歷年上海高考題(立體幾何)

17．〔2021-21-17〕如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5．〔1〕求三棱柱ABC-A1B1C1的體積；〔2〕設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線A1M與平面ABC所成角的大?。?7.【解析】〔1〕∵直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，側(cè)棱AA1的長為5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積V=S△ABC·AA1=eq\f(1,2)AB·AC·AA1=eq\f(1,2)×4×2×5=20.〔2〕連接AM.∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥底面ABC.∴∠AMA1是直線A1M與平面ABC所成角.∵△ABC是直角三角形，兩直角邊AB和AC的長分別為4和2，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM=eq\f(1,2)BC=eq\f(1,2)×eq\r(42+22)=eq\r(5).由AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥AM,∴tan∠A1MA=eq\f(AA1,AM)=eq\f(5,eq\r(5))=eq\r(5).∴直線A1M與平面ABC所成角的大小為arctaneq\r(5)．19．〔2021?23-19〕將邊長為1的正方形AA1O1O〔及其內(nèi)部〕繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，AC長為π，A1B1長為，其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè)．〔1〕求三棱錐C﹣O1A1B1的體積；〔2〕求異面直線B1C與AA1所成的角的大?。究键c(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】〔1〕連結(jié)O1B1，推導(dǎo)出△O1A1B1為正三角形，從而=，由此能求出三棱錐C﹣O1A1B1的體積．〔2〕設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B，連結(jié)BB1，那么BB1∥AA1，∠BB1C為直線B1C與AA1所成角〔或補(bǔ)角〕，由此能求出直線B1C與AA1所成角大?。窘獯稹拷猓骸?〕連結(jié)O1B1，那么∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1為正三角形，∴=，==．〔2〕設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B，連結(jié)BB1，那么BB1∥AA1，∴∠BB1C為直線B1C與AA1所成角〔或補(bǔ)角〕，BB1=AA1=1，連結(jié)BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC為正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直線B1C與AA1所成角大小為45°．【點(diǎn)評(píng)】此題考查三棱錐的體積的求法，考查兩直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19、〔〕如圖。在長方體中，分別是的中點(diǎn)，證明：19．〔2021〕〔此題總分值12分〕底面邊長為2的正三棱錐，其外表展開圖是三角形，如圖，求的各邊長及此三棱錐的體積．19．〔此題總分值12分〕解：在中，，，所以是中位線，故．同理，，．所以是等邊三角形，各邊長均為．設(shè)是的中心，那么平面，所以，．從而，．19.(2021)〔此題總分值12分〕如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.【解答】因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．ABCDPE19.(2021)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PCAB=2，AD=2ABCDPE(1)三角形PCD的面積；(6分)(2)異面直線BC與AE所成的角的大小.(6分)[解](1)因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD.……3分ABCDPExyABCDPExyz所以三角形PCD的面積為.……6分(2)[解法一]如下圖，建立空間直角坐標(biāo)系，那么B(2,0,0)，C(2,2,0)，E(1,,1)，，.……8分設(shè)與的夾角為，那么，=.由此可知，異面直線BC與AE所成的角的大小是……12分[解法二]取PB中點(diǎn)F，連接EF、AF，那么EF∥BC，從而∠AEF(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AE所成的角……8分在中，由EF=、AF=、AE=2知是等腰直角三角形，所以∠AEF=.因此異面直線BC與AE所成的角的大小是……12分21．(2021)〔14分〕是底面邊長為1的正四棱柱，是和的交點(diǎn)?！?〕設(shè)與底面所成的角的大小為，二面角的大小為。求證：；〔2〕假設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，求正四棱柱的高。21．解：設(shè)正四棱柱的高為。⑴連，底面于，∴與底面所成的角為，即∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴是二面角的平面角，即∴，。⑵建立如圖空間直角坐標(biāo)系，有設(shè)平面的一個(gè)法向量為，∵，取得∴點(diǎn)到平面的距離為，那么。21、(2021)〔本大題總分值13分〕此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值5分，第2小題總分值8分.如下圖，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面〔不安裝上底面〕.(1)當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值〔結(jié)果精確到0.01平方米〕;〔2〕在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為0.3米時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕19(2021)〔此題總分值14分〕如圖，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。19，【解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系那么A〔2，0，0〕、C〔0，2，0〕A1〔2，0，2〕，B1〔0，0，2〕、C1〔0，2，2〕……2分設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵BM⊥AC,BM⊥CC1;∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個(gè)法向量?！?分設(shè)平面的一個(gè)法向量是=〔x，y，z〕，=〔-2，2，-2〕，=〔-2，0，0〕……7分設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角…….14分AEB1D1DC1A1BC16.(2021)(12AEB1D1DC1A1BC求直線DE與平面ABCD所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)表示〕【解析】過作，交于，連接．∵平面，∴是直線與平面所成的角．EDCABEDCABA1B1C1D1F∵，∴．∵，∴．故直線與平面所成角的大小是．16．(2021)〔此題總分值12分〕如圖，在體積為1的直三棱柱中，．求直線與平面所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕．16．解法一：由題意，可得體積，．連接．，平面，是直線與平面所成的角．，，那么＝．即直線與平面所成角的大小為．解法二：由題意，可得體積，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．得點(diǎn)，，．那么，平面的法向量為．設(shè)直線與平面所成的角為，與的夾角為，那么，，即直線與平面所成角的大小為．19．(2021--19)〔此題總分值14分〕此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分〕PABCDOE在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60PABCDOE〔1〕求四棱錐P－ABCD的體積；〔2〕假設(shè)E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的大小〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕．[解]〔1〕在四棱錐P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角,∠PBO=60°.在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1,由PO⊥BO,于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面積為2.∴四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.〔2〕解法一：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OB、OC、OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在Rt△AOB中OA=,于是,點(diǎn)A、B、D、P的坐標(biāo)分別是A(0,－,0),B(1,0,0),D(－1,0,0),P(0,0,).E是PB的中點(diǎn),那么E(,0,)于是=(,0,),=(0,,).設(shè)的夾角為θ,有cosθ=,θ=arccos,∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos；解法二：取AB的中點(diǎn)F,連接EF、DF.由E是PB的中點(diǎn),得EF∥PA，∴∠FED是異面直線DE與PA所成角(或它的補(bǔ)角)，在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，于是,在等腰Rt△POA中，PA=，那么EF=.在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，cos∠FED==∴異面直線DE與PA所成角的大小是arccos.17．(2021-22-17)〔此題總分值12分〕直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求異面直線與DC所成角的大小.〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕17．[解法一]由題意AB//CD，是異面直線BC1與DC所成的角.連結(jié)AC1與AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，過C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在∴異而直線BC1與DC所成角的大小為[解法二]如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系.那么C1〔0，1，2〕，B〔2，4，0〕所成的角為，那么∴異面直線BC1與DC所成角的大小為21、(2021-22-21)(此題總分值16分)第1小題總分值4分,第2小題總分值6分,第3小題總分值6分如圖,P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長PA、PB、PC上的點(diǎn),截面DEF∥底面ABC,且棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)證明：P-ABC為正四面體；假設(shè)PD=PA,求二面角D-BC-A的大??；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)設(shè)棱臺(tái)DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體,使得它與棱臺(tái)DEF-ABC有相同的棱長和?假設(shè)存在,請具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明；假設(shè)不存在,請說明理由.21、【證明】(1)∵棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四面體.【解】(2)取BC的中點(diǎn)M,連接PM,DM.AM. ∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM, 那么∠DMA為二面角D-BC-A的平面角. 由(1)知,P-ABC的各棱長均為1, ∴PM=AM=,由D是PA的中點(diǎn),得 ,∴.(3)存在滿足條件的直平行六面體. 棱臺(tái)DEF-ABC的棱長和為定值6,體積為V. 設(shè)直平行六面體的棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為, 那么該六面體棱長和為6,體積為. ∵正四面體P-ABC的體積是,∴,.可知故構(gòu)造棱長均為,底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即滿足要求.18．(2021-22-18)〔此題總分值12分〕平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AB=4，AD=2.假設(shè)B1D⊥BC，直線B1D與平面ABCD所成的角等于30°，求平行六面體ABCD—A1B1C1D1的體積.18．[解]連結(jié)BD，因?yàn)锽1B⊥平面ABCD，B1D⊥BC，所以BC⊥BD.在△BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因?yàn)橹本€B1D與平面ABCD所成的角等于30°，所以∠B1DB=30°，于是BB1=BD=2.故平行六面體ABCD—A1B1C1D1的體積為SABCD·BB1=.17．(2002-22-17)〔此題總分值12分〕如圖，在直三棱柱ABO—A/B/O/中，OO/=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是線段A/B/的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB/上的一點(diǎn).假設(shè)OP⊥BD，求OP與底面AOB所成角的大小.〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕17.∠POB=arctan.19．(2001-22-19)〔此題總分值14分〕此題有2個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分．在棱長為的正方體中，分別是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．〔Ⅰ〕求證：；〔Ⅱ〕當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的大?。步Y(jié)果用反三角函數(shù)表示〕【解】〔I〕證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，那么，．∴．......〔4分〕∵，∴．......〔6分〕〔II〕記，那么，三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因此，三棱錐的體積取得最大值時(shí)，．......〔10分〕過作交于，連，可知．∴是二面角的平面角．在直角三角形中，直角邊，是斜邊上的高，∴，故二面角的大小為．......〔14分〕【點(diǎn)評(píng)】此題考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三棱錐