山東省青島市西海岸新區(qū)2024屆九年級數學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

山東省青島市西海岸新區(qū)2024屆九年級數學第一學期期末統(tǒng)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，現有兩個相同的轉盤，其中一個分為紅、黃兩個相等的區(qū)域，另一個分為紅、黃、藍三個相等的區(qū)域，隨即轉動兩個轉盤，轉盤停止后指針指向相同顏色的概率為()A． B． C． D．2．在某籃球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽36場，設有x個隊參賽，根據題意，可列方程為（）A． B．C． D．3．反比例函數的圖象經過點，，當時，的取值范圍是（）A． B． C． D．4．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意買一張電影票，座位號是2的倍數B．13個人中至少有兩個人生肖相同C．車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈D．明天一定會下雨5．一元二次方程的二次項系數、一次項系數分別是A．3， B．3，1 C．，1 D．3，66．在一塊半徑為的圓形鋼板中裁出一個最大的等邊三角形，此等邊三角形的邊長（）A． B． C． D．7．點關于軸對稱的點的坐標是（）A． B． C． D．8．設，則代數式的值為（）A．－6 B．－5 C． D．9．如圖，為的直徑，弦于點，，，則的半徑為（）A．5 B．8 C．3 D．1010．如圖，平行于x軸的直線AC分別交函數y=x（x≥0）與y=x（x≥0）的圖象于B，C兩點，過點C作y軸的平行線交y=x（x≥0）的圖象于點D，直線DE∥AC交y=x（x≥0）的圖象于點E，則=（）A． B．1 C． D．3﹣二、填空題(每小題3分,共24分)11．為了估計一個不透明的袋子中白球的數量袋中只有白球，現將5個紅球放進去這些球除顏色外均相同隨機摸出一個球記下顏色后放回每次摸球前先將袋中的球搖勻，通過多次重復摸球試驗后，發(fā)現摸到紅球的頻率穩(wěn)定于，由此可估計袋中白球的個數大約為______．12．點P(﹣6，3)關于x軸對稱的點的坐標為______．13．方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是_____．14．△ABC中，∠A、∠B都是銳角，若sinA＝，cosB＝，則∠C＝_____．15．若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是．16．若是方程的一個根，則代數式的值是______.17．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.點P在矩形ABCD的內部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為數___________.18．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，邊AC與BD相交于點E，則的值等于_________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，直線與⊙相離，于點，與⊙相交于點，.是直線上一點，連結并延長交⊙于另一點，且.（1）求證：是⊙的切線；（2）若⊙的半徑為，求線段的長.20．（6分）如圖1，已知正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點，Q為坐標平面上一動點，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比例函數和反比例函數的關系式；（2）當點Q在直線MO上運動時，直線MO上是否存在這樣的點Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請求出點的坐標，如果不存在，請說明理由；（3）如圖2，當點Q在第一象限中的雙曲線上運動時，作以OP、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．21．（6分）如圖，為等腰三角形，，是底邊的中點，與腰相切于點．（1）求證：與相切；（2）已知，，求的半徑．22．（8分）某商場購進一種每件價格為100元的新商品，在商場試銷發(fā)現：銷售單價x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關系：（1）求出y與x之間的函數關系式；（2）如果商店銷售這種商品，每天要獲得1500元利潤，那么每件商品的銷售價應定為多少元？（3）寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數關系式；若你是商場負責人，會將售價定為多少，來保證每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？23．（8分）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過點A作AD平分∠BAC，交⊙O于點D，過點D作DE∥BC交AC的延長線于點E．（1）依據題意，補全圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（2）判斷并證明：直線DE與⊙O的位置關系；（3）若AB=10，BC=8，求CE的長．24．（8分）如圖，已知拋物線y＝x2－x－3與x軸的交點為A、D(A在D的右側)，與y軸的交點為C．(1)直接寫出A、D、C三點的坐標；(2)若點M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點M的坐標；(3)設點C關于拋物線對稱軸的對稱點為B，在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P四點為頂點的四邊形為梯形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．25．（10分）如圖，是的直徑，為上一點，于點，交于點，與交于點為延長線上一點，且．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，求的長．26．（10分）如圖，的內接四邊形兩組對邊的延長線分別相交于點、．（1）若時，求證：；（2）若時，求的度數．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解題分析】先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，找出停止后指針指向相同顏色的結果數，然后根據概率公式計算．【題目詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有6種等可能結果，其中轉盤停止后指針指向相同顏色的有2種結果，所以轉盤停止后指針指向相同顏色的概率為＝，故選：A．【題目點撥】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．2、A【分析】共有x個隊參加比賽，則每隊參加（x-1）場比賽，但2隊之間只有1場比賽，根據共安排36場比賽，列方程即可．【題目詳解】解：設有x個隊參賽，根據題意，可列方程為：x（x﹣1）＝36，故選A．【題目點撥】此題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題關鍵在于得到比賽總場數的等量關系.3、B【解題分析】由圖像經過A（2，3）可求出k的值，根據反比例函數的性質可得時，的取值范圍.【題目詳解】∵比例函數的圖象經過點，∴-3=，解得：k=-6,反比例函數的解析式為：y=-，∵k=-6<0，∴當時，y隨x的增大而增大，∵x=1時，y=-6，x=3時，y=-2，∴y的取值范圍是：-6<y<-2，故選B.【題目點撥】本題考查反比例函數的性質，k>0時，圖像在一、三象限，在各象限y隨x的增大而減?。籯<0時，圖像在二、四象限，在各象限y隨x的增大而增大；熟練掌握反比例函數的性質是解題關鍵.4、B【解題分析】必然事件就是一定發(fā)生的事件，結合不可能事件、隨機事件的定義依據必然事件的定義逐項進行判斷即可．【題目詳解】A、“任意買一張電影票，座位號是2的倍數”是隨機事件，故此選項錯誤；B、“13個人中至少有兩個人生肖相同”是必然事件，故此選項正確；C、“車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈”是隨機事件，故此選項錯誤；D、“明天一定會下雨”是隨機事件，故此選項錯誤，故選B．【題目點撥】本題考查了隨機事件．解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．5、A【分析】根據一元二次方程的定義解答．【題目詳解】3x2?6x+1=0的二次項系數是3，一次項系數是?6，常數項是1.故答案選A.【題目點撥】本題考查的知識點是一元二次方程的一般形式，解題的關鍵是熟練的掌握一元二次方程的一般形式.6、D【分析】畫出圖形，作于點，利用垂徑定理和等邊三角形的性質求出AC的長即可得出AB的長.【題目詳解】解：依題意得，連接，，作于點，∵，∴，，∴，∴．故選：D．【題目點撥】本題考查了圓的內接多邊形，和垂徑定理的使用，弄清題意準確計算是關鍵.7、D【分析】根據特殊銳角的三角函數值，先確定點M的坐標，然后根據關于x軸對稱的點的坐標x值不變，y值互為相反數的特點進行選擇即可.【題目詳解】因為，所以，所以點所以關于x軸的對稱點為故選D.【題目點撥】本題考查的是特殊角三角函數值和關于x軸對稱的點的坐標特點，熟練掌握三角函數值是解題的關鍵.8、A【分析】把a2+2a-12變形為a2+2a+1-13，根據完全平方公式得出（a+1）2-13，代入求出即可.【題目詳解】∵，∴=a2+2a+1-13=（a+1）2-13=（-1+1）2-13=7-13=-6.故選A.【題目點撥】本題考查了二次根式的化簡，完全平方公式的運用，主要考查學生的計算能力．題目比較好，難度不大．9、A【分析】作輔助線，連接OA，根據垂徑定理得出AE=BE=4，設圓的半徑為r，再利用勾股定理求解即可.【題目詳解】解：如圖，連接OA，設圓的半徑為r，則OE=r-2，∵弦,∴AE=BE=4，由勾股定理得出：，解得：r=5，故答案為：A.【題目點撥】本題考查的知識點主要是垂徑定理、勾股定理及其應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用勾股定理等幾何知識點來分析、判斷或解答.10、D【分析】設點A的縱坐標為b,可得點B的坐標為(,b),同理可得點C的坐標為(b,b)，D點坐標（，3b），E點坐標(,3b)，可得的值.【題目詳解】解:設點A的縱坐標為b,因為點B在的圖象上,所以其橫坐標滿足=b,根據圖象可知點B的坐標為(,b),同理可得點C的坐標為(,b),所以點D的橫坐標為,因為點D在的圖象上,故可得y==3b，所以點E的縱坐標為3b,因為點E在的圖象上,=3b，因為點E在第一象限,可得E點坐標為(,3b),故DE==,AB=所以=故選D.【題目點撥】本題主要考查二次函數的圖象與性質.二、填空題(每小題3分,共24分)11、20個【解題分析】∵通過大量重復摸球試驗后發(fā)現，摸到紅球的頻率是0.2，口袋中有5個紅球，∵假設有x個白球，∴=0.2，解得：x=20，∴口袋中有白球約有20個．故答案為20個．12、(﹣6，﹣3)．【分析】根據“在平面直角坐標系中，關于軸對稱的兩點的坐標橫坐標相同、縱坐標互為相反數”，即可得解．【題目詳解】關于軸對稱的點的坐標為故答案為：【題目點撥】本題比較容易，考查平面直角坐標系中關于x軸對稱的兩點的坐標之間的關系，是需要識記的內容．13、x2﹣x﹣7＝1．【分析】一元二次方程，b，c是常數且的a、b、c分別是二次項系數、一次項系數、常數項．【題目詳解】解：方程（x+1）（x﹣2）＝5化成一般形式是x2﹣x﹣7＝1，故答案為：x2﹣x﹣7＝1．【題目點撥】本題考查了一元二次方程的一般形式：，b，c是常數且a≠1）特別要注意a≠1的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中叫二次項，bx叫一次項，是常數項．其中a，b，c分別叫二次項系數，一次項系數，常數項．14、60°．【分析】先根據特殊角的三角函數值求出∠A、∠B的度數，再根據三角形內角和定理求出∠C即可作出判斷．【題目詳解】∵△ABC中，∠A、∠B都是銳角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案為：60°．【題目點撥】本題考查的是特殊角的三角函數值及三角形內角和定理，比較簡單．15、：k＜1．【題目詳解】∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴△==4﹣4k＞0，解得：k＜1，則k的取值范圍是：k＜1．故答案為k＜1．16、9【分析】根據方程解的定義，將a代入方程得到含a的等式，將其變形，整體代入所求的代數式.【題目詳解】解：∵a是方程的一個根，∴2a2=a+3,∴2a2-a=3,∴.故答案為：9.【題目點撥】本題考查方程解的定義及代數式求值問題，理解方程解的定義和整體代入思想是解答此題的關鍵.17、3或1.2【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，繼而可確定點P在BD上，然后再根據△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP兩種情況進行討論即可得.【題目詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴點P在BD上，如圖1，當DP=DA=8時，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1.2；如圖2，當AP=DP時，此時P為BD中點，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；綜上，PE的長為1.2或3，故答案為1.2或3.【題目點撥】本題考查了相似三角形的性質，等腰三角形的性質，矩形的性質等，確定出點P在線段BD上是解題的關鍵.18、【分析】如圖（見解析），先根據等腰直角三角形的判定與性質可得，設，從而可得，再在中，利用直角三角形的性質、勾股定理可得，由此即可得出答案．【題目詳解】如圖，過點E作于點F，由題意得：，，是等腰直角三角形，，設，則，在中，，，，解得，則，故答案為：．【題目點撥】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識點，通過作輔助線，構造兩個直角三角形是解題關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）【解題分析】（1）連結，則，，已知AB=AC，故，由可得，則，證得，即AB是⊙O的切線.（2）在直角三角形AOB中，OA=5,OB=3，可求得AB=AC=4.在直角三角形ACP中，由勾股定理可求得，過點O做OD⊥BC于點D，可得△ODP∽△CAP，則有，代入線段長度即可求得PD，進而利用垂徑定理求得BP.【題目詳解】(1)證明：如圖，連結，則，，∵，即，即故是⊙的切線；(2)由(1)知：而，由勾股定理，得：，過作于，則在和中，∽【題目點撥】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質及判斷，垂徑定理，圓與直線的位置關系，解本題的關鍵是掌握常見求線段的方法，將知識點結合起來解題.20、（1）y＝x，；（2）存在，Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）2+1【分析】（1）正比例函數和反比例函數的圖象都經過點M（-2，-1），待定系數法可求它們解析式；

（2）由點Q在y＝x上，設出Q點坐標，表示△OBQ，由反比例函數圖象性質，可知△OAP面積為1，則根據面積相等可構造方程，問題可解；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP=CQ，OQ=PC，而點P（-1，-2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．【題目詳解】解：（1）設正比例函數解析式為y＝kx，將點M（﹣2，﹣1）坐標代入得k＝，所以正比例函數解析式為y＝x，同樣可得，反比例函數解析式為；（2）當點Q在直線OM上運動時，設點Q的坐標為Q（m，m），于是S△OBQ＝OB?BQ＝×m×m＝m2，而S△OAP＝|（﹣1）×（﹣2）|＝1，所以有，m2＝1，解得m＝±2，所以點Q的坐標為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；（3）因為四邊形OPCQ是平行四邊形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，而點P（﹣1，﹣2）是定點，所以OP的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，因為點Q在第一象限中雙曲線上，所以可設點Q的坐標為Q（n，），由勾股定理可得OQ2＝n2+＝（n﹣）2+1，所以當（n﹣）2＝0即n﹣＝0時，OQ2有最小值1，又因為OQ為正值，所以OQ與OQ2同時取得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP＝，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）＝2（+2）＝2+1．（或因為反比例函數是關于y＝x對稱，所以當Q在反比例函數時候，OQ最短的時候，就是反比例與y＝x的交點時候，聯立方程組即可得到點Q坐標）【題目點撥】此題考查一次函數反比例函數的圖象和性質，解答關鍵是運用數形結合思想解決問題．21、（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑為．【分析】（1）欲證AC與圓O相切，只要證明圓心O到AC的距離等于圓的半徑即可，即連接OD,過點O作OE⊥AC于E點，證明OE=OD.（2）根據已知可求OA的長，再由等積關系求出OD的長．【題目詳解】證明：（1）連結，過點作于點，∵切于，∴，∴，又∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，即是的半徑，∴與相切．（2）連接，則，又為BC的中點，∴，∴在中，，∴由等積關系得：，∴，即O的半徑為．【題目點撥】本題考查的是圓的切線的性質和判定，欲證切線，作垂直O(jiān)E⊥AC于E,證半徑OE=OD；還考查了利用面積相等來求OD．22、(1)；(2)每件商品的銷售價應定為元或元；(3)售價定為元/件時，每天最大利潤元．【分析】（1）待定系數法求解可得；

（2）根據“每件利潤×銷售量=總利潤”列出一元二次方程，解之可得；

（3）根據以上相等關系列出函數解析式，配方成頂點式，利用二次函數性質求解可得．【題目詳解】(1)設與之間的函數關系式為，

由所給函數圖象可知：

，

解得：．

故與的函數關系式為；(2)根據題意，得：，

整理，得：，

解得：或，

答：每件商品的銷售價應定為元或元；(3)∵，

∴

，

∴當時，，

∴售價定為元/件時，每天最大利潤元．【題目點撥】本題主要考查二次函數的應用，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數解析式，理解題意確定相等關系，并據此列出函數解析式．23、(1)見解析;(3)直線DE是⊙O的切線,證明見解析;（3）3.3或4.3【分析】（1）依據題意，利用尺規(guī)作圖技巧補全圖形即可；（3）由題意連結OD，交BC于F，判斷并證明OD⊥DE于D以此證明直線DE與⊙O的位置關系；（3）由題意根據相關條件證明平行四邊形CFDE是矩形，從而進行分析求解.【題目詳解】（1）如圖．（3）判斷：直線DE是⊙O的切線．證明：連結OD，交BC于F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴．∴OD⊥BC于F．∵DE∥BC，∴OD⊥DE于D．∴直線DE是⊙O的切線．（3）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．∵AB=10，BC=8，∴AC=1．∵∠BOF=∠ACB=90°，∴OD∥AC．∵O是AB中點，∴OF==3．∵OD==5，∴DF=3．∵DE∥BC，OD∥AC，∴四邊形CFDE是平行四邊形．∵∠ODE=90°，∴平行四邊形CFDE是矩形．∴CE=DF=3．【題目點撥】本題結合圓考查圓的尺規(guī)作圖以及圓的切線定義和矩形的證明，分別掌握其方法定義進行分析.24、（1）A點坐標為(4，0)，D點坐標為(－2，0)，C點坐標為(0，－3)；（2）或或；（3）在拋物線上存在一點P，使得以點A、B、C、P四點為頂點所構成的四邊形為梯形；點P的坐標為(－2，0)或(6，6)．【分析】（1）令y=0，解方程可得到A點和D點坐標；令x=0，求出y=-3，可確定C點坐標；（2）根據兩個同底三角形面積相等得出它們的高相等，即縱坐標絕對值相等，得出點M的縱坐標為：，分別代入函數解析式求解即可；（3）分BC為梯形的底邊和BC為梯形的腰兩種情況討論即可.【題目詳解】（1）在中令，解得，∴A(4，0)、D(－2，0).在中令，得，∴C(0，－3)；（2）過點C做軸的平行線，交拋物線與點,做點C關于軸的對稱點,過點做軸的平行線，交拋物線與點,如下圖所示：∵△MAD的面積與△CAD的面積相等，且它們是等底三角形∴點M的縱坐標絕對值跟點C的縱坐標絕對值相等∵點C的縱坐標絕對值為：∴點M的縱坐標絕對值為：∴點M的縱坐標為：當點M的縱坐標為時，則解得：或（即點C，舍去）∴點的坐標為：當點M的縱坐標為時，則解得：∴點的坐標為：，點的坐標