最小二乘拋物曲線擬合

課程：數(shù)值方法班級：2009級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(師范)1班姓名：廖璐學(xué)號：200902114020最小二乘多項(xiàng)式擬合摘要本次實(shí)驗(yàn)通過利用最小二乘法的原理以及多項(xiàng)式討論最小二乘拋物曲線擬合可以得到最小二乘多項(xiàng)式擬合，給出了實(shí)例的具體做法。關(guān)鍵詞曲線擬合最小二乘法多項(xiàng)式拋物線正文一.最小二乘法原理設(shè)已知某過程y=f(x)的一組觀測數(shù)據(jù)(x,y),k=1,2,...,Nkrk，555要求在某特定函數(shù)類尋找一個函數(shù)p(x)作為y=f(x)的近似函數(shù)，使其在xk上的誤差e=p(x)-f(x),k=l,2,...,N按某種形式kkkk為最小這就是擬合問題。要求誤差的平方和最小的擬合為曲線擬合的最小二乘法。也可以表示為均方根誤差：E⑴=(丄￡|f(x)-y|2)1/2的2Nkkk二1值最小。從幾何意義上講：就是數(shù)據(jù)點(diǎn)到曲線的垂直距離平方和的最小值。二.多項(xiàng)式擬合假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)(x,y),k=1,2,...,N，屮為所有次數(shù)不超過m(m<N)的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一0k0k=1f(x)=ZcxkGV使得I二為[f(X)-y]2為最小。當(dāng)擬合曲線為多項(xiàng)式時(shí)，nknkkk二0k二0稱為多項(xiàng)式擬合，滿足I的f(x)稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別的n當(dāng)n=1時(shí),稱為線性擬合或者直線擬合。本文具體探討當(dāng)n=2的情形，也就是拋物曲線擬合三.最小二乘拋物曲線擬合實(shí)驗(yàn)?zāi)康?.掌握擬合曲線的最小二乘法的原理和基本內(nèi)容會利用最小二乘法求出拋物線實(shí)驗(yàn)要求1.了解最小二乘擬合曲線y二Ax2+Bx+C的原理和方法；根據(jù)具體點(diǎn)求解最小二乘拋物線系數(shù)繪制出曲線擬合圖實(shí)驗(yàn)原理：由最小二乘拋物線y=f(x)=Ax2+Bx+C，通過使n(e⑴)=Z(aX2+Bx+c-y)2的值最小(即是令偏導(dǎo)數(shù)aE/aA,aE/a2kkkk二1B,aE/aC為零)得到的函數(shù)就是擬合函數(shù)(也稱最小二乘解)實(shí)驗(yàn)基本步驟：.設(shè)｛(x,y小有N個點(diǎn)，橫坐標(biāo)是確定的。首先建kkki立最小二乘拋物線的系數(shù)表示為y二f(x)二Ax2+Bx+C。通過求表達(dá)式E(A,B,C)=Z(Ax2+Bx+c-y)2的最小值可得到A,B和C。kkkk二12.令偏導(dǎo)數(shù)aE/aA,aE/aB,aE/aC為零，可得dE(A,B,C)N0==2乙(Ax2+Bx+C一y)1(x2)kkkkk=1(Ax(Ax2+Bxkk+C一yk)1(xk)aE（A,B,C）N0==2乙（Ax2+Bx+C-y）i（l）kkkk二1利用加法分配律，可將上述中的A,B,C移到求和的外面，以得到正規(guī)方程N(yùn)A+（NA+（乙x3）kk二1NB+（乙x2）kk二1NC=乙yx2kkk二1NA+（NA+（乙x2）kk二1NB+（乙x）kk二1廠KC=yxkkk二1（Kx2）kk二1NA+（（Kx2）kk二1NA+（乙x）kk二1左邊二Kxkx2IkKxEkx2Ekx3x2]kx3kx4k丿1x1x211x2x221xx2A1111xx2x22Nx2N丿1xx2NN丿r11...1AfyA1右邊二xx...xy212Nx2x2..?x2J12N丿yJN丿kw1B+NC=Kykk二1為了在matlab中實(shí)現(xiàn)可以表示成以下矩陣形式:x2N丿x2N丿；②接著令F等于個NX3的零矩陣用來存放1xx2111xx2221xx2NN因此，①首先建立一個3XN的零矩陣B(N=length(x)以存放xx12x2x2'12③然后給F賦值F(:,k)=x"(k-1)計(jì)算F和F'；rca④最后b=A-i*B<A丿實(shí)驗(yàn)程序：functionC=lspoly(X,Y,M)n=length(X);B=zeros(l:M+l);F=zeros(n,M+l);fork=1:M+1F(:,k)=X'.A(k-1);endA=F'*F;B=F'*Y';C=A\B;C=flipud(C);輸入數(shù)據(jù)：X=[-3024]X=-3024>>Y=[3113]Y=3113>>M=2M=2輸出結(jié)果：>>C=lspoly(X,YM)C=0.1785-0.19250.8505因止匕y=0.1785x2—0.1925x+0.8505結(jié)束語：通過實(shí)驗(yàn)可以更深刻的理解曲線擬合最小二乘法的基本原理，也更深刻的理解了數(shù)值方法應(yīng)用的廣泛性。本學(xué)期學(xué)習(xí)《數(shù)值方法》這門課，雖然在聽課的時(shí)候很多東西都沒有接觸過感覺學(xué)習(xí)比較困難許多地方都不懂，但是我覺得自己還是有一些收獲（比如