2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 1.2 一定是直角三角形嗎 同步練習(xí)（含解析）

第第頁(yè)2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)1.2一定是直角三角形嗎同步練習(xí)（含解析）1.2一定是直角三角形嗎

一、單選題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意的．本題共8個(gè)小題）

1．下列長(zhǎng)度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A．B．C．D．

2．在三角形中，，，的對(duì)邊分別為，，，且滿(mǎn)足，則這個(gè)三角形中互余的一對(duì)角是（）

A．與B．與C．與D．以上都不正確

3．在中，若，，，則（）

A．B．C．D．

4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，則△ABC的面積是（）

A．120B．160C．216D．96

5．三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿(mǎn)足，則此三角形是（）

A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形

6．適合下列條件的△ABC中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

7．如果△ABC的三邊分別為m2－1，2m，m2+1(m＞1)那么（）

A．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1

B．△ABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為2m

C．△ABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)需由m的大小確定

D．△ABC不是直角三角形

8．如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)，，均在格點(diǎn)上，則是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形

二、填空題

9．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，5，則這個(gè)三角形中最短邊上的高為_(kāi)_____．

10．在沒(méi)有直角工具之前，聰明的古埃及人用如圖的方法畫(huà)直角：把一根長(zhǎng)繩打上等距離的13個(gè)結(jié)，然后以3個(gè)結(jié)間距、4個(gè)結(jié)間距、5個(gè)結(jié)間距的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)，用木樁釘成一個(gè)三角形，其中5這條邊所對(duì)的角便是直角．依據(jù)是____．

10題圖11題圖14題圖

11．如圖是單位長(zhǎng)度為1的網(wǎng)格圖，A、B、C、D是4個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)，以其中兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中，任意取3條，能夠組成_________個(gè)直角三角形．

12．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為m+1,m+2,m+3,那么當(dāng)m=____時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形.

13．一個(gè)三角形的三邊的比為5∶12∶13，它的周長(zhǎng)為60cm，則它的面積是______．

14．三國(guó)時(shí)期吳國(guó)趙爽創(chuàng)制了“勾股圓方圖”（如圖）證明了勾股定理．在這幅“勾股圓方圖”中，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形EFGH組成的．已知小正方形的邊長(zhǎng)是2，每個(gè)直角三角形的短直角邊長(zhǎng)是6，則大正方形ABCD的面積是________．

15．小白兔每跳一次為1米，先沿直線跳12次后左拐，再沿直線向前跳5次后左拐，最后沿直線向前跳13次正好回到原來(lái)的地方，則小白兔第一次左拐的角度是______________．

16．觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，與之間的關(guān)系是_______，_______.

三、解答題

17．如圖：在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積．

18．在中，D是邊上的點(diǎn)，，，，．

（1）求證：是直角三角形；

（2）求的長(zhǎng)．

19．如圖，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，點(diǎn)B是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AB，若AB=20．

求：△ABD的面積．

20．已知a，b，c為△ABC三邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷△ABC的形狀.

21．星期天，兩組同學(xué)從學(xué)校出發(fā)去郊游.分組后，第一組同學(xué)以1.8千米/時(shí)的速度向正北方向直線前進(jìn)，第二組同學(xué)以2.4千米/時(shí)的速度向另一個(gè)方向直線前進(jìn)半小時(shí)后，兩組同學(xué)同時(shí)停了下來(lái)，此時(shí)他們相距1.5千米，試回答下面的問(wèn)題：

（1）第二組同學(xué)行走的方向如何

（2）如果接下來(lái)兩組同學(xué)以原來(lái)的速度相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間后相遇

22．觀察下列勾股數(shù)：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，求出當(dāng)時(shí)，，的值.

參考答案

1．C

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用勾股定理的逆定理逐一判斷即可．

【詳細(xì)解答】∵,,,

∴4,6,8不能組成直角三角形．,故A不符合題意;

∵,,,

∴6,8,9不能組成直角三角形,故B不符合題意;

∵,,,

∴5,12,13能組成直角三角形,故C符合題意;

∵,,,

∴5,11,12不能組成直角三角形,故D不符合題意;

故選:C．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理,熟記勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．

2．B

【思路點(diǎn)撥】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解．

【詳細(xì)解答】解：∵b2-a2=c2，

∴b2=a2+c2，

∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，

∴∠C與∠A互余．

故選：B．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，且最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角．同時(shí)考查了直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)．

3．C

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理即可求解．

【詳細(xì)解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC為直角三角形，∠C=90°．

故選：C．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理．

4．D

【詳細(xì)解答】是直角三角形..故選D.

5．A

【詳細(xì)解答】∵(a+b)2-c2=2ab，

∴a2+2ab+b2-c2=2ab.

∴a2+b2=c2.

∴此三角形是直角三角形.

故選A.

點(diǎn)睛:解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿(mǎn)足a＋b＝c，則三角形ABC是直角三角形．

6．A

【思路點(diǎn)撥】計(jì)算出三角形的角利用定義判定或在知道邊的情況下利用勾股定理的逆定理判定則可．

【詳細(xì)解答】①，故△ABC不是直角三角形；

②a=6，∠A=45°不是成為直角三角形的必要條件，故△ABC不是直角三角形；

③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形；

④72+242=252，故△ABC是直角三角形；

⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形．

故選A．

【方法總結(jié)】本題考查了直角三角形的定義和勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．

7．A

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷.

【詳細(xì)解答】解：∵（m2-1）2+（2m）2=（m2+1）2，

∴三角形為直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為m2+1，

故選A.

考點(diǎn)：本題考查的是勾股定理的逆定理

點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是熟記勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形一定是直角三角形.

8．B

【思路點(diǎn)撥】首先依據(jù)勾股定理，結(jié)合圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)，求得AC2，AB2，BC2的值；

接下來(lái)，依據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△ABC的形狀.

【詳細(xì)解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形.故選B.

【方法總結(jié)】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.

9．4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理，可以判斷題目中三角形的形狀，然后即可得到這個(gè)三角形中最短邊上的高的長(zhǎng)度，本題得意解決．

【詳細(xì)解答】解：，

三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形是直角三角形，

這個(gè)三角形中最短邊上的高為4，

故答案為：4．

【方法總結(jié)】本題考查勾股定理的逆定理，會(huì)用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀是解答本題的關(guān)鍵．

10．如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷．

【詳細(xì)解答】解：設(shè)相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的距離為m，則此三角形三邊的長(zhǎng)分別為3m、4m、5m，

∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，

∴以3m、4m、5m為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形．（如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形）

故答案為：如果三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

【方法總結(jié)】此題考查了勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，注意仔細(xì)閱讀題目所給內(nèi)容，得到解題需要的信息，比較簡(jiǎn)單．

11．2

【詳細(xì)解答】試題分析：根據(jù)小正方形的邊長(zhǎng)可分別求，，，，，，根據(jù)勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2個(gè)．

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理

12．2

【思路點(diǎn)撥】本題主要是考查二元一次方程的解法、勾股定理及其證明的應(yīng)用.因?yàn)檫@個(gè)三角形是直角三角形，所以我們可以根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳細(xì)解答】解：

如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為m＋1，m＋2，m＋3，并且是直角三角形，那么：，

化簡(jiǎn)得：，

解得：m=2,，或（舍去）

故答案為2.

【方法總結(jié)】本題主要考查的是二元一次方程的解法、勾股定理及其證明的應(yīng)用.在做這類(lèi)題目的時(shí)候，要知道因?yàn)檫@個(gè)三角形是直角三角形，所以可以根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解即可.

13．

【思路點(diǎn)撥】設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，再根據(jù)周長(zhǎng)可求出x的值，從而可得三邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理可得這個(gè)三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面積公式即可得．

【詳細(xì)解答】由題意，設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

則

解得

則這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

又

這個(gè)三角形是直角三角形，且兩直角邊長(zhǎng)分別為

則它的面積是

故答案為：．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)勾股定理的逆定理判定出這個(gè)三角形為直角三角形是解題關(guān)鍵．

14．100

【詳細(xì)解答】因?yàn)榇笳叫蜛BCD中4個(gè)直角三角形全等,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得:BE=AH=DG=CF=3,又因?yàn)樾≌叫蔚倪呴L(zhǎng)是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,

根據(jù)勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面積是25,

故答案為25.

15．

【詳細(xì)解答】由題意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；

∵米，

而13=169，剛好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距離為直角邊．

故小白兔第一次左拐的角度是90°.

16．

【解析】

【思路點(diǎn)撥】仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大的直角邊的差是1，通過(guò)代入3，4，5；5，12，13；7，24，25計(jì)算可得.

【詳細(xì)解答】觀察得給出的勾股數(shù)中，斜邊與較大直角邊的差是1，即cb=1；通過(guò)代入3，4，5；5，12，13；7，24，25計(jì)算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.

【方法總結(jié)】本題考查勾股數(shù)、規(guī)律和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理.

17．四邊形ABCD的面積是36

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理逆定理計(jì)算出，然后根據(jù)四邊形ABCD的面積的面積+的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．

【詳細(xì)解答】解：連接，

∵AB=3，BC=4，，

∴在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：

AC===5．

∵AC2+CD2=52+122=132=AD2，

∴△ACD是直角三角形．

∴S四邊形ABCD=ABBC+ACCD=×3×4+×5×12=36．

故四邊形ABCD的面積是36．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，連接AC，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵．

18．（1）見(jiàn)解析；（2）9

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷出△ADB為直角三角形；

（2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出DC的長(zhǎng)度．

【詳細(xì)解答】解：（1）證明：∵AB=13，AD=12，BD=5，

∴AB2=AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°；

（2）∵∠ADB=90°，

∴△ADC是直角三角形，

在Rt△ADC中，DC==9．

【方法總結(jié)】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是判斷出∠ADB=90°．

19．42.

【詳細(xì)解答】試題分析：由勾股定理的逆定理證明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出結(jié)果．

解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，

AC2+DC2=122+92=152=AD2，

即AC2+DC2=AD2，

∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，

在Rt△ABC中，BC===16，

∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，

∴△ABD的面積=×7×12=42．

20．直角三角形

【詳細(xì)解答】試題分析：把已知條件寫(xiě)成三個(gè)完全平方式的和的形式，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀．

由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0

(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0

由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.

所以a－5=0，得a=5；

b－12=0，得b=12；

c－13=0，得c=13.

又因?yàn)?32=52+122，即a2+b2=c2

所以△ABC是直角三角形.

考點(diǎn)：本題考查的是勾股定理的逆定理，