青島版八年級數(shù)學上冊 （三角形內(nèi)角和定理）教育教學課件

第5章幾何證明初步5.5三角形內(nèi)角和定理

內(nèi)角三兄弟之爭

在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F結(jié).可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納悶.

同學們，你們知道其中的道理嗎？1.知識目標

（1）三角形的內(nèi)角和定理的證明.（2）掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學會利用輔助線證題.(3)理解掌握三角形內(nèi)角和定理的推論及其應(yīng)用.

2.教學重點（1）三角形內(nèi)角和定理的證明.（2）三角形內(nèi)角和定理的推論.3.教學難點（1）三角形內(nèi)角和定理的證明方法.(2)三角形的外角、三角形內(nèi)角和定理的推論.我們知道三角形三個內(nèi)角的和等于180°.你還記得這個結(jié)論的探索過程嗎?112ABD23C(1)如圖,當時我們是把∠A移到了∠1的位置,∠B移到了∠2的位置.如果不實際移動∠A和∠B,那么你還有其它方法可以達到同樣的效果嗎?(2)根據(jù)前面的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用比較簡捷的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個內(nèi)角的和等于180°.已知:如圖,△ABC

.求證:∠A

+∠B+∠C=180°.證明:作BC的延長線CD,過點C作CE∥AB,則你還有其它方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎?∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換).分析:延長BC到D,過點C作射線CE∥AB,這樣,就相當于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置.這里的CD,CE稱為輔助線,輔助線通常畫成虛線.ABCE213D在證明三角形內(nèi)角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQ∥BC(如圖),他的想法可以嗎?請你幫小明把想法化為實際行動.小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實,由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?證明:過點A作PQ∥BC,則ABC∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),又∵∠1+∠2+∠3=1800(平角的定義),∴∠BAC+∠B+∠C=1800(等量代換).PQ231根據(jù)下面的圖形,寫出相應(yīng)的證明.你還能想出其它證法嗎?(1)ABCPQRTSN(3)ABCPQRMTSN(2)ABCPQRM試一試三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的幾種變形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°

–∠C.∠B+∠C=180°

–∠A.∠A+∠C=180°

–∠B.這里的結(jié)論,以后可以直接運用.

ABC觀察下面一組圖形中∠1在各個圖形中的位置，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？BCA1DACB1DACB1D外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.三個特征:

1.∠1的頂點在三角形的一個頂點上;2.∠1的一條邊是三角形的一條邊;3.∠1的另一條邊是三角形的某條邊的延長線.···大家一起畫一畫想一想:1、每一個三角形有幾個外角？2、每一個頂點處相對應(yīng)的外角有幾個？3、這些外角中有幾個外角相等？

4、三角形的每一個外角與三角形的三個內(nèi)角有什么位置關(guān)系?畫一個三角形，再畫出它所有的外角.ABDEFC外角ABDEFC外角歸納：

1、每一個三角形都有６個外角;2、每一個頂點相對應(yīng)的外角都有２個;

4、一個三角形的每一個外角對應(yīng)一個相鄰的內(nèi)角和兩個不相鄰的內(nèi)角.3、這6個外角中有3個外角相等.探究:你能用推理的方法來論證∠ACD=∠B+∠A嗎？你能用幾種方法呢？相信你一定能行！DABCD

∵∠ACD+∠ACB=180°又∵∠A+∠B+∠ACB=180°

∴∠A+∠B=∠ACD

解：ABC∴∠ACD=180°－∠ACB

∴∠A+∠B=180°－∠ACB（鄰補角的定義）（三角形內(nèi)角和180°

）方法一:1（作CE//BA）由平行線的性質(zhì)把兩個內(nèi)角轉(zhuǎn)換可得AE方法二：擅長畫平行線的小明用另一種方法解釋了這個性質(zhì)，看動畫，你知道他是怎么解釋的嗎？哪位同學證明一下.CBD三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.DACB∵∠ACD=∠A+∠B∴∠ACD﹥∠A∠ACD﹥∠B結(jié)論：3.三角形的一個外角與它不相鄰的任意一個內(nèi)角有怎樣的大小關(guān)系?三角形外角的性質(zhì)：性質(zhì)1、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

∠B+∠C=∠CAD

性質(zhì)2、三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.

∠CAD

>∠B，∠CAD

>∠CABCD證明：∵∠EAC=∠B+∠C

(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∠B=∠C

(已知)∴∠B=∠EAC(等式性質(zhì))ACDBE··例1已知:如圖在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求證：AD∥BC.∵AD平分∠EAC(已知)∴∠DAE=∠EAC(角平分線的定義)∴∠DAE=∠B(等量代換)∴AD∥BC(同位角相等,兩直線平行)這里是運用了公理“同位角相等，兩直線平行”得到了證實.例2已知：如圖,在△ABC中,∠1是它的一個外角,E為邊AC上一點,延長BC到D,連接DE.求證:∠1>∠2.證明：∵∠1是△ABC

的一個外角(已知)∴∠1>∠3(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∵∠3是△CDE

的一個外角(外角定義)∴∠3>∠2(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角)∴∠1>∠2(不等式的性質(zhì))CABF1345ED2跟蹤練習1.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定C

2.如圖所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,則∠DFE等于()A.120°B.115°C.110°D.105°FEDCBAB3.如圖，把△ACB沿DE折疊，當點A落在四邊形BCED內(nèi)部時，∠DAE與∠1,∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系保持不變，這一規(guī)律是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=2∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）BDAACE12B4.如圖所示,∠1=_______.140°80°1120°5.已知等腰三角形的一個外角為150°,則它的底角為_____.30或75°

6.如圖所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,則∠BDC=________.DCBA120°7.已知：如圖，在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.求：∠B和∠ACB的大小.ABCD解:∵∠DCA是△ABC的一個外角(已知),∴∠B=∠DCA-∠A=100°-45°=55°

又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角=180°).∴∠ACB=80°(等式的性質(zhì)).100°45°(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和).已知:國旗上的正五角星形如圖所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù).解:∵∠1是△BDF的一個外角(外角的意義),分析:設(shè)法利用外角把這五個角“湊”到一個三角形中,運用三角形內(nèi)角和定理來求解.∴∠1=∠B+∠D(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和).∴∠2=∠C+∠E(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形內(nèi)角和定理).又∵∠2是△EHC的一個外角(外角的意義),ABCDEF1H2∴∠A+∠B

+∠C

+∠D

+∠E=180°(等式性質(zhì)).拔尖自助餐1.(1)如圖(甲)，在五角星圖形中，求∠A+∠B

+∠C

+∠D

+∠E的度數(shù).

(2)把圖（乙）、（丙）叫蛻化的五角星，問它們的五角之和與五角星圖形的五角之和仍相等嗎？為什么？AEABCDAE(甲)EBCDDCB(乙)(丙)相等，也可湊到一個三角形中.當堂檢測１△ABC

中,若∠A

＋∠B

＝∠C,則△ABC

是（）

A.銳角△B..直角△C.鈍角△D.等腰△２一個三角形至少有（）

A.一個銳角B.兩個銳角C.一個鈍角D.一個直角BB證明：∵∠1+∠4=180°∠2+∠5=180°∠3+∠6=180°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=3×180°=540°又∵∠4+∠5+∠6=180°(三角形內(nèi)角和定理)∴∠1+∠2+∠3=540°-180°=360°3.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC

的三個外角．求證：∠1+∠2+∠3=360°.C

AB3126454.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,求∠C的度數(shù).解：在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°∴∠B+∠C=100°∵∠B=∠C∴∠B=∠C=50°ABC5.已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，求這三個內(nèi)角的度數(shù).解：設(shè)三個內(nèi)角度數(shù)分別為：x,3x,5x.列出方程

x+3x+5x=180°

x=20°答：三個內(nèi)角度數(shù)分別為20°,60°,100°.三角形內(nèi)角和定理

三角形三個內(nèi)角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推論1:三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論2:

三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.小結(jié)5.3什么是幾何證明

01學習目標05隨堂練習06課堂小結(jié)03新知探究02情境引入04例題精講1.了解基本事實、定理的意義，掌握本節(jié)中提出的基本事實，了解除了基本事實外，命題的真實性必須經(jīng)過證明；2.初步了解幾何證明的三個步驟，通過例題了解幾何證明的書寫格式，知道證明要合乎邏輯，感受證明過程中的每一步推理都要有依據(jù).命題有真命題與假命題之分想一想基本事實有什么作用呢基本事實可以作為證實其它真命題的依據(jù).

有一些命題是人們經(jīng)過長期實踐后總結(jié)出來，被大家所公認的命題叫基本事實.1.兩點確定一條直線.2.兩點之間線段最短.3.過一點有且只有一條直線與這條直線垂直.4.同位角相等,兩直線平行.5.經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.8.三邊分別相等的兩個三角形全等.已學過的命題中，本書選用如下命題作為基本事實:B.即將要學的“不等式的基本性質(zhì)”.

A.等式的基本性質(zhì)：1.等式的兩邊都加（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，等式的兩邊仍然相等。2.等式的兩邊都乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為零），等式的兩邊仍然相等。C.在等式或不等式中,一個量可以用它的等量來代替.例如:“如果a=b，b=c，那么a=c”，“如果a>b，b>c，那么a>c”，這一性質(zhì)也看作基本事實,稱為“等量代換”.

想一想除基本事實外，命題的真實性都需要由基本事實、定義、已證實的結(jié)論及已知條件出發(fā)，通過邏輯推理的方法加以證實。推理的過程叫做證明.如何證明一個命題是真命題呢？通過推理的方法得到證實的真命題叫定理.OACBD“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”，這是對頂角的性質(zhì)，你能證明它的正確性嗎？你能找出條件和結(jié)論嗎？并轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號語言。已知：如圖，∠AOC與∠BOD是對頂角，求證：∠AOC=∠BOD證明：∵∠AOC與∠BOD是對頂角（）∴∠AOC+∠AOD=180°，∠AOD+∠BOD=180°（）∴∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠BOD（）∴∠AOC=∠BOD（）OACBD已知：如圖，∠AOC與∠BOD是對頂角，求證：∠AOC=∠BOD已知平角的定義等量代換等式的基本性質(zhì)通過證明以上定理，你認為幾何證明的步驟應(yīng)分哪幾步？在書寫格式上應(yīng)注意哪些問題？根據(jù)題意，畫出圖形。

結(jié)合圖形，寫出已知、求證。

寫出證明過程。注意事項：1.圖形中要標出必要的字母和符號。2.已知、求證要用符號語言。3.證明的每一步都要有依據(jù)。步驟例1.求證：同角的余角相等。已知：如圖，∠1與∠α互余，∠2與∠α互余.求證：∠1=∠2.證明：∵∠1