2022-2023學(xué)年湖北省黃岡、黃石、鄂州三市高一年級下冊學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省黃岡、黃石、鄂州三市高一下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，由此得到虛部.【詳解】，所以的虛部為.故選：A2．已知，，，且，，三點共線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三點共線得出向量共線，結(jié)合向量共線的坐標表示可得答案.【詳解】因為，，，所以，因為三點共線，所以，解得.故選：D.3．某工廠生產(chǎn)三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為，現(xiàn)用分層隨機抽樣方法抽取一個容量為140的樣本．已知型產(chǎn)品抽取了56件，則型產(chǎn)品抽取的件數(shù)為（

）A．36 B．48 C．56 D．60【答案】B【分析】根據(jù)比例求出，再由種型號所占比例求解即可.【詳解】由題意，，得，型號產(chǎn)品抽取的件數(shù)為.故選：B.4．下列說法正確的是（

）A．兩兩相交的三條直線確定一個平面B．如果直線，和平面滿足，，那么C．過平面外一點有且只有一條直線與這個平面垂直D．若平面平面，平面平面，那么平面平面【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合判定定理與性質(zhì)定理，對每個選項逐一分析，即可判斷.【詳解】對A，若兩兩相交的三條直線過同一個點，則它們可以確定一個或三個平面，故A錯誤；對B，若，，則直線，可能平行、相交或者成異面直線，故B錯誤；對C，過平面外一點有且只有一條直線與這個平面垂直，該結(jié)論正確，故C正確；對D，若平面平面，平面平面，則平面和平面可能相交、垂直或平行，故D錯誤.故選：C5．已知中，，，，則邊上的中線長為（

）A． B．8 C．7 D．6【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】如圖，邊的中點為，，，，中，根據(jù)余弦定理，，則

故選：C6．已知空間中，，直線與平面所成的角為，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作平面，即可說明為直線與平面所成的角，然后通過作垂線求得線段之間的數(shù)量關(guān)系，解直角三角形即可求得答案.【詳解】如圖，作平面，垂足為C，連接，則為直線與平面所成的角，

作,垂足為E，連接，因為平面，故，平面，故平面，平面，則，同理作,垂足為F，連接，可證,由于，為的公共邊，故≌，則，而，故≌，故,即為的平分線，即,設(shè)，則，故,則，故選：A7．已知函數(shù)的一條對稱軸為，且在區(qū)間上值域為，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用兩角和與差的余弦公式以及二倍角的余弦公式化簡計算得函數(shù)，利用整體法，代入對稱軸計算得的值，然后利用整體法分析函數(shù)的值域，列關(guān)于的不等式計算即可得答案.【詳解】，因為函數(shù)的一條對稱軸為，所以，即，又因為，所以，所以，當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上值域為，所以，解得，所以實數(shù)的最大值為.故選：D8．已知中角，，所對的邊分別為，，，滿足，且．則的最大值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】先由正弦定理及兩角和差得出,再由正弦定理邊角互化結(jié)合輔助角公式計算即可.【詳解】中由正弦定理,,,,,,時，的最大值為.故選：D.二、多選題9．某保險公司為客戶定制了5個險種：甲，一年期短險；乙，兩全保險；丙，理財類保險；丁，定期壽險；戊，重大疾病保險．各種保險按相關(guān)約定進行參保與理賠．該保險公司對5個險種的參保客戶進行抽樣調(diào)查，得出如下統(tǒng)計圖例，則以下四個選項正確的是（

）

A．周歲人群參?？傎M用最少B．30周歲以上的參保人群約占參保總?cè)巳旱腃．54周歲以上的參保人數(shù)最少D．丁險種更受參保人青睞【答案】ACD【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖表給出信息逐個選項判斷.【詳解】對于A：由第一個圖可得54周歲及以上的參保人數(shù)最少，占比為，其余年齡段的參保人數(shù)均比周歲人群參保人數(shù)多.由第二個圖可得，因為，所以周歲人群參?？傎M用最少，故A對.對于B：由第一個圖可得，30周歲以上的參保人群約占參保總?cè)巳旱?，故B錯.對于C：由第一個圖可得，54周歲及以上的參保人數(shù)占參?？?cè)藬?shù)的，所以C對.對于D：由第三個圖可得，丁險種參保人群約占參?？?cè)巳旱?，所以最受青睞，所以D對.故選：ACD.10．下列各式的值為是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】利用三角函數(shù)恒等變形，即可化簡求值.【詳解】A.，故A正確；B.，故B正確；C.，故C錯誤；D.，，故D錯誤.故選：AB11．在棱長為4的正方體中，下列說法正確的是（

）A．B．直線與平面所成的角為C．三棱錐的體積為D．是的中點，點是側(cè)面內(nèi)的動點．若∥平面，則的最大值為【答案】AD【分析】對于A，連接，可證得平面，從而可得結(jié)論，對于B，由正方體的性質(zhì)可證得平面，對于C，三棱錐的體積等于正方體的體積減去4個三棱錐的體積，對于D，取的中點，的中點，的中點，連接，則證得平面∥平面，則線段掃過的圖形為，然后求出其范圍，從而可得答案.【詳解】對于A，連接，則，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以A正確，對于B，因為平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面，所以直線與平面所成的角為，所以B錯誤，對于C，因為正方體的棱長為4，所以三棱錐的體積為，所以C錯誤，對于D，取的中點，的中點，的中點，連接，則∥∥，∥∥，因為平面，平面，所以∥平面，∥平面，因為，平面，所以平面∥平面，因為平面，所以∥平面，所以線段掃過的圖形為，由，得，，，所以，所以，所以，即MP范圍為，所以的最大值為故選：AD12．著名數(shù)學(xué)家歐拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線稱為歐拉線．該定理稱為歐拉線定理．已知的外心為，重心為，垂心為，且，，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若，則【答案】ACD【分析】對于A，根據(jù)三角形重心的向量性質(zhì)及向量的加減法求得結(jié)果；對于B，根據(jù)三角形的外心性質(zhì)結(jié)合向量的數(shù)量積求得結(jié)果；對于C，由歐拉線定理得，即，結(jié)合三角形重心的向量性質(zhì)進行計算即可；對于D，利用正余弦定理及向量的數(shù)量積公式進行計算.【詳解】對于A，的重心為，有，且，，故，故A正確.對于B，的外心為，有，故B錯誤；對于C，由歐拉線定理得，即，又，所以，故C正確；對于D，因為，，，所以由余弦定理又，所以，如圖，，由正弦定理可得，所以，則，故D正確.

故選：ACD.【點睛】方法點睛：三角形的三條垂直平分線交于一點，即為外心，外心是三角形外接圓的圓心.（1）；（2），；.三、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，則．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)，再求出的模作答.【詳解】由，得，所以.故答案為：14．已知向量，，，則向量與的夾角為．【答案】【分析】根據(jù)已知，利用向量的模長、夾角公式、向量的坐標表示以及向量的運算律計算求解.【詳解】因為，所以，所以，又，，所以，所以，所以，所以，又，所以向量與的夾角為，因為向量與的夾角范圍為：，所以向量與的夾角為.故答案為：.15．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂在西偏北的方向上，行駛后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度．

【答案】【分析】根據(jù)已知，利用正弦定理以及直角三角形的性質(zhì)計算求解.【詳解】

如圖，在中，，，所以，又，由正弦定理有：，即，解得，又是直角三角形，且，所以，所以此山的高度m.故答案為：.四、雙空題16．已知三棱錐中，頂點在底面的射影恰好是內(nèi)切圓的圓心，底面的最短邊長為6．若三個側(cè)面面積分別為，，，則頂點到底面的距離為；三棱錐的外接球的表面積為．【答案】5【分析】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點，連接，，連接，則可證得，再利用三個側(cè)面面積可求，，從而可求出，進而可求出，設(shè)的中點為，連接，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，然后利用勾股定理列方程組可求出外接球的半徑，從而可求出其表面積.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，內(nèi)切圓半徑為，圓分別切于點，連接，，連接，則平面，，，因為平面，所以，因為，平面，平面，平面，所以平面，平面，平面，因為平面，平面，平面，所以，，，因為，所以公共邊，所以≌≌，所以，設(shè)的最短邊為，則，所以，解得，所以，因為，所以,所以，所以為直角三角形，且，所以，所以，即頂點到底面的距離為5，設(shè)的中點為，連接，則為的外心，則，所以，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，連接，則平面，設(shè)，三棱錐的外接球的半徑為，則（在面上方），或（在面下方），所以，或，則或，解得或（舍去），所以，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：5，.【點睛】關(guān)鍵點睛：此題考查多面體與球的外接問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三個側(cè)面面積和底面內(nèi)切圓有關(guān)系判斷出為直角三角形，從而可可進一步求出棱錐的高和外接的半徑.五、解答題17．某校從參加數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)中選取100名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)分數(shù)）分成五組，得到如下頻率分布表：分數(shù)段頻率0.10.30.130.07(1)估計這100名學(xué)生的平均成績（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間中點值為代表）；(2)根據(jù)頻率分布表，估算這100名學(xué)生成績的第85百分位數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)）．【答案】(1)72.7(2)第85百分位數(shù)為83.8．【分析】（1）先求，再利用平均數(shù)的計算公式可得答案；（2）根據(jù)百分位數(shù)的求法，結(jié)合分布表可求答案.【詳解】（1）依題意有，100名學(xué)生的平均成績?yōu)?；?）由（1）知內(nèi)有80個數(shù)，估計分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生成績從低到高占位的數(shù)，則，，故第85百分位數(shù)為83.8．18．已知向量，，設(shè)．(1)若，求的值；(2)若將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再把所得的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，當時，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡可求出，再由結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出的值；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出的解析，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的值域．【詳解】（1）依題意，，．（2）由（1）知．將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得，再把所得的圖象向右平移個單位得到．當時，，∴，∴，．19．已知中角，，所對的邊分別為，，，設(shè)其面積為，．(1)求角；(2)若，點在邊上，若是的平分線，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面積公式和余弦定理可求角；（2）利用余弦定理和角平分線的性質(zhì)建立方程組，結(jié)合面積公式可得答案.【詳解】（1）依題意，，因為，所以．（2）中，，．①又，，即，②聯(lián)立①②得，．．20．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，為的中點．．點在底面的射影恰好是邊的中點．

(1)求證平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）首先利用垂直關(guān)系證明平面，再根據(jù)平行關(guān)系，即可證明；（2）首先證明，再根據(jù)二面角的定義，構(gòu)造二面角的平面角，再結(jié)合余弦定理，即可求解.【詳解】（1）為正邊的中點，．又，，而點在底面的射影恰好是邊的中點．即平面，連，，又底面是邊長為2的等邊三角形，則，而，平面，平面，連，，且則四邊形為平行四邊形，，平面．

（2）在正中，，，由（1）知，，，，．過點作于，為垂足．連，則，，則為二面角的平面角．如下圖，，垂足為點，在等腰中，，，，，．．故二面角的余弦值為．

21．如圖，在中，，，，點，分別在邊，上，且，，與交于點．

(1)設(shè)，，試用，表示；(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知，利用三角形的余弦定理、直角三角形的性質(zhì)以及向量的加減法、數(shù)乘運算計算求解.（2）根據(jù)已知，利用三角形的余弦定理、直角三角形的性質(zhì)計算求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理有：，即，即，解得（負值舍去）．．則在中，，所以，．即．，．即．（2）由（1）知，，在中，由余弦定理有：，所以．則在中，．22．如圖①，在矩形中，，為的中點，如圖②，將沿折起，點在線段上．

(1)若，求證平面；(2)若平面平面，是否存在點，使得平面與平面垂直？若存在，求此時三棱錐的體積，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)已知條件及平行線分