江蘇省宿遷市虞姬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

江蘇省宿遷市虞姬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（

）A．9

B．15C．18D．36參考答案：C2.將三封信件投入兩個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱都有信件的概率是（）A．1 B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】求出三封信件投入兩個(gè)郵箱的所有種數(shù)，求出每個(gè)郵箱都有信件的種數(shù)，然后求解概率．【解答】解：三封信件投入兩個(gè)郵箱的所有種數(shù)：23=8．每個(gè)郵箱都有信件的種數(shù)：C32?A22=6．將三封信件投入兩個(gè)郵箱，每個(gè)郵箱都有信件的概率是：．故選：B．3.“和都不是偶數(shù)”的否定形式是（

）

A.和至少有一個(gè)是偶數(shù) B.和至多有一個(gè)是偶數(shù)

C.是偶數(shù)，不是偶數(shù) D.和都是偶數(shù)參考答案：A略4.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A.(－1,0)

B.(0,1)

C.(1,2)

D.(1，e)參考答案：B5.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是（

）

A．8

B．6

C．4

D．3

參考答案：A略6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知（a2012﹣1）3+2014a2012=0，（a3﹣1）3+2014a3=4028，則下列結(jié)論正確的是（）A．S2014=2014，a2012＜a3 B．S2014=2014，a2012＞a3C．S2014=2013，a2012＜a3 D．S2014=2013，a2012＞a3參考答案：A考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x，由函數(shù)的單調(diào)性可判a2012＜a3，已知兩式相加分解因式，由g（t）為增函數(shù)，且g（2）=4028，可得t=2，進(jìn)而由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得．解答：解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x，則f′（x）=3（x﹣1）2+2014＞0，∴函數(shù)f（x）=（x﹣1）3+2014x單調(diào)遞增，∵f（a3）=4028＞f（a2012）=0，∴a2012＜a3，排除B和D，已知兩式相加可得（a2012﹣1）3+2014a2012+（a3﹣1）3+2014a3=4028分解因式可得（a3+a2012﹣2）[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]+2014（a3+a2012）=4028，令a3+a2012=t，則有g(shù)（t）=[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]（t﹣2）+2014t，∵[（a2012﹣1）2﹣（a2012﹣1）（a3﹣1）+（a3﹣1）2]＞0，∴g（t）為增函數(shù)，又∵g（2）=4028，∴必有t=2，即a3+a2012=2，∴S2014===2014故選：A點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用和構(gòu)造函數(shù)的技巧，屬中檔題．7.已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么

A．(-∞,-1)

B．(1,+∞）

C．(-1，1)

D．（-∞，-1）∪(1，+∞）參考答案：D本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，容易題。因?yàn)榧?，所以，故選D。8.如圖，若是長(zhǎng)方體被平面截去幾何體后得到的幾何體，其中為線(xiàn)段上異于的點(diǎn)，為線(xiàn)段上異于的點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中不正確的是

（

）

A．

B．四邊開(kāi)是矩形

C．是棱柱

D．是棱臺(tái)參考答案：D9.已知，為平面向量，若與的夾角為，與的夾角為，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.設(shè)集合，，則A. B.C. D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知（a+）6（a＞0）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是5，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式，列方程求出a的值．【解答】解：（a+）6（a＞0）展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為：Tr+1=??=a6﹣r???，令3﹣=0，解得r=2；∴展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是a4??=5，解得a=±；又a＞0，∴a=．故答案為：．12.方程的曲線(xiàn)即為函數(shù)的圖象，對(duì)于函數(shù)，下列命題中正確的是

.（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）①函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限；

④函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；⑤函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn).參考答案：13.已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，則z=2x+y的最小值是__________．參考答案：略14.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則

；參考答案：9在等比數(shù)列中，也成等比數(shù)列，即成等比，所以，所以，所以或（舍去）.15.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是

參考答案：16.在平行四邊形中，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，，則_________.參考答案：2

17.如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD＝3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的最大值等于

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）（2014秋?邯鄲期末）函數(shù)f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=2x[f（x）﹣k]（k∈R）在[0，1]上的最大值為5，求k的值．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的最值及其幾何意義．

【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】本題（Ⅰ）利用f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，得到f（0）=0，求出m=3，再驗(yàn)證，適合題意，得到本題結(jié)論；（2）（Ⅱ）由f（1）=，得到a=2，從而求出g（x）的解析式，換元后得到一個(gè)二次函數(shù)h（t），分類(lèi)討論研究二次函數(shù)的最大值，得到k=﹣1，得到本題結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即1﹣（m﹣2）=0，∴m=3．驗(yàn)證，當(dāng)m=3時(shí)，f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函數(shù)，適合題意．∴m的值為3．（Ⅱ）∵f（1）=，∴a=2，即f（x）=2x﹣2﹣x．∴g（x）=4x﹣k?2x﹣1．令t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，∴h（t）=t2﹣kt﹣1=，，即k≤3時(shí)，h（t）max=h（2）=3﹣2k，即3﹣2k=5，得k=﹣1，，即k＞3時(shí)，h（t）max=h（1）=﹣k，即﹣k=5，得k=﹣5（舍）∴k=﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)在區(qū)間上的最值，還考查了換元轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，有一定的計(jì)算量，屬于中檔題．19.已知，，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，且.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，，連接并延長(zhǎng)，與軌跡交于另一點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記與的面積之和為，求的最大值.

參考答案：（1）設(shè)，∵，，∴，，又，∴，∴，∴軌跡的方程為（注：或，如不注明扣一分）.（2）由，分別為，，的中點(diǎn)，故，故與同底等高，故，，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，設(shè)，，顯然直線(xiàn)不與軸重合，即；聯(lián)立，解得，，故，故，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，令，故，故的最大值為.20.設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx（m∈R），g（x）=cosx．（1）若函數(shù)h(x)=f(x)+在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)φ（x）=f（x）+g（x），若對(duì)任意的x∈(π，)，都有φ（x）≥0，求m的取值范圍；（3）設(shè)m＞0，點(diǎn)P（x0，y0）是函數(shù)f（x）與g（x）的一個(gè)交點(diǎn)，且函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)P處的切線(xiàn)互相垂直，求證：存在唯一的x0滿(mǎn)足題意，且x0∈(1，)．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分離m，根據(jù)函數(shù)恒成立求出m的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為mlnπ+cosπ≥0，求出m的范圍即可；（3）分別求出msinx0=x0（*），mlnx0=cosx0（**），聯(lián)立（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（1）由題意，知，所以．由題意，，即對(duì)x∈（1，+∞）恒成立．…又當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，所以m≥1．…（2）因?yàn)棣眨▁）=f（x）+g（x）=mlnx+cosx，所以．①當(dāng)m≤0時(shí)，因?yàn)?，所以lnx＞0，cosx＜0，故φ（x）＜0，不合題意．…②當(dāng)m＞0時(shí)，因?yàn)椋驭?（x）＞0，故φ（x）在上單調(diào)遞增．…欲φ（x）≥0對(duì)任意的都成立，則需φ（π）≥0，所以mlnπ+cosπ≥0，解得．綜上所述，m的取值范圍是．…（3）證明：因?yàn)?，g'（x）=﹣sinx，且函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線(xiàn)互相垂直，所以，即msinx0=x0（*）．又點(diǎn)P（x0，y0）是函數(shù)f（x）與g（x）的一個(gè)交點(diǎn)，所以mlnx0=cosx0（**）．由（*）（**）消去m，得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0．…①當(dāng)x0∈（0，1]時(shí)，因?yàn)閙＞0，所以mlnx0≤0，且cosx0＞0，此與（**）式矛盾．所以在（0，1]上沒(méi)有x0適合題意．…②當(dāng)x0∈（1，+∞）時(shí)，設(shè)r（x）=xlnx﹣sinxcosx，x∈（1，+∞）．則r'（x）=lnx+1﹣cos2x＞0，即函數(shù)r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以函數(shù)r（x）在（1，+∞）上至多有一個(gè)零點(diǎn)．因?yàn)閞（1）=ln1﹣sin1cos1=﹣sin1cos1＜0，，且r（x）的圖象在（1，+∞）上不間斷，所以函數(shù)r（x）在有唯一零點(diǎn)．即只有唯一的x0∈（1，+∞），使得x0lnx0﹣sinx0cosx0=0成立，且．綜上所述，存在唯一的x0∈（0，+∞），且．…21.（本小題滿(mǎn)分12分）

已知分別是的內(nèi)角的對(duì)邊，且（1）求的值；（2）求證：成等差數(shù)列；參考答案：（1）∵C=2A,∴sinC=sin2A………2分[K]∴∴.…4分（文5分）[K]（2）∵∴………6分[K]（文8分）∵cosA=,∴,……………（文10分）∴[K]即，∴a,b,c成等差數(shù)列.…8分（文12分）法二：由

得22.（13分）（2012?佛山二模）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′n（x），函數(shù)g（x）=fn（x）﹣nx．（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若實(shí)數(shù)x0和正數(shù)k滿(mǎn)足：，求證：0＜x0＜k．參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專(zhuān)題： 計(jì)算題；證明題；綜合題．分析： （Ⅰ）由g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，可求得g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]，分n（n≥2）為偶數(shù)與n為奇數(shù)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得其單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）由可求得x0=，設(shè)分子為h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0），可分析得到h'（k）＞0，從而h（k）＞h（0）=0，求得x0＞0；進(jìn)一步可求得x0﹣k=＜0，從而得證0＜x0＜k．解答： 解：（Ⅰ）由已知得g（x）=（1+x）n﹣1﹣nx，所以g′（x）=n[（1+x）n﹣1﹣1]．…（2分）①當(dāng)n≥2且n為偶數(shù)時(shí)，n﹣1是奇數(shù)，由g'（x）＞0得x＞0；由g'（x）＜0得x＜0．所以g（x）的遞減區(qū)間為（﹣∞，0），遞增區(qū)間為（0，+∞），極小值為g（0）=0．…②當(dāng)n≥2且n為奇數(shù)時(shí)，n﹣1是偶數(shù)，由g'（x）＞0得x＜﹣2或x＞0；由g'（x）＜0得﹣2＜x＜0．所以g（x）的遞減區(qū)間為（﹣2，0），遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），此時(shí)g（x）的極大值為g（﹣2）=2n﹣2，極小值為g（0）=0．…（8分）（Ⅱ）由得，所以1+x0=，x0=…（10分）顯然分母（n+1）[（1+k）n﹣1]＞0，設(shè)分子為h（k）=（nk﹣1）（1+k）n+1（k＞0）則h'（k）=n（1+k）n+n（1+k）n﹣1（nk﹣1