《現(xiàn)代控制理論》第3版(劉豹)課后習(xí)題答案

《現(xiàn)代控制理論參考答案》

第一章答案

1-1試求圖1-27系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。

圖1-27系統(tǒng)方塊結(jié)構(gòu)圖

解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

圖L30雙輸入..雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

4=%

*

=一&元3+K、X6

令9(s)=y,則y=再

所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為

010000

0

X100Kb000

120

人2

*1K,

000

7T

今4+o漢

001000

匕0

X

00-K[005&

x5

K、K、X,

0000L6」_Kp

4KK

pp」

y=[l00000：

X4

%

_^6_

1-2有電路如圖1-28所示。以電壓“(f)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2

上的電壓作為輸出量的輸出方程。

L1L2

—H->-—

C

+-T-Uc

UR2

圖1-28電路圖

解:由圖,令%=再，，2=%2，"c=尤3，輸出量丁=尺2%2

?R,11

X,=-------X,------H---------U

3

LLtL,

/?1%14-L)Xj+

x3=u

既得

有電路原理可知：L2X2+R2X2=X3

X]

=x2+Cx3

y=Rm

寫成矢量矩陣形式為:

1

R\01

A

14

o%+0w

L2L2

i10

0

cc

y=[oR2°.苫2

1-4兩輸入％,%，兩輸出外，為的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。

圖1-30雙輸入-雙輸出系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示:

10

~ai0

00

~a4

y=[io10

s-10O-

aS+Q]0

（5/—A）=2?6

-10s-1

0?5?4?3_

-10000

a2s+%0?6仇0

-10-100

0%430當(dāng)

-1000o

a6+。1046仇o

W“、,(S)=C(S/—A)TB=[1010：2

-10s-100

0?5?4

。3L°匕2

1-5系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述

(2)y+5y+7y+3y=u+3?+2M

列寫其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。

解：令X]=y,x2—y,x3—y,則有

相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下:

1-6(2)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)W(s)=—空土?「?，試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

S(S+2)(S+3)2

101

6(5+1)-4T34

解：卬⑸，―o-------1------

s(s+2)(s+3)~(s+3)~5+3s+2

o

o

-2

0

io2

y-43

T3

1-7給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式

陽

y=[001]x2

,X3.

(1)畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖

(2)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

解：

-5-10

(2)W(s)=(s"A)=25+30

1—1s+3

\sl-A|=S(S+3)2+2(s+3)=(s+3)(5+2)(.y+1)

(5+3)2s+30

1

-2(5+3)s(s+3)0

(5+3)(5+2)(5+1)

-5-5s-1(5+1)(5+2)

(s+3)2s+300

1

叱“(s)=(s/—A)TB-2(5+3)s(s+3)01

(s+3)(5+2)(5+1)

-5-55-1(s+1)(5+2)2

(s+3)

1

s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(2s+l)(s+3)

(s+3)

1

W“V(S)=C(S/_A)TB=[O01s(s+3)

(5+3)(5+2)(5+1)

(2s+l)(s+3)

(2s+1)

(s+2)(5+1)

1-8求下列矩陣的特征矢量

010

(3)A=302

-12-7-6

2-10

解：A的特征方程|2/-A|=-32-2=23+622+lU+6=0

1274+6

解之得：4=一1，4=一2,4=—3

010Pi.Pi.

當(dāng)4=—1時(shí)，302“21P2I

-12-7-6P3IP3I

解得：P2i=P31~P\\令Pu=1得

(或令Pll=-1.

0I

當(dāng)4=—2時(shí),30

-12-7

P\22

1

P?=

解得：022=一2化2，。32-P\2令Pi2=2得〃22-4

〃321

P121

（或令02=1，得gP22-2)

2

P32

.2.

010P13Pl3

當(dāng)4=—3時(shí),302。23=—3P23

-12-7-6一〃33._〃33_

解得：P23=-3億3，。33=3P13令P13=1

1-9將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）

1

(2)

120

>2011

2-4-12

解：A的特征方程W-A|=-12-2=(2-1)(2-3)2=0

-112-3

4.2=3,4=1

41-2AiP\x

當(dāng)4=3時(shí)，102P21=3P21

1-13__p3l__P31_

解之得。21=。31=81令Pll=l得

41

當(dāng)4=3時(shí)，10

1-1

解之得P|2=022+1，022=P32令P12=1得

4

當(dāng)4=1時(shí)，1

1

P130

解之得P13=°，。23=2233令P33=1得P3=。23=2

_“33_1

0-12

T-'=11-2

01-1

10

12314

CT=02

01203

01

約旦標(biāo)準(zhǔn)型

1-10已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為WI(s)和W?(s)

匕（s）5+15+2町s)s+35+4

5+11

00

s+2__5+1

試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果

解（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)

W(s)

（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)

1111

卬(s)=W](s)土川(s)5+1s+2+s+35+4

S+11

00

7+2s+1

1-11（第3版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng),其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

11

10

W](s)=S+1W(s)

1201

0

54-2

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

1]_12

10

叱（S）%G）S+1s+1

1011

00

s+2s+2

1s+2]_

10

I+W(s)W(5)=/+5+1S54-1S

.101s+3

00

54-2s+2

[/+%($)卬2。)『

s+311

S+1s+2s+1

W(s)=[l+Wt⑸叼⑶]T嗎⑸

s+3s+2i

0

7+Tj_5+2

S+311S+1

5+1(s+2)(5+1)ss+25(5+3)

s+311

00

7+is+3

1-11（第2版教材）已知如圖1-22所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為

11

7+TS10

101

2

,s+2_

求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

解：

111

7+i107+i

1011

22

s+2_s+2_

15+21

5+110S+1

I+Wi(s)Wi(s)=

101s+3

22

s+2s+2

s+31

[/+w八孫⑸『=黑羽s+2

s+2

-2

s+1

s+3111

s+2Ss+2

s+21

-2

s+1s+2

s+325+31

-+7--------------1--------------

s(s+l)(s+2)s(s+2)s(s+2)

s-+5s+222(5+2)21

-----------4-——4--------

_s+2S+1S5+1

(s+1)2(35+8)5+1

(s+2)2(s~+5s+2)s~+5s+2

53+652+6ss+2

(s+2)(r+5s+2)s~+5s+2

1-12已知差分方程為

y(k+2)+3y(k+1)+2y(k)=2H(k+1)+3u(k)

試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b（即控制列陣）為

1

(1)b

1

解法1：

2z+311

W(z)=—X---------------------------------1-------------

z?+3z+2z+1z+2

-101

x(k+1)x(k)+]〃(%)

0-2

刈）=[1*（左）

解法2：

x](k+1)=x2(k)

x2(k+1)=-2x1(k)-3x2(k)+u

y(k)=3X](Z)+2x2(k)

010

x(Z+l)=x(Z)+u(k)

—2—31

y⑹=[32k(女)

求T,使得T"=1得廣=11所以1-1

10101

CT=[32[oJ=[3-1]

所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為

--401「11

z(&+D=z(k)+u(k)

-5-11

y(Z)=[3-小出

第二章習(xí)題答案

2-4用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)e"。

解：第一種方法:令即-止0

A-1

則=0，即(丸_1)2_4=0。

-4

求解得到4=3，4=一1

P1I

當(dāng)4=3時(shí)，特征矢量Pl

P21

3Pu

由Ap]=4Pi，得PH

P213P21

即[P“+P「3pu,可令.Ji

4P||+P2|=3P2|L2

Pl2

當(dāng)4=-1時(shí)，特征矢量P2

。22

1

由Ap2=4〃2，得

%+P22=-化21

即《，可令P2

4P|2+。22=一。22

1124

則T,T-1

2-2

,2~4

11

,3/-e3'+-e-'-e3,~

110242244

2-20]_]_

含+e~'

,2~4.22

第二種方法,即拉氏反變換法:

s/—A=

-45—1

15-11

(5-3)(5+1)_45-1

5-11

(s-3)(s+l)(s-3)(s+l)

45-1

(s—3)(s+l)(s-3)(s+l)

1L+」111

2\5-3s+111口+77T

11111

s—35+12k5-35+1

1,11,1

—e3+—e—3e——e

2244

e3'—e'—e3'+—e

22

第三種方法，即凱萊-哈密頓定理

由第一種方法可知4=3,4=—1

313

3

,31e'+—e

。。_1444

1,3?

444

13,11,3z1

e+eee

2244

eAl

H；5+2[:I3f-t

e—e

22

2-5下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對應(yīng)的A陣。

4-e-'+e

2e-2'-2e-'4、

(3)①(。=(4)①(，)=

2e-2'-e-'

10

解(3)因?yàn)棰?O)==I,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

0

2

-2e"+2e-'小功+2e-'0-2

-e~'+2e"2'-4e-2'+e''

10

(4)因?yàn)橐?O)=1,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件

01

1T33/1

—e+—e-e-'+-e3'

2244-11

A川人。

-t,33/41

e~l+3/eH—e

2J

~2/=0

2-6求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解:

010

x+u

01

y=(l,0)x

初始狀態(tài)x(0),輸入“(f)時(shí)單位階躍函數(shù)。

1

01

解：A

00

s

si-A-

0

J_

1s-1v2

(?MW

s20s

0

s

1t

①Q(mào))=eA'=Z/[(…尸

01

0，、,、

因?yàn)锽=T,“(，)=/(，)

x(f)=①(f)x(O)+[①(f

~t+ll-t2

+2

12,

-t+f+1

=2

t+1

y=[lO]x=^r2+r+l

2-9有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T=O.ls和1s,而鈾和I4為分段常數(shù)。

U2

圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖

U2

u,

—恒"<]~~一這產(chǎn)*QF+噂y—>

+

A2

列出狀態(tài)方程

%=ku?—西

*2=玉一?2

y=x2+2玉

-101k0-1W]

x=x+

100—1%

尸[2甘

.2.

則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(k+l)^G(T)x(k)+/J(T)u(k)

y㈤=cx(k^+Du[lc)

由G(T)=*和”(T)=f*力6得:

-10k02

A=B=CT

100-11

?！~:二i

T

"fl'e~lo-'ko-\-e-To-~k0k(l-e-)0

H=eAldt=dt=

lil-e'T10-1J-\+e-TT0一1k(T-l+e-T)-T

~lok(l—e[0,、

當(dāng)T=1時(shí)x(&+l)=ex(k)+I'u(k]

1-e~}1Jke-'-1

y(k+l)=[2

fe-oiolF41—e"」)0-

當(dāng)T=0.1時(shí)x(A+l)=,x(k]+'7u(k]

I>1]3V」-0.9).0.1「

y住+1)=[2l]x(A)

第三章習(xí)題

3-1判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取

值條件如何？

(1)系統(tǒng)如圖3.16所示：

圖3.16系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖

解：由圖可得:

$=-axx+u

x2=-hx2

x3=-cx3+x2+x1=xl+x2-cx3

x4=x3-dx4

y=x3

狀態(tài)空間表達(dá)式為:

*

00

?-a

X0-b0

?

X11-c

、

?

—X001

一

y=[o01Ojx

由于々、七、與“無關(guān),因而狀態(tài)不能完全能控,為不能控系統(tǒng)。由于y只與與有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全

能觀的，為不能觀系統(tǒng)。

(3)系統(tǒng)如下式:

-11

x20-1

00

c0d

yX

000

解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示,A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行

元素不能為0，故有awO/wO。

要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有CH0,4H0。

3-2時(shí)不變系統(tǒng)

-311

X=X+u

1-311

1

y=X

試用兩種方法判別其能控性和能觀性O(shè)

解：方法一:

-311111

A=,B,C=

-3111-1

111-2-2

M=[BAB]=]

-2-2

rankM=1<2,系統(tǒng)不能控。

11

C1-1

N=

CA-2-2

-44

rankN=2,系統(tǒng)能觀。

方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。

?[2+3—1/

|R-A|=_]義+3=（4+3）--1=0

4=—2,4=—4

則狀態(tài)矢量：A,P,=/L,P,=>P,=；

丁

A,P,=42P2=>P2=

T」B中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。CT中沒有全為0的列，系統(tǒng)可觀。

3-3確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)名和四

解：構(gòu)造能控陣：

rTFla,+1

M=\hAb]='

a2

要使系統(tǒng)完全能控，則+1H%，即。|-。2+1*0

構(gòu)造能觀陣：

「C]「1-11

N==

CAJ[%l-a2

要使系統(tǒng)完全能觀，則即%-。2+170

3-4設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是

y（s）_s+a

而一$3+10/+27s+18

（1）當(dāng)a取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？

（2）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。

（3）當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。

“⑶喘=（s+i）（：：；）（s+6）

解：（1）方法1

系統(tǒng)能控且能觀的條件為W（s）沒有零極點(diǎn)對消。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

方法2：

3-1a—33-6

yG)=s+a=J0__611F

u(s)G+l)(s+3)(s+6)s+15+3s+6

系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)a=l,或a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。

（2）當(dāng)a=1,a=3或a=6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型

01

x=00

-18-27

y=[a10]x

(3)根據(jù)對偶原理,當(dāng)a=l,a=2或a=4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)H型為

00-18a

x=10-27x+1u

01-100

y=[00l]x

3-6已知系統(tǒng)的微分方程為：y+6y+lly+6y=6〃

試寫出其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。

解：a0=6,a1=1La2=6,a3=3,%=6

系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

01

x=00

-6-11

y=[600]

傳遞函數(shù)為

s-1

W(s)=C(sI-A)[8=[6000s

611

其對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

0o

x=1o

0i

y=[oo

6

傳遞函數(shù)為W(s)

53-652—115+6

3-9已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

s~+6s+8

W(s)^

s?+45+3

試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

5-+6s+82s+5

解:W(5)=-.........=1+f--------

1r+4s+35-+45+3

系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為

-01I「0一

X-X+U

-3-4J_

y=[52]x+u

能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為

0-3-5

X=X+U

1-42

y=[Ol]x+u

3?10給定卜列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

0

X=-2

-1

y[0

01

解：A-2-3[001]

-11

01-3

M=\bAbA2b]1-27

2-511

rankM=2<3,系統(tǒng)為不能控系統(tǒng)，不能變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型。

01

-1-3

-79

rankN=3,系統(tǒng)為能觀系統(tǒng)，可以變換為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

3-11試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解

12

(1)A011]

0-4

解:

0-1-4

2

M=\bAbAb]000rankM=2<3,系統(tǒng)不是完全能控的。

139

0-1，，…是任意的,只要…滿秩。

構(gòu)造奇異變換陣R：b=Ab0,R3

3

0-10301

即《得RT

001c-100

130010

0-32

A=R；'AR14-2h=R：'b=c=cR=[12-1]

eJe

001

3-12試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

12

(1)A01-11]

0-4

解：由已知得A=,C=[1-11]

C1-11

則有NCA2-32

CA24-74

rankN=2<3,該系統(tǒng)不能觀

1-11

構(gòu)造非奇異變換矩陣時(shí)。有R；2-32

001

3-1-1

則&2-10

001

i=R^'ARax+R-'bu

y=C/?oi=[l00]x

3-13試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解

(1)=[112]

111

解：由已知得“=[人AbAb2']21226

20-2

所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)

1

取&=2

2

0

則彳=11323]

0

3-14求下列