij()

A.0<a<lB.0<cib<\C.a2+b2>2D.0<h<2

11.已知直線/：(l-2w)x-(w-l)y+7/n-4=0,圓C：x2+/-2x-4y-20=0,則

()

A.直線/恒過(guò)定點(diǎn)(1,3)B.直線/與圓C相交

C.圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為3莊D.當(dāng)圓C被直線/截得的弦最短時(shí)，

4

12.已知函數(shù)/(x)=kinx+cosM+sin2x,則()

A.4是函數(shù)的一個(gè)周期

B.x=-?是函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸

C.函數(shù)f(x)的最大值為拒+1,最小值為-1

D.函數(shù)f(x)在弓肛［乃］上單調(diào)遞增

三、填空題

13.已知函數(shù)f(x)=lnx+ar的圖象在(1J⑴)處的切線的傾斜角為60。，則”

14.已知雙曲線的虛半軸長(zhǎng)與半焦距之比為1:3,則雙曲線的離心率為.

15.張衡(78年一139年)是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.他的

數(shù)學(xué)著作有《算罔論》.他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知

正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A,B,若線段48的最大值為"+近，利

用張衡的結(jié)論可得該正方體內(nèi)切球的表面積為.

22

16.已知數(shù)列｛%｝、｛〃,｝,q=/一，"=—匚，其前“項(xiàng)和分別為九T?,記最

2n-l2〃+1

接近S“-的整數(shù)為C“，則。++…+Joo=.

四、解答題

17.已知｛4｝為等差數(shù)列，他｝為等比數(shù)列，｛2｝的前"項(xiàng)和5“=3.2”-3,a,=bt,

%+縱＞=4.

⑴求數(shù)列｛叫，｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)記%=彳?,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和T?.

18.如圖，在四邊形ABC。中，ZBCD=120°.若C￡>=2#,49=8,,求

A8的長(zhǎng).

從①BD=6,ZADC=75°；②cosZ/l￡)8=g,NCBD=45。；③工加=12百，

NCBD=45。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.(注：如果選擇多

個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分)

19.如圖，A8是。。的直徑，C是圓周上不同于A、8的任意一點(diǎn)，8E垂直所

在的平面，四邊形。CBE為平行四邊形.

(1)求證：平面ADEJ■平面CAO；

(2)若AB=2,CD=6,BC=l,求直線A8與平面ADE所成角的正弦值.

20.黨的十九屆五中全會(huì)強(qiáng)調(diào)“創(chuàng)新”在我國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)中的重要戰(zhàn)略地位，確保發(fā)展

經(jīng)濟(jì)著力點(diǎn)放在實(shí)體經(jīng)濟(jì)上，為促進(jìn)經(jīng)濟(jì)活力，拉動(dòng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，必須大力推

進(jìn)大眾創(chuàng)業(yè)、萬(wàn)眾創(chuàng)新.某幾位大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一家服務(wù)公司，該公司提

供A、8兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品(人們購(gòu)買時(shí)每次只買其中一種)服務(wù)，他們經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分

析發(fā)現(xiàn)：第一次購(gòu)買產(chǎn)品的人購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為:，購(gòu)買3產(chǎn)品的概率為:，而前

一次購(gòu)買A產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為了，購(gòu)買8產(chǎn)品的概率為前一

44

次購(gòu)買5產(chǎn)品的人下一次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為購(gòu)買B產(chǎn)品的概率也是3，如此

往復(fù).記某人第"次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為匕.

(1)求2；

(2)記第二次來(lái)公司購(gòu)買產(chǎn)品的3個(gè)人中有X個(gè)人購(gòu)買A產(chǎn)品，3人是否購(gòu)買A產(chǎn)品相

互獨(dú)立，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22

21.已知橢圓C：二+與=1。＞0),直線/不過(guò)原點(diǎn)。且不平行于坐標(biāo)軸，/與橢圓

4/7-b~

C交于A、5兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線QM的斜率與直線/的斜率的乘積為定值；

(2)若直線/的方程為y=x-l,延長(zhǎng)線段?！芭c橢圓C交于點(diǎn)P,四邊形Q4P8為平行四

邊形，求橢圓C的方程.

22.已知函數(shù)/(x)=xlnx-(a+l)x+e".

⑴求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式/(x)M(x—。-2)ei+e"對(duì)任意xe[l,+e)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案:

1.B

【解析】

【分析】

解不等式化簡(jiǎn)集合B,再利用交集的定義直接計(jì)算作答.

【詳解】

因8={H—5<3X—2<7}={X[—1<X<3},而A={-2,-1,0,1,2,4},

所以4口3={0,1.2}.

故選：B

2.D

【解析】

【分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接計(jì)算作答.

【詳解】

-l-3i=(T_3i)(l+3i)_8-6^=4_3.

l-3i101051,

故選：D

3.A

【解析】

【分析】

直接利用分層抽樣的特點(diǎn)求解即可.

【詳解】

??,高中生人數(shù)為3000-1200-1050=750,

...從高中生中應(yīng)抽取的人數(shù)為750x^=25.

300()

故選:A.

4.B

【解析】

【分析】

直接利用充分條件和必要條件得定義判斷即可

【詳解】

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

由已知條件得3；>35，

皿|“一2，，—“一|，，”|2一，，幺“一，，

則。>35=sa>35'a>35聲a>35'

I2

即“a>3：”是7>31’的必要不充分條件，

故選：B.

5.C

【解析】

【分析】

利用拋物線定義結(jié)合已知條件列出方程組，求解方程組作答.

【詳解】

拋物線C：y、2px(p>2)的焦點(diǎn)嗎,0),準(zhǔn)線=

由點(diǎn)P(〃?,2&)到尸的距離為3得：加+卜3,即加=3-勺

由點(diǎn)P(肛20)在拋物線上得：29=8,因此有2P(3-9=8,整理得/-62+8=0,而

P>2,解得。=4,

所以P=4.

故選：C

6.C

【解析】

【分析】

由題意畫出圖形，把向量通用向量而和衣表示，結(jié)合赤?冊(cè)=g可求得2的值.

【詳解】

由已知條件，圖形如下圖所示：

F

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

AF=AE+EF=1（AS+AC）+4-O￡=3（福+碼+白/

=*—+——

AFBC=-AB+

2

=—x2x2x—+一x2x2x-=l

222'

解得4=2.

故選：C.

7.A

【解析】

【分析】

分別求出甲選生物和甲不選生物時(shí)，甲、乙的選法種數(shù)，然后利用加法計(jì)數(shù)原理即可.

【詳解】

當(dāng)甲選生物，乙不選生物時(shí)，甲、乙的選法有C；C；=9種；

當(dāng)甲不選生物，乙隨便選，甲、乙的選法有C；C；=18種，

則甲、乙總的選法有9+18=27種.

故選：A.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解.

【詳解】

y=/(x+3)為偶函數(shù)，，〃x+3)=/(3-x),

；?函數(shù)y=/(x)關(guān)于直線x=3對(duì)稱，

又???函數(shù)/(x)在［3,+8)上單調(diào)遞減，

2<x2<4,解得-2<x<-yjl或0Vx<2.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

即不等式/（?。?gt;“4）的解集為卜2,-夜）U（&,2）,

故選：A.

9.BC

【解析】

【分析】

由面面平行的判定定理和面面的位置關(guān)系即可判斷.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A,由面面平行的判定定理可知，若平面a內(nèi)有兩條相交直線與平面用平行，則

平面a與平面月平行，則A不正確；

對(duì)于選項(xiàng)B，平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，則B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,兩個(gè)平面的位置關(guān)系有平行和相交兩種，平面a內(nèi)的任意一條直線與平面夕無(wú)

公共點(diǎn)，則平面a與平面夕無(wú)公共點(diǎn)，即平面a與平面夕平行，則C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,相交平面也存在夾在兩平面間的兩條平行線段相等的情況，則D不正確.

故選：BC.

10.BCD

【解析】

【分析】

利用不等式的性質(zhì)及其基本不等即可求解.

【詳解】

f67>0

對(duì)于選項(xiàng)。>0,b>0,b=2-a,,解得0<a<2,同理可知

[2-a>0

0<b<2,則A不正確，D正確；

對(duì)于選項(xiàng)[等j=（|j=l,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，.?.（）〈而41,

則B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,：/+A2z@a=2.=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=匕時(shí)，等號(hào)成立，

22

Aa2+b2>2,則C正確.

故選：BCD.

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

11.BD

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件求出直線/經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)及圓C的圓心、半徑，再逐一分析、計(jì)算各選項(xiàng)判斷

作答.

【詳解】

依題意，直線/：(1一2，〃)%—(加-1)丫+7加-4=0可化為(一21一丫+7)加+》+丫-4=0,

f-2x-y+7=0,、

由4\八解得x=3,?=1,即直線/過(guò)定點(diǎn)P(3,l),A不正確；

x+y-4=0

圓C：(x-l)2+(y-2>=25的圓心C(L2),半徑廠=5,|PC|=5/(S-l)2+(1-2)2=>/5<r,

即點(diǎn)P在圓C內(nèi)，直線/與圓C恒相交，B正確；

圓心C到x軸的距離d=2,則圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為2必彳=2后N=2歷，C不

正確；

1-21

由于直線/過(guò)定點(diǎn)尸(3,1),圓心C(l,2),則直線的斜率左==-

3—12

當(dāng)圓C被直線/截得的弦最短時(shí)，由圓的性質(zhì)知，ILPC,于是得匕絲=2,解得利=?，

D正確.

故選：BD

12.ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件利用周期定義、對(duì)稱性性質(zhì)判斷選項(xiàng)A,B；換元借助二次函數(shù)最值判斷選

項(xiàng)C；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)D作答.

【詳解】

因f(x+TT)=|sin^)+cos(x+zr)|+sin2(x+=|sincosx|+sin2x=/(x),A正確；

7^

因/(一萬(wàn)_x)=|sin(---x)+cos(---x)|+sin2(---x)=|-cosx-sinx|+sin(一%-2x)

=|sinx4-cos+sin2x=/(x),B正確；

令卜inx+cos.=r,有sin2尤=d_],則y=|sinx+cosx|+sin2x=r+/—1,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

t-夜sin(r+(Je［0,灰］,

因?yàn)閥=〃+f-l在［o,/］上單調(diào)遞增，即函數(shù)/(x)的最大值為夜+1,最小值為T,C

正確；

函數(shù)f(x)由y=〃+r-l和f=kinx+cosx|復(fù)合而成，函數(shù)y=/+r-l在［。,夜］上單調(diào)遞

增，

f=&sin(x+?)在［：T,：萬(wàn))上遞增，在弓左：力上遞減，則函數(shù)“X)在上不單

調(diào)，D不正確.

故選：ABC

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椤?，VxeD,

存在常數(shù)“使得f(X)=/(2a-x)。f(a+x)=f(a-x),貝U函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=〃

對(duì)稱.

13.+6

【解析】

【分析】

求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線斜率的定義列式計(jì)算作答.

【詳解】

依題意，函數(shù)〃尤)=lnx+奴的定義域?yàn)?0,位)，求導(dǎo)得：r(x)=J+a,

于是有了'(l)=tan60=G,即a+l=6，解得a=>/5-l,

所以a=>/3-1.

故答案為：百-1

14.逑

4

【解析】

【分析】

由已知條件可知c=36,即可得出a=2后,最后利用離心率的定義即可求解.

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】

?.?雙曲線的虛半軸長(zhǎng)與半焦距之比為1:3,

:.c=3b,

a—yjc2—b2=J(3b)2=2\/2Z?,

.c3b35/2

??e=-=---r=-=-------

a2y]2b4

故答案為：—

4

15.8V10

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，分別求出正方體內(nèi)切球半徑廠和外接球半徑R,再根據(jù)線段AB的最

大值為遍+夜，求出正方體的棱長(zhǎng)。，即可求出正方體內(nèi)切球的表面積，最后根據(jù)圓周率

的平方除以十六等于八分之五，得到圓周率兀=而，從而求出內(nèi)切球的表面積.

【詳解】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則正方體內(nèi)切球半徑「=?!，

正方體外接球半徑R滿足R2=(])"+(冬],解得R=亭，

???線段4B的最大值為縣+且="+應(yīng)，解得a=2夜，

22

二內(nèi)切球半徑為r=&,

.,.該正方體內(nèi)切球的表面積S-4nr2=8兀，

又???圓周率的平方除以十六等于八分之五，即三=2,=

168

...正方體內(nèi)切球的表面積為8710.

故答案為：8A/FO.

16.2550

【解析】

【分析】

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

根據(jù)給定條件利用裂項(xiàng)相消法求出S“-探討Sa-7；值的范圍，確定c”的表達(dá)式即可計(jì)

算作答.

【詳解】

2

n"2/r1Z11、11,

依題意，a,f=」一---7----=—(l-l-----1----)=—I—(■2〃+1)

"n2n-\2n+14H2-124n2-l242/7-1

則S“一(=(4+4-----*〃“)一([+(---也)=(q—々)+(〃2一82H----1■(〃〃一”〃)

—+-[(1——)+(-----)+???+(------------------)1=—+------——

243352n-l2〃+122(2〃+1)2〃+1

111212〃+1

即有^―^?=~+~7從而有何<。',因此,5<s,T〈虧,

S?-T?nn+\

n4-1n

右九二24一1伏￡N"),PPJcn=k=,若"=2A(%wN*),則％=左=5,

—n,n=2k

',(&eN*),

-〃--+--1,n=2?k1

2

所以C1+q4-"*+C|00=2(1+2+…+50)=2550.

故答案為：2550

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫

未被消去的項(xiàng)，

未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

17.⑴《=2"+1,hn=3-2"-'

⑵送(2一〃+2

【解析】

【分析】

(1)由也｝的前"項(xiàng)和5,,=32-3即可求出等比數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式，由4=4和

%+《6="即可求出等差數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式.

(2)利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列｛&｝的前“項(xiàng)利T?.

(1)

設(shè)｛可｝的公差為d,｛〃｝的公比為4,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

由已知可得4=3,b、=Sf=9-3=6,則上坐=2,

即2=仇q"T=3X2“T=3.2"，

?%=瓦,；?q=3,

又：%+即,=4=48,

，%+“6=2q+21d=6+21d=48,解得d=2,即a”=3+2(〃-1)=2〃+1.

（2）

a-12n

由（1）知％=-n^—=］西，

令7Hb+全白…+舒+券）①，

①式兩邊同乘g得：=g（；+,+/+…+春’+學(xué)）②，

加-邛

錯(cuò)位相減得聶4i+g+*+j+…+*一品=1寸

「刃一

則謂（2-甯）.

18.選①48=2而；選②AB=,0^；選③A8=2萬(wàn)或2面.

【解析】

【分析】

若選①：先在△BCD中用正弦定理，然后在△ABO中使用余弦定理即可解決；

若選②：先在△BCD中用正弦定理，然后在△鋤￡＞中使用余弦定理即可解決；

若選③：先在△88中用正弦定理，然后在△ABD中利用三角形面積公式及其余弦定理即

可解決；

【詳解】

若選①，在△BCD中，

,:CD=2指,BD=6,ZBCD=\20°,

BDCD

二由正弦定理可知解得sinZCBD=—,

sinZBCDsinZCBD2

又?.?NCBQe0,5,/G?￡)=45°,即NCDB=180°-120°-45°=15°,

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

:.ZADB=ZADC-ZCDB=60°,

在△ABD中，ZADB=60°,AD=8,80=6.

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDCOSNADB，解得AB=2萬(wàn).

若選②，在△BCD中，CD=2瓜,BCD=120°,NCBD=45。，

BDCD

由正弦定理得解得BD=6,

sin4BCDsinZCBD

3

在△AB。中，cosZADB=-,AD=8fBD=6,

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,即AB=->/265.

若選③，在△?￡>中，/BCD=120°,/CM=45。，CD=2瓜,

BDCD

由正弦定理得解得5E>=6,

sinNBCDsin2CBD

在△回￡）中，

由S^NBD=!A。,8。sinZADB=\2也,解得sinNADB=—,

22

則Z4DB=60?；?20°,

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB，

當(dāng)")8=60。時(shí)，解得48=2拒，當(dāng)NAD8=120。時(shí)，解得AB=2用,

綜上所述：AB=2岳或2國(guó).

19.(1)證明見解析

⑵如

4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件容易證明5c，平面AC￡>,又由于￡)￡〃BC,則DE_L平面ACD,OEu平

面ADE,即可證得平面4)E_L平面CAD；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB、C4、CD為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面

ADE的一個(gè)法向量和直線AB的方向向量，用法向量法求直線A8與平面ADE所成的角的

正弦.

(1)

；AB是的直徑，AACLBC,

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

垂直O(jiān)O所在的平面，，8E1平面ABC，

又???四邊形。C8￡為平行四邊形，二的〃CO,

DCJ_平面ABC,ADCIBC,

又：AC，8C,BC_L平面C4￡>,

,:BC〃DE,，￡>E_L平面CAO,

又；Z)Eu平面且QE_LAD,

，平面4)E_L平面?！?.

⑵

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB,CA,CO所在直線分別為x軸，>軸，z軸建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

易知AC=JL則4(0,6,0),5(1,0,0),￡>(0,0,回E(l,0,⑹,

方=(1,0,0),方=(0,6,-6),AB=(l,-V3,0),

設(shè)平面45E的法向量為。=(x,y,z),

x=0

由Z?瓦方=0,可得60'令y=i，則x=o,z=i,?,?乃=(0,1,1),

設(shè)直線A3與平面45E所成的角為。,

則sin呼訊您砒端卜熹邛,

即直線4B與平面A0E所成角的正弦值為它.

4

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

20.(D^=1

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)概率公式求出旦；

(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求得X的各種取值所對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算出期望即可.

(1)

某人第2次來(lái)購(gòu)買A產(chǎn)品的概率為即2=gx；+gxg=g；

⑵

由題意得X?其中X的可能取值有3,2,1,0,

故。(X=*唱圖V，P(x=2)=嗯誑)"g

e)=明住A。)=咐目V，

故X的分布列為

X3210

1248

P

279927

X的數(shù)學(xué)期望為

E(X)=3x—+2X-+1X-+0XA=1.

v7279927

21.(1)證明見解析；

《+J

⑵34-.

y?

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)給定條件利用“點(diǎn)差法”結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式計(jì)算得解.

(2)聯(lián)立直線/與橢圓C的方程，結(jié)合(1)的信息及已知求出點(diǎn)P的坐標(biāo)求解作答.

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

⑴

%2+42一4"

依題意，設(shè)A（x，yJ,必（%,八），l'\?'2~2

X-,+4y,=4/7

兩式相減可得X：-%+4（y；—￡）=0,貝Ij4z4=-：,即

年一芯4（玉一工2）（%+毛）4

因?yàn)橛?馬=2/,%+%=2%，直線QM的斜率=上紇，直線/的斜率片=止&

XMX\~X2

于是得勺%=q.件=丁%是定值,

玉-x,2XM（X]-x2）（xt+x2）4

所以直線QM的斜率與直線/的斜率的乘積為定值.

（2）

設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（與,%）,由1，：；；：=4/消去y并整理得：5X2-8X+4-4^=0,

o2

則再+%=],乂+必=±+々