上海卷2021屆高考數(shù)學沖刺模擬測試卷（解析版）

卷05（上海卷數(shù)學）-2021屆高考數(shù)學沖刺模擬測試卷

一、填空題（本題12小題，滿分54分，其中1-6每題4分，7-12每題5分）

1.已知集合A={0,1,2,3},1=己|0<苦,2},則AB=.

【答案】{1,2}

【分析】

利用交集的概念及運算即可得到結(jié)果.

【詳解】

解：取集合A5的公共部分即可，所以，4cB={1,2}

故答案為{1,2}

【點睛】

本題考查集合的運算，意在考查學生對基本知識的掌握情況.

2.已知復數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,其中i為虛數(shù)單位，則目=一.

【答案】17

【分析】

設2=。+初，代入已知可得到關于a力的方程組，復數(shù)和復數(shù)的模.

【詳解】

設z=a+6（。,。6火），則z+\z\=a+bi+yja2+b2=2+8/,

.?.一+"+"。解得：則目=J（_15『+82=17.

b=8m=8II。>

故答案為：17.

【點睛】

本題考查復數(shù)的代數(shù)運算，屬于基礎題型.

3.已知等差數(shù)列｛??｝的首項為1,公差為2，則該數(shù)列的前〃項和s?=.

【答案】

【分析】

利用等差數(shù)列前“項和公式直接求解.

【詳解】

?/等差數(shù)列｛%｝的首項為1,公差為2,

...該數(shù)列的前?項和s“=〃X1+TX2=.

2

故答案為：n2

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的前〃項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.

2z

4.在。+^）6的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】60

【分析】

根據(jù)二項式展開式的通項公式，利用x項的指數(shù)為0,即可求出常數(shù)項.

【詳解】

2

在（工+=）6的展開式中,通項公式為：

X

&=禺尸（與「=瑪2'產(chǎn)"

x

令6—3尸=0「.尸=2

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2

所以展開式的常數(shù)項為：C；22=60

故答案為：60

【點睛】

本題考查了二項式定理的通項公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎

題.

5.在報名的5名男生和4名女生中，選取5人參加志愿者服務，要求男生、女生都有，

則不同的選取方法的種數(shù)為結(jié)果用數(shù)值表示).

【答案】125

【解析】

試題分析：由題意得，可采用間接法：從男女組成的9中，選出5人，共有C；=126種

不同的選法；其中5人中全是男生只有一種選法，故共有126—1=125種選法.

考點：排列、組合的應用.

冗

6.己知/(■￥)=25山5(3>0)在0,y單調(diào)遞增，則實數(shù)。的最大值為

【答案】:3

2

【分析】

兀

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)在0,y單調(diào)遞增，即可求得。的最大值.

【詳解】

設g(x)=sinxJ(x)=2sincox{co>0)

因為/(0)=2sin0=0

7T~\「萬

/(x)目.在o,§單調(diào)遞胤g(x)=sinx在0,y上單調(diào)遞增

T[TV33

所以w上<—即—所以①的最大值為己

3222

3

故答案為：-

2

【點睛】

本題考查了正弦函數(shù)單調(diào)性的簡單應用，由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的最值,屬于中檔題.

<]_1_3、（一]、

7.已知線性方程組的增廣矩陣為.，，若該線性方程組的解為c,則實

334J⑴

數(shù)4=_______

【答案】2

【分析】

x-y=-3

由已知得《,把x=-1,>'=2,能求出a的值.

ax+3y-4

【詳解】

-1—3、

???線性方程組的增廣矩陣為,該線性方程組的解為

a34

,把x=-l,y=2,代入得-a+6=4,解得a=2.

ax+3y=4

故答案為：2.

【點睛】

本題考查實數(shù)值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意線性方程組的性質(zhì)的合理

運用.

x+y<5

8.已知變量工、>滿足<%一丁2-3,則2x+3y的最大值為.

x>0,y>0

【答案】14

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■

【分析】

由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，代入

目標函數(shù)得答案.

【詳解】

x+y=5

作出不等式組?尤-yz-3所表示的可行域，如下圖中的陰影部分區(qū)域表示，

x>0,y>0

x—y--3fx=1,、

聯(lián)立《'=,解得《，可得點A（l,4）,

x+y=51y=4

21

令z=2x+3y,化為y=-§x+§z,

由圖可知，當直線y=-經(jīng)過可行域的頂點A時，該直線在丁軸上的截距最大,

此時z=2x+3y取最大值，即z111ax=2x1+3x4=14.

故答案為：14.

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

9.現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項，-3為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)

中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是.

3

【答案】

【解析】

試題分析：這個等比數(shù)列中，4=1,偶數(shù)項為負數(shù)，。3，。5，%，%均大于8,所以這10

個數(shù)中小于8的數(shù)共有6個，所以從這10個數(shù)中隨機抽取一個數(shù)，則它小于8的概率

「=色=3,故應填

1055

考點：1.等比數(shù)列的性質(zhì)；2.古典概型.

【名師點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)與古典概型，屬中檔題；求解古典概型問題的關

鍵是找出樣本空間中的基本事件數(shù)及所求事件包含的基本事件數(shù)，常用方法有列舉法、

樹狀圖法、列表法法等，所求事件包含的基本事件數(shù)與樣本空間包含的基本事件數(shù)的比

值就是所求事件的概率.

10.AABC中，內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為b,c.已知。=〃cosC+csinb,

且匕二C，則AABC面積的最大值是.

【答案】比土！

2

【分析】

由正弦定理將已知a=AosC+csinB化簡可得角B,再由余弦定理和基本不等式得ac

的最大值，即可得到面積的最大值.

【詳解】

由a=Zx2sC+csiiiB及正弦定理得，

sinA=siaBcosC+sinCsinB，即sin(8+C)=sinBcosC+sinCsinB.

又sin(3+C)=sinjBcosC+cos3sinC,于是可得sinB=cos3，

即tariB=1,B=45.

在AABC中，由余弦定理得2accos45=2,即"+,2—④碇=2，

又因為/+/>2ac，2=a~+c2-\[2acN（2-）ac,

2

由此可得ac<2五=2+夜，當且僅當〃=c時等號成立,

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AABC面積S=gacsinB=^^(2+=V2+1

2

故AABC面積S最大值為迫土L

2

…山、，x/2+1

故答案為^----

2

【點睛】

本題考查正弦定理，余弦定理和：角形面積公式的應用，考查利用基本不等式求最值問

題，屬了?？碱}型.

19

11.已知x,ye(0,+8),且一+—=1,那么x+N的最小值是_____.

xy

【答案】16.

【分析】

(19、

x+y=(x+y)\-+-,展開后，利用基本不等式求最小值.

5yj

【詳解】

0IOrV1—

x+y=(x+y)-+-=10+—+->10+279=16

yjyx

9xy

當——=」,x>0,y>0

yX

即3x=y時等號成立，

%+y的最小值是i6.

故答案為：16

【點睛】

本題考查基本不等式求最值，意在考查利用1對原式進行變形求最值，屬于基礎題型.

JT\

12.在極坐標系中，圓/?=2sin。被直線0sin（6+§）=5截得的弦長為.

【答案】2

【分析】

把圓和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，由直線與圓的位置關系確定求解方法.

【詳解】

圓夕=2sin。的直角坐標方程是抬+丁一2y=o,即丁+（廣）芻，圓心為C（O,1）,

半徑為r=l.

psin（e+g）=：化為Lpsine+@/?cos6=L，即，y+且x=L,直線的直角坐

32222222

標方程為后+），-1=（）,顯然這條直線經(jīng)過圓心C，所以被截得的弦長為2r=2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查極坐標方程化為直角坐標方程，考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題.

二、單選題（本題共4小題，每題5分，共20分）

13.若a,bwR,且a匕＞0,則“a=匕”是22等號成立”的（）.

ab

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【分析】

根據(jù)基本不等式取最值的條件判斷.

【詳解】

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8

在a匕>0時，-+->2J-x-=2,等號成立時2==,即a=0.

ab\abab

當a=b時，—+-7=2.

ab

因此“a=h”是'也+022等號成立”的充要條件.

ab

故選：A.

【點睛】

本題考查充分必要條件的判定.一般即要證明充分性，又要證明必要性.

14.在銳角ABC中，B=60°,\AB-AC\^2,則AAAC的取值范圍為()

A.(O42)B._*2)C.(0,4]D.(0,2]

【答案】A

【解析】

【分析】

以B為原點，BA所在直線為x軸建立坐標系，得到C的坐標，找出三角形為銳角三角

形的A的位置，得到所求范圍.

【詳解】

解：以B為原點，B4所在直線為x軸建立坐標系，

B=60°,|AB-AC|=|BC|=2,

:?CQ，6),設A(X,O)

,/ABC是銳角三角形，.??A+C=120°,???30°VAV900,

即A在如圖的線段上(不與。，E重合)，...IVE,

則AB?AC=d—x=(x-‘)2一_L,AB.4c的范圍為(0,12).

24

故選：A.

【點睛】

本題考查數(shù)量積的應用，根據(jù)向量數(shù)量積的模長公式，利用解析法建立坐標系，利用坐

標法求數(shù)量積范圍是解決本題的關鍵.綜合性較強，有一定的難度.

廠+sinxx20

15.己知函數(shù)/(x)={2/、一八(ae[0,2萬))是奇函數(shù)，則a=()

-x+cos(x+a)x<0L'

A.0B.—C.萬D.—

22

【答案】D

【分析】

根據(jù)當xN0的表達式與奇函數(shù)性質(zhì)求解當x<0時的表達式，再對照表達式根據(jù)正余弦

的奇偶性求解即可.

【詳解】

由題意可知商數(shù)/(X)是奇函數(shù)，即/1(rH/abO,不妨設x<0,則f>0.

則有：/(x)=—x2+cos(x+cz),/(—x)=x2—sinx

那么：?-f+cosa+G+V-sinxu。,解得：a=-^-+2k7T(keZ)

,/aG[0,2萬)a=弓

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故選：D.

【點睛】

本題主要考查了正余弦函數(shù)的奇偶性，屬于中等題型.

16.方程H2+4）2=4上表示焦點在x軸的橢圓，則實數(shù)人的取值范圍是（）

A.%＞4B.k=4C.k＜4D.0（左＜4

【答案】D

【分析】

直接利用橢圓的標準方程列出不等式不等式求解即可.

【詳解】

22

方程62+4丁=44表示焦點在X軸的橢圓，即方程工+二=1表示焦點在X軸的橢

-4k

圓，可得4＞女＞0.故選：D.

【點睛】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，是基礎題.

三、解答題（本題共5小題，共14+14+14+16+18=76分）

2cos—，-sin（A+B））,

17.己知在ABC中，角A,8,C的對邊為。功，。向量"?=

cosg,2sin（A+B））N）j_

n=n-

（1）求角C的大小.

⑵若a2=〃，求sin（A-B）的值.

【答案】（1）。=60。（2"吊（4一6）=?

【分析】

(1)先根據(jù)兩向量互相垂直等價于二者的數(shù)量積等于0,可得到關于cosC的方程，求解,

即可得出結(jié)果；

(2)先表示出sin(A-B)的表達式，再由正弦和余弦定理將角的關系轉(zhuǎn)化為邊的關系后,

代入即得出結(jié)果.

【詳解】

2c

解：(1)由m-n=0得2cos~——2sirr(A+3)=。，

即1+COSC-2(1-COS2C)=0：整理得2cos2C+cosC-l=0，

解得cosC=-1(舍)或cosC=—

2

因為0＜。＜乃,所以C=60。：

(2)因為sin(A-8)=sinAcosB-sinBcosA,

山正弦定理和余弦定理可得

sinA=g,sinB，.cos人七—h2+c2-a2

,cosA

2R2Rlac2bc

代入上式得sin（A_6）=￡.6±C2一"—心■."+1二"=2（，2一”）,

'72Rlac2R2bc4c/?

又因為?！?異

故sin（A_6）=——=-^―=—sinC=-

,J4cR4R24

73

所以sin(A—8)

4

【點睛】

本題主要考查正弦定理與余弦定理解三角形，以及向量垂直的坐標表示，熟記正弦定理

與余弦定理，以及向量垂直的坐標表示即可，屬于?？碱}型.

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在三棱錐中，

1lfoi.S—ABCSA±AB,SA±AC,AC±BC

且AC=2,8C=VT5,S8=V^.

s

AB

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.14

(I)求證：SCA.BC-,

（ID求三棱錐的體積匕-vc-

【答案】（I）證明過程詳見試題解析；（H）芭9.

3

【解析】

試題分析：（I）由線線垂直得到線面垂直，再根據(jù)直線所在的平面得到線線垂直；（II）

根據(jù)三棱錐的體枳公式匕求之.

試題解析：（I）證明：因為NSAB=NS4C=90°JVHXS4_LA8,S4_LAC.

又因為A6cAC=A，所以SA±平面ABC,所以SAA.BC.

又NAC8=90°.所以ACd.6C.所以8C_L平面SAC故SCJ_BC.

（II）在A4BC中，NACB=90°,AC=2,8C=舊,所以=

乂在△5鉆中，=J萬,SB=回，所以SA=2j5.

又因為S4_L平面ABC.所以VS_ABC=；x|；x2xj將）x26=2誓.

考點：（I）線面垂直的性質(zhì)定理；（II）三棱錐的體積公式.

19.如圖所示，A、3是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，8在4的正東方向16千米處，AB的南面

為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾,政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P.垃

圾發(fā)電廠尸的選址擬滿足以下兩個要求（A、B、尸可看成三個點）：①垃圾發(fā)電廠到

兩個垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)

電廠應盡量遠離居民區(qū)（這里參考的指標是點P到直線A3的距離要盡可能大）.現(xiàn)估

測得A、5兩個中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為30噸和50噸.設|削=5%>0.

(1)求COS/B43(用工的表達式表示)；

(2)垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時滿足上述要求？

【答案】⑴COS/PAB=\+2；⑵選址應滿足|P4|=5南千米，歸邳=3扃

千米.

【分析】

(1)由條件可得|PA|=5x,|P@=3x,運用余弦定理，即可得到cosNPAS；

(2)由同角的平方關系可得sinZPAB,求得點P到直線AB的距離

/2=|R4|sinZR43,化簡整理配方，由二次函數(shù)的最值的求法，即可得到所求最大值

及|朗、|P8|的值.

【詳解】

得囹-505

(1)由條件①,|以|=5工，.?.|P5|=3x,

''附-30--3

（5x）2+162-（3x）28

則cosZPAB=-------=—+—：

2x16x5%105x

（2）sinNPAB=y/l-cos2ZPAB=

所以點P到直線A8的距離

x8

cosZ.PAB<1,/.—i---W1,2<x<8,

105x

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16

所以當爐=34,即彳=取時，人取得最大值15千米，

即選址應滿足|~4卜5南「米，|PB|=3后「米.

【點睛】

本題考查解三角形的數(shù)學模型的解法，注意運用余弦定理和同角的平方關系和二次函數(shù)

的最值的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題.

20.設三個數(shù)｛(x—lp+V,2,J(x+iy+>2成等差數(shù)列,其中(x,y)對應點的曲

線方程是C.

(1)求C的標準方程；

(2)直線4：x-y+，”=0與曲線c相交于不同兩點M,N,且滿足NMON為鈍角，其

中。為直角坐標原點，求出〃2的取值范圍.

【答案】(1)工+*=1(2)-名叵(根<2叵且mHO

4377

【分析】

(1)利用等差數(shù)列列出方程轉(zhuǎn)化為橢圓的定義，求解方程即可.

X—y+m=0

(2)聯(lián)立方程組《爐2消去兒通過』>0,求出加2<7,設“(再，x),N(%2,

—+—=1

[43

丫2)利用韋達定理.利用向量的數(shù)量積相遇0,求解加的范圍即可.

【詳解】

解：(1)、依題意：J(x-1)2+y2+J(x+1)2+y2=4

所以點P(x,y)對應的曲線方程C是橢圓

2a=4，:.a=2,c=1a=2,c=1=\/~

22

C的標準方程上+匕=1

43

（2）、聯(lián)立方程組y2,且mA。

143

消去>，得7/+8〃優(yōu)+4〃，-12=0，

A=64，/-28(4，7-12)=336-48w2>Q濘<7,且加。0

設％),N(X2,%)得=4〃7~；12.計算%必=3可；12

由NMON為鈍角，則OMONvO，玉々+丁1%<。，

4m2-123m2-12八，24

----------+-----------<0,所以加一<一

777

???m的取值范圍一2座<m<2匝且加。0

77

【點睛】

本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的綜合應用，向量的綜合應用，考查分析問題的

能力，轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

21.若數(shù)列｛4｝對任意的〃GN*,都有4+1=可（％H0），且a,N0，則稱數(shù)列｛A,｝

為‘％級創(chuàng)新數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列｛an｝滿足=2a；+2an且4=g，試判斷數(shù)列｛24+1｝是否為“2級

創(chuàng)新數(shù)列“，并說明理由；

（2）已知正數(shù)數(shù)列數(shù)“｝為Z級創(chuàng)新數(shù)列”且％H1,若優(yōu)=10,求數(shù)列｛b,,｝的前n項積

（3）設a,夕是方程/_兀一1=0的兩個實根（a>0,令左=2,在（2）的條件

a

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18

下，記數(shù)列｛，｝的通項c.=〃i/og〃7；,求證:g+2

,n+i+c“，〃eN".

【答案】(1)數(shù)列｛2a,,+1｝是“2級創(chuàng)新數(shù)列”，見解析(2)工=io工r(3)見解析

【分析