等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（七大題型）（原卷版）

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【題型歸納目錄】題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語(yǔ)言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：； ③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語(yǔ)言：，．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：（3）可乘方性：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。伲虎?；③．作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小．①；②；③．中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．【典型例題】題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系例1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某高速公路要求行駛的車輛的速度的最大值為，同一車道上的車間距不得小于，用不等式表示為（

）A．且 B．或C． D．例2．（2023·湖北黃岡·高一?？计谥校╄F路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)．設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為（單位：），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示為（

）．A． B．C． D．例3．（2023·高一單元測(cè)試）如圖，在一塊長(zhǎng)為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）我國(guó)經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢576，買竹子78根，擬分大?小兩種竹子為單位進(jìn)行計(jì)算，每根大竹子比小竹子貴1錢，問買大?小竹子各多少根？每根竹子單價(jià)各是多少錢？則在這個(gè)問題中大竹子每根的單價(jià)可能為（

）A．6錢 B．7錢 C．8錢 D．9錢變式2．（2023·安徽滁州·高一?？茧A段練習(xí)）某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票，票面8角的每套5張，票面2元的每套4張，如果每種郵票至少買兩套，那么買票面8角的x套與票面2元的y套用不等式表示為（

）A． B．C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小例4．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．例6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．不能確定變式3．（2023·湖北十堰·高一?？计谥校┮阎瑒t（

）A． B．C． D．變式4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知a為實(shí)數(shù)，，，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，則必有（

）A． B．且C． D．且變式6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，為不全相等的實(shí)數(shù)，，，那么與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟題型三：作商法比較兩數(shù)（式）的大小例7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定例8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，則（

）．A． B． C． D．例9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，則、、、中最小的是.變式7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)），則的大小關(guān)系為．變式8．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果，，那么，，從小到大的順序是【方法技巧與總結(jié)】作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．題型四：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假例10．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．例11．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列是假命題的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，且，則例12．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則變式9．（多選題）（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知∈R，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式10．（多選題）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，滿足，，那么下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．變式11．（多選題）（2023·湖南岳陽(yáng)·高一湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)?？计谀┫铝胁坏仁匠闪⒌氖牵?/p>

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則變式12．（多選題）（2023·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是不為0的實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．題型五：利用不等式的性質(zhì)證明不等式例13．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，則.(1)若存在常數(shù)，使得不等式對(duì)任意正數(shù)，恒成立，試求常數(shù)的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.例14．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求證：≤；（2）已知c>a>b>0，求證：例15．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若，，，求證：變式13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知三個(gè)不等式：①；②；③.若以其中兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，請(qǐng)寫出一個(gè)真命題，并寫出推理過(guò)程.變式14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）（1）設(shè)，，證明：；（2）設(shè)，，，證明：.變式15．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，求證：．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說(shuō)明（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有ab>0?a>b；ab=0?a=b；ab<0?a<b．這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用．題型六：利用不等式的性質(zhì)比較大小例16．（2023·河北邯鄲·高一校考階段練習(xí)）已知，則與的大小關(guān)系為.例17．（2023·江蘇連云港·高一?？计谥校┮阎铝忻}中正確的是(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)①若，則

②若，則;③若，則;

④若，則.例18．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知，則的值0（選填“>，<，≥，≤”）．變式16．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系．變式17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，，則x，y的大小關(guān)系是．變式18．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若．則P，Q的大小關(guān)系（用“”，“”，“”連接兩者的大小關(guān)系）變式19．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）給出以下四個(gè)命題：①；②；③；④．其中真命題的序號(hào)是．變式20．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如果，那么與中較大的是.【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則題型七：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍例19．（2023·江蘇連云港·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，則的范圍是.例20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，則下列代數(shù)式的范圍錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．例21．（2023·河北滄州·高一任丘市第一中學(xué)?？计谥校┤?<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范圍是（

）A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4變式21．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.變式22．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍．【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來(lái)直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·江西·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）已知且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．2．（2023·天津和平·高三天津一中校考開學(xué)考試）已知a是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論不正確的有（

）個(gè)①若，則

②若，則③若，，則

④若，則A．1 B．2 C．3 D．44．（2023·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若，則下列命題正確的是（）A．若且，則B．若，則C．若，則D．若且，則5．（2023·江蘇常州·高一江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某花店搞活動(dòng)，支玫瑰與支康乃馨價(jià)格之和大于元，而支玫瑰與支康乃馨價(jià)格之和小于元，那么支玫瑰與支康乃馨的價(jià)格比較的結(jié)果是（

）A．支玫瑰便宜 B．支康乃馨便宜 C．價(jià)格相同 D．不能確定6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，記，則M與N的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．不確定7．（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足，若，則u的最大值與最小值之和為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則y的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果，那么下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）[多選]下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．（2023·云南大理·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則12．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2023·上海青浦·高一校考階段練習(xí)）已知，，且，記，，，則按從小到大的順序排列是.14．（2023·上海普陀·高一上海市晉元高級(jí)中學(xué)?？计谥校┙o出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對(duì)于正數(shù)，若，則.其中真命題的序號(hào)是.15．（2023·北京海淀·高一清華附中?？计谀┮阎硎荆?，…，這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).能夠說(shuō)明“，，c，，”是假命題的一組整數(shù)，，，的值依次為.16．（2023·北京·高一校考階段