2022-2023學年河北省石家莊市辛集市高一年級下冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年河北省石家莊市辛集市高一下學期期末數(shù)學試題一、單選題1．在復數(shù)范圍內(nèi)，有下列命題：①的平方根只有i；②i是1的平方根；③若復數(shù)是某一元二次方程的根，則一定是方程的另一個根；④若z為純虛數(shù)i，則z的平方根為虛數(shù)．上述命題中真命題的個數(shù)為（

）A．3 B．2 C．0 D．1【答案】D【分析】對于①②，根據(jù)平方根的定義即可判斷；對于③，舉反例即可排除；對于④，利用平方根的定義與復數(shù)相等的性質求得的平方根，從而得以判斷.【詳解】對于①，的平方根有兩個，分別為和，故①錯誤；對于②，1的平方根是和1，故②錯誤；對于③，令，則是方程的一個根，但方程的另一個根是，并非，實際上，只有實系數(shù)方程的虛根才是共軛復數(shù)，故③錯誤；對于④，設的平方根為，則，即，故，解得或，所以的平方根為或，顯然z的平方根是虛數(shù)，故④正確；綜上：①②③錯誤，④正確，故真命題的個數(shù)為.故選：D.2．下列命題中成立的是（

）A．各個面都是三角形的多面體一定是棱錐B．有兩個相鄰側面是矩形的棱柱是直棱柱C．一個棱錐的側面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D．各個側面都是矩形的棱柱是長方體【答案】B【分析】根據(jù)相關空間幾何體的定義，舉出部分反例空間幾何體即可判斷.【詳解】對A，只要將底面全等的兩個棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個面都是三角形,但這個多面體不是棱錐，如圖，故A錯誤；對B，若棱柱有兩個相鄰側面是矩形，則側棱與底面兩條相交的邊垂直，則側棱與底面垂直，此時棱柱一定是直棱柱，故B正確；對于C，如圖所示，若，滿足側面均為全等的等腰三角形，但此時底面不是正三角形，故C錯誤；對D，各個側面都是矩形的棱柱不一定是長方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯誤.故選：B.3．在所有的兩位數(shù)中，任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3整除的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出所有的基本事件的總數(shù)，再求出這個數(shù)能被2或3整除的基本事件的個數(shù)，從而利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】因為所有的兩位數(shù)共有90個，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共計45個；被3整除的有12，15，18，…，99，共計30個；被6整除的有12，18，24，…，96，共計15個；故能被2或3整除的數(shù)有個，所以任取一個數(shù)，則這個數(shù)能被2或3整除的概率為.故選：B.4．從3，4，5，6四個數(shù)中任取三個數(shù)作為三角形的三邊長，則構成的三角形是銳角三角形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用古典概型和余弦定理即可求得構成的三角形是銳角三角形的概率【詳解】從3，4，5，6四個數(shù)中任取三個數(shù)，共有（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）四種情況由，可得（3，4，5）構成直角三角形；由，可得（3，4，6）構成鈍角三角形；由，可得（3，5，6）構成鈍角三角形；由，可得（4，5，6）構成銳角三角形則構成的三角形是銳角三角形的概率是故選：A5．已知按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：；乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)?第50百分位數(shù)都分別對應相等，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，求出的值即可得答案.【詳解】因為，甲組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，乙組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，由已知得：，，解得，所以故選：A6．某地區(qū)為了解最近11天該地區(qū)的空氣質量，調查了該地區(qū)過去11天的濃度（單位：），數(shù)據(jù)依次為53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，．已知這組數(shù)據(jù)的極差為40，則這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為（

）A．71 B．75.5 C．79 D．72【答案】C【分析】根據(jù)極差求得m的值，計算，根據(jù)百分位數(shù)的含義即可確定答案.【詳解】由題意得，數(shù)據(jù)的極差為40，因為數(shù)據(jù)中最小值為41，故m應為最大值，為81，則，將數(shù)據(jù)53，56，69，70，72，79，65，80，45，41，81，從小大大排列為：41，45，53，56，65，69，70，72，79，80，81，故這組數(shù)據(jù)的第m百分位數(shù)為79，故選：C7．在中，為上的中線，為的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點A，B，C），且M，N，G三點共線，若，，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】利用平面向量的基本定理，用表示，設，，再用含參的方式用表示，得到關于參數(shù)的方程組求得，最后應用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意取值條件.【詳解】由題意，設，，則，所以，，得，所以（當且僅當時等號成立）.故選：D8．在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由正弦邊角關系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質可得，進而有，再把化為并確定的范圍，應用余弦函數(shù)性質求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點睛】關鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關系，即，再把目標式，由邊化角得求范圍.二、多選題9．已知a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，則下列命題中正確的是（）A．若，則B．若是邊長為1的正三角形，則C．若，，，則有一解D．若，則是鈍角三角形【答案】AD【分析】求得關系判斷選項A；求得的值判斷選項B；求得有二解否定選項C；求得的形狀判斷選項D.【詳解】選項A：由，由正弦定理可得，則.判斷正確；選項B：是邊長為1的正三角形，則.判斷錯誤；選項C：由，，，可得，則，又，則或.則有二解.判斷錯誤；選項D：由，可得，則，則,又，則.則是鈍角三角形.判斷正確.故選：AD10．設有兩條不同的直線m、n和兩個不同的平面、，下列命題中錯誤的命題是（

）A．若，，則B．若，，，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)直線與直線的位置關系可判斷A；根據(jù)面面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面的位置關系判斷C；根據(jù)面面平行的性質定理判斷D.【詳解】對于A，若，，則可能平行、異面或相交，A錯誤；對于B，若，，，，不一定為相交直線，只有當為相交直線時，才可得到，故B錯誤；對于C，當，時，可能是，推不出一定是，C錯誤；對于D，若，，根據(jù)面面平行的性質可知，D正確，故選：ABC11．若，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B．C．的共軛復數(shù)為 D．的實部為1【答案】BD【分析】先求出，再去計算選項是否正確.【詳解】因，所以，A選項：，故A錯誤；B選項：，故B正確；C選項：的共軛復數(shù)為，故C錯誤；D選項：，實部為1，故D正確.故選：BD.12．甲?乙兩盒中皆裝有若干個不同色的小球，從甲盒中摸出一個紅球的概率是，從乙盒中摸出一個紅球的概率是，現(xiàn)小明從兩盒各摸出一個球，每摸出一個紅球得3分，摸出其他顏色小球得0分，下列說法中正確的是（

）A．小明得6分的概率為B．小明得分低于6分的概率為C．小明得分不少于3分的概率為D．小明恰好得3分的概率為【答案】BD【分析】根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式判斷A，由對立事件概率公式判斷BC，根據(jù)互斥事件概率公式計算D.【詳解】設“從甲盒中摸出一個紅球”為事件，“從乙盒中摸出一個紅球”為事件，則，且獨立.在A中，小明得6分的概率為，A錯誤；在B中，小明得分低于6分的概率為，B正確；在中，小明得分不少于3分的概率為，C錯誤；在D中，小明恰好得3分的概率為，D正確.故選：BD三、填空題13．已知，，，若點、、在同一條直線上，且，則.【答案】或【分析】求出向量和的坐標，由題意得出，根據(jù)共線向量的坐標表示和題中條件列關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出的值.【詳解】由題意可得，.因為、、三點共線，所以與共線，，①又②，解①②組成的方程組，得或，因此，或，故答案為：或.【點睛】本題考查利用向量共線處理三點共線問題，涉及求參數(shù)的值，解題時要將三點共線轉化為向量共線，利用共線向量的坐標表示和已知條件建立方程組求解，考查運算求解能力，屬于中等題.14．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過11的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是（用分數(shù)表示）．【答案】/【分析】先把不超過11的素數(shù)列舉出來，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【詳解】因為不超過11的素數(shù)有五個數(shù)，從中選取兩個不同的數(shù)的基本事件有共10件；其中和為偶數(shù)的基本事件有共6件；所以和為偶數(shù)的概率為.故答案為：.15．在一個擲骰子的試驗中，事件表示“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則事件發(fā)生的概率為．【答案】【分析】由題意知試驗發(fā)生包含的所有基本事件數(shù)是6，事件和事件是互斥事件，求出事件和事件包含的基本事件數(shù)，根據(jù)互斥事件和古典概型的概率公式得到結果．【詳解】隨機擲一個骰子一次共有6種不同的結果，其中事件“出現(xiàn)不大于4的偶數(shù)點”包括2，4兩種結果，則．事件“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”包括1，2，3，4四種結果，則，．又因為事件和事件是互斥事件，．故答案為：.16．在中，已知，，，則.【答案】【分析】利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，即，解得或（舍），所以.故答案為：.四、解答題17．已知是兩個單位向量，且與的夾角為.(1)求；(2)求與的夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)模長公式結合向量的數(shù)量積公式求解計算即可；（2）應用向量的夾角余弦公式計算可得.【詳解】（1）依題意可得，所以.（2）設與的夾角為，因為，所以.18．已知復數(shù)是虛數(shù)單位.(1)若復數(shù)在復平面上對應點落在第一象限，求實數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，求實數(shù)值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由其對應點的坐標列不等式求解；（2）也是方程的根，根據(jù)韋達定理先求得，再求得．【詳解】（1）由已知得到，因為在復平面上對應點落在第一象限，所以，解得，所以（2）因為虛數(shù)是實系數(shù)一元二次方程的根，所以是方程的另一個根，所以，所以，所以，所以，所以.19．在△ABC中，AB=3，AC=1，∠A=60°.(1)求sin∠ACB；(2)若D為BC的中點，求AD的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求得第三邊BC，進而根據(jù)正弦定理求得所求角的正弦；（2）利用余弦定理求得∠ACB的余弦值，再在△ACD中利用余弦定理求得AD的長度.【詳解】（1）因為在△ABC中,AB=3,AC=1,∠A=60°.所以由余弦定理可得,所以由正弦定理,可得sin∠ACB=.（2）因為D為BC的中點,所以CD=BC=.又因為,所以在△ACD中,由余弦定理可得.20．如圖，四棱錐中，平面，，．過點作直線的平行線交于為線段上一點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出AB⊥平面PAD，由CFAB，得到CF⊥平面PAD，故而得證；（2）作出輔助線，找到∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可.【詳解】（1）因為平面，AB平面ABCD，所以PA⊥AB，因為，所以⊥AD，因為PAAD=A，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，因為CFAB，所以CF⊥平面PAD，因為CF平面CFG，所以平面CFG⊥平面PAD；（2）連結，過點B作BE⊥PC于點E，連接DE，如圖，平面，AD，AC平面ABCD，所以PA⊥AD，PA⊥AC，因為，，由勾股定理得：，則∠ADB=30°，同理可得，∠CDB=30°，故∠ADC=60°，所以三角形ACD為等邊三角形，，故，，，在△BCP中，由余弦定理得：，則，，在△CDP中，由余弦定理得：，在△CDE中，，因為，所以DE⊥PC，所以∠BED為平面與平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：.21．甲，乙兩人進行圍棋比賽，采取積分制，規(guī)則如下：每勝1局得1分，負1局或平局都不得分，積分先達到2分者獲勝；若第四局結束，沒有人積分達到2分，則積分多的一方獲勝；若第四周結束，沒有人積分達到2分，且積分相等，則比賽最終打平．假設在每局比賽中，甲勝的概率為，負的概率為，且每局比賽之間的勝負相互獨立．(1)求第三局結束時乙獲勝的概率；(2)求甲獲勝的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）對乙來說共有兩種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）,根據(jù)獨立事件的乘法公式即可求解.（2）以比賽結束時的場數(shù)進行分類，在每一類中根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可求解.【詳解】（1）設事件A為“第三局結束乙獲勝”由題意知，乙每局獲勝的概率為，不獲勝的概率為．

若第三局結束乙獲勝，則乙第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

故（2）設事件B為“甲獲勝”．若第二局結束甲獲勝，則甲兩局連勝，此時的概率．

若第三局結束甲獲勝，則甲第三局必定獲勝，總共有2種情況：（勝，不勝，勝），（不勝，勝，勝）．

此時的概率．

若第四局結束甲得兩分獲勝，則甲第四局必定獲勝，前三局為1勝2平或1勝1平1負，總共有9種情況：（勝，平，平，勝），（平，勝，平，勝），（平，平，勝，勝），（勝，平，負，勝），（勝，負，平，勝），（平，勝，負，勝），（負，勝，平，勝），（平，負，勝，勝），（負，平，勝，勝）．

此時的概率

若第四局結束甲以積分獲勝，則乙的積分為0分，總共有4種情況：（勝，平，平，平），（平，勝，平，平），（平，平，勝，平），（平，平，平，勝）．

此時的概率

故22．我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約