專題28一元一次方程應(yīng)用之方案選擇問題（含解析）

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專題28一元一次方程應(yīng)用之方案選擇問題

1．為了防治“新型冠狀病毒”，某中學(xué)擬向廠家購買消毒劑和紅外線測溫槍，積極做好師生的測溫和教室消毒工作．

（1）若按原價購買一瓶消毒劑和一支紅外線測溫槍共需要400元，已知一支測溫槍的價格比一瓶消毒劑的價格的6倍還貴15元，求每瓶消毒劑和每支測溫槍的價格．

（2）由于采購量大，廠家推出兩種購買方案（如下表）：

購買方案紅外線測溫槍消毒劑優(yōu)惠

A9折8.5折每購100瓶消毒劑送1支測溫槍

B8折8.5折無

若學(xué)校有18個班級，計劃每班配置1支紅外線測溫槍和20瓶消毒劑，則學(xué)校選擇哪種購買方案的總費用更低

2．為了保護環(huán)境，某市公交公司決定購買一批共10臺全新的混合動力公交車，現(xiàn)有兩種型號，其中每臺的價格，年省油量如下表：

價格（萬元/臺）

節(jié)省的油量（萬升/年）2.42

經(jīng)調(diào)查，購買一臺型車比購買一臺型車多20萬元，購買2臺型車比購買3臺型車少60萬元．

（1）請求出和；

（2）若購買這批混合動力公交車每年能節(jié)省22.4萬升汽油，求購買這批混合動力公交車需要多少萬元

3．利用一元一次方程解應(yīng)用題：下表中有兩種移動電話計費方式：月使用費固定收：主叫不超過限定時間不再收費，主叫超時部分加收超時費；被叫免費．

月使用要（元）主叫限定時間/主叫超時費（元/）被叫

方式一651600.20免費

方式二1003800.25免費

（1）若童威某月主叫通話時間為200分鐘，則他按方式一計費需________元，按方式二計費需_______元；若他按方式二計費需107元，則主叫通話時間為______分鐘．

（2）是否存在某主叫通話時間t（分鐘），按方式一和方式二的計費相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（3）直接寫出當月主叫通話時間t（分鐘）滿足什么條件時，選擇方式一省錢；當每月主叫通話時間t（分鐘）滿足什么條件時，選擇方式二省錢．

4．七八年級共有92名學(xué)生參加元旦表演（其中七年級人數(shù)多于八年級人數(shù)），且七年級人數(shù)不到90名，下面是某服裝店給出的演出服裝的價格表：

購買服裝的套數(shù)1~45套46~90套91套及以上

每套服裝的價格60元50元40元

如果兩個年級分別單獨購買服裝，一共應(yīng)付5000元．

（1）若七八年級聯(lián)合購買服裝，則比各自購買服裝共可以節(jié)省多少元？

（2）七八年級各有多少名學(xué)生參加演出？（列方程求解）

（3）如果七年級有10名學(xué)生因故不能參加演出，請你為這兩個年級設(shè)計一種最省錢的購買服裝方案．

5．小商品批發(fā)市場內(nèi)，某商品的價格按如下優(yōu)惠：購買不超過300件時，每件3元；超過300件但不超過500件時，每件2.5元；超過500件時，每件2元．某客戶欲采購這種小商品700件．

（1）現(xiàn)有兩種購買方案：①分兩次購買，第一次購買240件，第二次購買460件；②一次性購買700件．問哪種購買方案費用較??？省多少元？說明理由．

（2）若該客戶分兩次購買該商品共700件（第二次多于第一次），共付費1860元，則第一次、第二次分別購買該商品多少件？

6．為打造“水晶晶南潯”，實現(xiàn)河流“清如許”，南潯區(qū)設(shè)立若干河流排污治理點（每處需安裝相同長度的排污治理管道）．由甲、乙兩工程隊同時開工，一天甲隊3名工人去完成7個治理點管道鋪設(shè)，但還有90米管道未來得及完成，同時，乙隊4名工人完成7個治理點后，仍多鋪設(shè)了70米管道，每名甲工人比乙工人一天多鋪設(shè)40米管道．

（1）求每個排污治理點需鋪設(shè)的管道長度；

（2）已知每位甲工人每天需支付費用500元，每名乙工人每天需支付400元，我區(qū)共設(shè)立50個排污治理點，另有5940米的同樣的污水排放管道也需要安裝，現(xiàn)有甲隊3名工人，乙隊4名工人來安裝管道，現(xiàn)有三種方案，方案一：全部由甲隊安裝；方案二：全部由乙隊安裝；方案三：甲乙兩隊一起完成（不到一天按一天算），若要使總費用最少，應(yīng)選擇哪種方案？請通過計算說明．

7．小明家準備在網(wǎng)上購買一些茶壺和茶杯，在查閱天貓網(wǎng)店后，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩家網(wǎng)店都在出售兩種同樣品牌的茶壺和茶杯，定價相同；茶壺每把定價50元，茶杯每只定價10元，“雙十一”期間兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案：甲店買一送一大酬賓：（買一把茶壺贈送茶杯一只）；乙店全場9折優(yōu)惠（按實際價格的90%收費）．小明爸爸需茶壺5把，茶杯若干只（不少于5只）．

（1）用代數(shù)式表示（所填式子需化簡）：

當購買茶杯只時，在甲店購買需付款___________元；

在乙店購買需付款____________________________元．

（2）當需購買20只茶杯時

①到哪家網(wǎng)店購買比較合算？說出你的理由．

②你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方案，并求出此時需付款幾元？

（3）當購買茶杯多少只時，兩種優(yōu)惠方案付款一樣？

8．“十一”期間，小聰跟爸爸一起去A市旅游，出發(fā)前小聰從網(wǎng)上了解到A市出租車收費標準如下：

行程（千米）3千米以內(nèi)滿3千米但不超過8千米的部分8千米以上的部分

收費標準（元）10元2.4元/千米3元/千米

（1）若甲、乙兩地相距8千米，乘出租車從甲地到乙地需要付款多少元？

（2）小聰和爸爸從火車站乘出租車到旅館，下車時計費表顯示17.2元，請你幫小聰算一算從火車站到旅館的距離有多遠？

（3）小聰?shù)膵寢尦孙w機來到A市，小聰和爸爸從旅館乘出租車到機場去接媽媽，到達機場時計費表顯示70元，接完媽媽，立即沿原路返回旅館（接人時間忽略不計），請幫小聰算一下乘原車返回和換乘另外的出租車，哪種更便宜？

9．今年雙十一購物狂歡節(jié)（簡稱“雙11”）天貓商城推出各種優(yōu)惠活動．小楊準備在兩家天貓店鋪中選擇一家購買原價均為100元/個的保溫杯若干個．兩家店鋪優(yōu)惠活動如下：

甲店鋪：“雙11”當天購買享受8折優(yōu)惠．

乙店鋪：商品每滿100元可使用店鋪優(yōu)惠券7元，每滿50元可使用商城“雙11”購物津貼券5元，同時在“雙11”當天購買還可立減15元．

（例如：在乙店鋪購買2個保溫杯需支付（元）

（1）若小楊想在“雙11”當天購買3個保溫杯，請通過計算說明選擇哪家店鋪購買更實惠？

（2）“雙11”當天購買多少個保溫杯時，在甲、乙兩家店鋪所需支付的費用相同．

10．今年雙十一購物狂歡節(jié)（簡稱“雙11”）天貓商城推出各種優(yōu)惠活動，小楊準備在兩家天貓店鋪中選擇一家購買原價均為100元/個的保溫杯若干個．兩家店鋪優(yōu)惠活動如下：

（例如：在乙店鋪購買2個保溫杯需支付元）

（1）若小楊想在“雙11”當天購買3個保溫杯，請通過計算說明選擇哪家店鋪購買更實惠？

（2）“雙11”當天購買多少個保溫杯時，在甲、乙兩家店鋪所需支付的費用相同．

11．某校要組織七年級的師生去參觀科技館，與客運公司協(xié)商租車，如果單租45座客車若干輛，則剛好坐滿；如果單租55座的客車，可少租一輛，且余5個座位．

（1）求該校參觀科技館的師生總?cè)藬?shù)．

（2）已知45座客車的租金為每天725元，55座客的租金為每天850元，單獨租哪種客車省錢？

12．平價商場經(jīng)銷的甲，乙兩種商品，甲種商品每件售價98元，利潤率為40%；乙種商品每件進價80元，售價128元．

(1)求甲種商品每件的進價；（利潤率100%）

(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為3800元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？

(3)在“元旦”期間，該商場只對乙種商品進行如表的優(yōu)惠促銷活動：

打折前一次性購物總金額優(yōu)惠措施

少于等于480元不優(yōu)惠

超過480元，但不超過680元其中480元不打折，超過480元的部分給予6折優(yōu)惠

超過680元按購物總額給予7.5折優(yōu)惠

按表的優(yōu)惠條件，若小華一次性購買乙種商品實際付款576元，求小華在該商場購買乙種商品多少件？

13．每年“雙十一”購物活動，商家都會利用這個契機進行打折滿減的促銷活動．某商家平時的優(yōu)惠措施是按所有商品標價打七折:“雙十一”活動期間的優(yōu)惠措施是:購買的所有商品先按標價總和打七五折，再享受折后每滿元減元的優(yōu)惠.如標價為元的商品，折后為元，再減元，即實付:（元）．

（1）該商店標價總和為元的商品，在“雙十一”購買，最后實際支付只需多少元

（2）小明媽媽在這次活動中打算購買某件商品，打折滿減后，應(yīng)付金額是元，求該商品的標價．

（3）在（2）的條件下，若該商家出售的商品標價均為整數(shù)，小明通過計算后告訴媽媽:通過湊單（再購買少量商品）實際支付金額只需再多付元，就可獲得最大優(yōu)惠

14．當前在多措并舉、全力推進青少年校園足球熱烈氛圍中，某體育用品商店對甲、乙兩品牌足球開展促銷活動，已知甲、乙兩品牌足球的標價分別是：160元/個，60元/個，現(xiàn)有如下兩種優(yōu)惠方案：

方案一：不購買會員卡時，甲品牌足球享受8．5折優(yōu)惠，乙品牌足球買5個(含5個)以上時所有足球享受8．5折，5個以下必須按標價購買

方案二：辦理一張會員卡100元，會員卡只限本人使用，全部商品享受7．5折優(yōu)惠

（1）若購買甲品牌足球3個，乙品牌足球4個，哪一種方案更優(yōu)惠多優(yōu)惠多少元

（2）如果購買甲品牌足球若干個，乙品牌足球6個，方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多，求購買甲品牌的足球個數(shù).

15．某市兩超市在元旦節(jié)期間分別推出如下促銷方式：

甲超市：全場均按八八折優(yōu)惠；

乙超市：購物不超過200元，不給于優(yōu)惠；超過了200元而不超過500元一律打九折；超過500元時，其中的500元優(yōu)惠10%，超過500元的部分打八折；

已知兩家超市相同商品的標價都一樣．

（1）當一次性購物總額是400元時，甲、乙兩家超市實付款分別是多少？

（2）當購物總額是多少時，甲、乙兩家超市實付款相同？

（3）某顧客在乙超市購物實際付款482元，試問該顧客的選擇劃算嗎？試說明理由．

16．某公園出售的一次性使用門票，每張10元，為了吸引更多游客，新近推出購買“個人年票”的售票活動（從購買日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B兩類：

A類年票每張100元，持票者每次進入公園無需再購買門票；

B類年票每張50元，持票者進入公園時需再購買每次2元的門票．

(1)某游客中一年進入該公園共有n次，

如果不購買年票，則一年的費用為元；

如果購買A類年票，則一年的費用為元；

如果購買B類年票，則一年的費用為元；（用含n的代數(shù)式表示）

(2)假如某游客一年中進入該公園共有12次，選擇哪種購買方式比較優(yōu)惠？請通過計算說明理由．

(3)某游客一年中進入該公園n次，他選擇購買哪一類年票合算？請你幫助他決策，并說明你的理由．

參考答案：

1．（1）每瓶消毒劑55元，每支測溫槍345元；（2）學(xué)校選擇A種購買方案的總費用更低

【分析】（1）設(shè)每瓶消毒劑元，則每支測溫槍元，再根據(jù)按原價購買一瓶消毒劑和一支紅外線測溫槍共需要400元，列出方程求解即可；

（2）分別計算出A、B兩種方案需要的費用，然后進行比較即可．

【詳解】解：（1）設(shè)每瓶消毒劑元，則每支測溫槍元．

由題意，得，

解得，

則，

∴每瓶消毒劑55元，每支測溫槍345元．

（2）（瓶），

A種購買方案的費用：（元）；

B種購買方案的費用：（元），

∵，

∴學(xué)校選擇A種購買方案的總費用更低．

答：學(xué)校選擇A種購買方案的總費用更低．

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準確根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程．

2．（1）a=120，b=100；（2）1120萬元

【分析】（1）根據(jù)“購買一臺A型車比購買一臺B型車多20萬元，購買2臺A型車比購買3臺B型車少60萬元．”即可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)A型車購買x臺，則B型車購買（10-x）臺，根據(jù)總節(jié)油量=2.4×A型車購買的數(shù)量+2×B型車購買的數(shù)量即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x值，再根據(jù)總費用=120×A型車購買的數(shù)量+100×B型車購買的數(shù)量即可算出購買這批混合動力公交車的總費用．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：

解得：

（2）設(shè)A型車購買x臺，則B型車購買（10-x）臺

根據(jù)題意得：2.4x+2（10-x）=22.4

解得：x=6

∴10-x=4

∴120×6+100×4=1120（萬元）

答：購買這批混合動力公交車需要1120萬元．

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)A、B型車價格間的關(guān)系列出關(guān)于a、b的二元一次方程組；（2）根據(jù)總節(jié)油量=2.4×A型車購買的數(shù)量+2×B型車購買的數(shù)量列出關(guān)于x的一元一次方程．

3．（1）73，100，408；（2）存在，335分鐘或560分鐘；（3）若t＜335或t＞560，方式一省錢；若335＜t＜560，方式二省錢，t=335或t=560時，兩種方式費用相同.

【分析】（1）根據(jù)200＞160，結(jié)合方式一計費方式，列式計算即可求出童威某月主叫通話時間為200分鐘，則他按方式一計費費用，若他按方式二計費需107元，設(shè)主叫通話時間為x分鐘，結(jié)合方式二計費方式，列出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可，

（2）分別討論若160＜t≤380和t＞380，根據(jù)方式一和方式二的計費方式，列出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可，

（3）結(jié)合（2）的結(jié)果，結(jié)合方式一和方式二的計費方式，即可得到答案．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：若主叫通話時間為200分鐘，

∴按方式一計費需65+（200-160）×0.2=73（元），

按方式二計費需100元，

若他按方式二計費需107元，設(shè)主叫通話時間為x分鐘，

根據(jù)題意得：

100+（x-380）×0.25=107，

解得：x=408，

故答案為：73，100，408；

（2）若160＜t≤380，

根據(jù)題意得：

65+（t-160）×0.2=100，

解得：t=335，

若t＞380，

根據(jù)題意得：

65+（t-160）×0.2=100+（t-380）×0.25，

解得：t=560，

答：存在某主叫通話時間335分鐘或560分鐘，按方式一和方式二的計費相等，

（3）由題意可得：

若t＜335或t＞560，選擇方式一省錢，

若335＜t＜560，選擇方式二省錢,

若t=335或t=560時，兩種方式費用相同

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，列出一元一次方程，正確掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．

4．（1）1320元；（2）七年級參與表演有52人，八年級參與表演有40人；（3）最省錢的購買方案是兩校聯(lián)合購買91套服裝．

【分析】（1）根據(jù)表格及題意可得聯(lián)合購買應(yīng)付元，進而問題可求解；

（2）設(shè)七年級參與表演有人，則八年級參與表演有（）人，由題意得，，則有，然后求解即可；

（3）七年級有人參與表演，共人需購買服裝，則由題意可分①若兩個年級聯(lián)合購買服裝，②若兩個年級各自購買服裝，③若兩個年級聯(lián)合購買91套服裝，然后分別求解比較即可．

【詳解】解：（1）聯(lián)合購買應(yīng)付：（元），

∴（元），

答：可以節(jié)省1320元．

（2）設(shè)七年級參與表演有人，則八年級參與表演有（）人，其中：，，由題意得：

，

解得：，

則：（人），

答：七年級參與表演有52人，八年級參與表演有40人．

（3）七年級有10人不能參與表演，即七年級有人參與表演，共人需購買服裝：

①若兩個年級聯(lián)合購買服裝，則需要（元）

②若兩個年級各自購買服裝，則需要（元）

③若兩個年級聯(lián)合購買91套服裝，則需要（元）

綜上所述，最省錢的購買方案是兩校聯(lián)合購買91套服裝．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

5．（1）一次性購買省，省470元，見解析；（2）第一次購買商品220件，第二次購買商品480件

【分析】（1）依據(jù)費用計算方式，分別計算兩種方案的費用，比較即可；

（2）分當時，當時，當時，三種情況討論，列出方程求解即可．

【詳解】解：（1）（元），（元）

所以一次性購買省，省470元．

（2）設(shè)第一次購買商品件，則第二次購買商品件．

當時，，

解得：（不合，舍去）；

當時，，

解得：；

當時，，無解．

答：第一次購買商品220件，第二次購買商品480件．

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用．能讀懂題意，根據(jù)題中的費用計算方式，分情況討論是解題關(guān)鍵．

6．（1）每個排污治理點需鋪設(shè)管道150米；（2）方案二最省錢，見解析

【分析】（1）由題意，設(shè)每個排污治理點需鋪設(shè)管道x米，然后列出方程，解方程即可得到答案；

（2）先求出甲和乙每人每天的工作量，然后分別求出三種方案的費用，進行判斷即可．

【詳解】解：（1）設(shè)每個排污治理點需鋪設(shè)管道x米，

得：，

解得：；

答：每個排污治理點需鋪設(shè)管道150米．

（2）50個排污治理點和5940米的生活污水排放管道共計13440米，

甲工人每人每天米

乙工人每人每天米

方案一：元；

方案二：元；

方案三：，因不足一天按一天算，

所以取7天，

上式元．

∵192004250，

∴單獨租55座的客車省錢．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的實際應(yīng)用，找出等量關(guān)系，列出一元一次方程，是解題的關(guān)鍵．

12．(1)甲種商品每件的進價是70元

(2)該商場購進甲種商品20件，乙種商品30件

(3)小華在該商場購買乙種商品5或6件

【分析】（1）設(shè)甲種商品的進價為a元，根據(jù)題意即可得甲種商品每件進價；

（2）設(shè)該商場購進甲種商品x件，然后根據(jù)“同時購進甲、乙兩種商品共50件”表示出購進乙商品的件數(shù)；然后根據(jù)“恰好用去3800元”列方程求出未知數(shù)的值，即可得解；

（3）分類討論：小華一次性購買乙種商品超過480元，但不超過680元；超過680元，根據(jù)優(yōu)惠條件分別計算即可．

【詳解】（1）解：設(shè)甲種商品的進價為a元，則98－a=40%a，

解得：a=70．

答：甲種商品的進價為70元；

（2）解：設(shè)該商場購進甲種商品x件，則購進乙種商品（50－x）件，

根據(jù)題意，得：70x+80（50-x）=3800，

解得：x=20；

乙種商品：50-20=30（件），

答：該商場購進甲種商品20件，乙種商品30件；

（3）解：設(shè)小華在該商場購買乙種商品b件，根據(jù)題意，得：

①當超過480元，但不超過680元時，480+(128b-480)×0.6=576，解得b=5；

②當超過680元時，128b×0.75=576，解得b=6，

答：小華在該商場購買乙種商品5或6件．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．

13．（1）元；（2）元；（3）只需多付3元，可獲得最大優(yōu)惠

【分析】（1）根據(jù)題意列式計算即可；

（2）設(shè)該商品的標價為元，則折后價為：元，折后每滿元減元的優(yōu)惠分兩種情況討論，依題意列式計算即可；

（3）根據(jù)題意折后價當時，可多享受一個折后減元的優(yōu)惠，據(jù)此求解即可．

【詳解】（1）依題意得：(元)，

∵，

∴可再減：(元)，

實際付款：(元)；

（2）設(shè)該商品的標價為元，則折后價為：元，

①當時，

依題意得：，

解得：，

，

符合題意；

②當時，

依題意得：，

解得：，

，

不符合題意，舍去；

綜上，該商品的標價為元；

（3）∵該商家出售的商品標價均為整數(shù)，

當，即元時，

實際付款：(元),

(元)，(元),

故只需多付3元，可多獲得元的商品．

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

14．（1）方案二比方案一更優(yōu)惠，多優(yōu)惠8元；（2）買甲品牌足球4個

【分析】（1）根據(jù)兩種方案的優(yōu)惠辦法分別算出購買甲品牌足球3個，乙品牌足球4個方案一需要支付的錢數(shù)及方案二需要支付的錢數(shù)，再比較即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購買甲品牌x個，根據(jù)兩種方案的優(yōu)惠辦法分別用含x的式子表示出購買甲品牌足球x個，乙品牌足球6個方案一需要支付的錢數(shù)及方案二需要支付的錢數(shù)，由方案一與方案二所付錢數(shù)一樣多列出方程，求解即可.

【詳解】（1）解：方案一所付的錢數(shù)為：0．85×3×160+4×60=648(元)；

方案二所付的錢數(shù)為：100+0.75×(160×3+60×4)=640(元)；

648-640=8.

答：方案二比方案一更優(yōu)惠，多優(yōu)惠8元.

（2）解：設(shè)購買甲品牌x個，

方案一所付的錢數(shù)為：0.85(160x+360)元；

方案二所付的錢數(shù)為：100+0.75(160x+360)元，

由題意得

0.85(160x+360)=100+0.75(160x+360)，

解得x=4，

答：買甲品牌足球4個.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，以及一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，正確表示出標價及打折后售價，找出合適的等量關(guān)系，列出方程求解．

15．（1）甲超市實付款352元，乙