新教材數(shù)學(xué)人教A版教案4-5函數(shù)的應(yīng)用（二）4-5-3函數(shù)模型的應(yīng)用

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)指數(shù)函數(shù)模型(，，為常數(shù)，，且)對(duì)數(shù)函數(shù)模型(，，為常數(shù)，，且)1．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路2．建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的解題步驟某些實(shí)際問(wèn)題提供的變量關(guān)系是確定的，即設(shè)自變量為，因變量為.它們已建立了函數(shù)模型，我們可以利用該函數(shù)模型得出實(shí)際問(wèn)題的答案．具體解題步驟為：第一步，審題，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型．了解變量的含義，若模型中含有待定系數(shù)，則需要進(jìn)一步用待定系數(shù)法或其他方法確定．第二步，求解數(shù)學(xué)模型．利用數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行解答．第三步，轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的解．定量分析和研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要深入調(diào)查、研究、了解對(duì)象信息，作出簡(jiǎn)化假設(shè)，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言，把它表述為數(shù)學(xué)式子(也就是數(shù)學(xué)模型)，然后計(jì)算得到模型的結(jié)果，并進(jìn)行檢驗(yàn)，最后解釋實(shí)際問(wèn)題．這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程，就稱為數(shù)學(xué)建模．根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，然后選擇函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式，再進(jìn)行擬合、比較，選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的過(guò)程，稱為函數(shù)擬合(或數(shù)據(jù)擬合)．1．建立擬合函數(shù)模型的步驟(1)收集數(shù)據(jù)．(2)根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出散點(diǎn)圖．(3)根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫(huà)散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型．(4)選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型．(5)將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則返回步驟(3)，若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步．(6)用所得函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題．2．建立擬合函數(shù)模型的一般流程根據(jù)建立擬合函數(shù)模型的步驟，我們用下圖來(lái)表示建立擬合函數(shù)模型的一般流程．基礎(chǔ)自測(cè)1．某廠年的產(chǎn)值為萬(wàn)元，預(yù)計(jì)產(chǎn)值每年以的速度遞增，則該廠到年的產(chǎn)值(單位：萬(wàn)元)是（）A． B．C． D．2．某種細(xì)菌經(jīng)分鐘個(gè)數(shù)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，且該種細(xì)菌的繁殖規(guī)律為，其中為常數(shù)，表示時(shí)間(單位：時(shí))，表示繁殖后細(xì)菌總個(gè)數(shù)，則_________，經(jīng)過(guò)小時(shí)，個(gè)細(xì)菌通過(guò)繁殖個(gè)數(shù)變?yōu)開(kāi)_________.3．某種動(dòng)物繁殖數(shù)量(只)與時(shí)間(年)的關(guān)系為，設(shè)這種動(dòng)物第年有只，則第年它們繁殖到_______只．4．某學(xué)校開(kāi)展研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)，一組同學(xué)獲得了下面的一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)有如下個(gè)模擬函數(shù)：①；②；③；④；⑤.請(qǐng)從中選擇一個(gè)模擬函數(shù)，使它能近似地反映這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，應(yīng)選______(填序號(hào))．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一：指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例1.年月日世界人口達(dá)到億，假設(shè)世界人口年增長(zhǎng)率為，用英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：預(yù)測(cè)什么時(shí)候世界人口會(huì)翻一番？[分析]解指數(shù)方程，要進(jìn)行指對(duì)式互化．[解析]由年世界人口數(shù)據(jù)，把，代入馬爾薩斯人口模型，得.解不等式得.所以由馬爾薩斯人口模型估算，經(jīng)過(guò)年后，即年世界人口達(dá)到億．[歸納提升]指數(shù)型函數(shù)問(wèn)題的類型及解法(1)指數(shù)型函數(shù)模型：(且，)，在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)，銀行利率，細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來(lái)表示．(2)指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實(shí)際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，④得出結(jié)論．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?目前某縣有萬(wàn)人．經(jīng)過(guò)年后為萬(wàn)人．如果年平均增長(zhǎng)率是.請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)計(jì)算年后該縣的人口總數(shù)(精確到萬(wàn)人)；(3)計(jì)算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達(dá)到萬(wàn)(精確到年)．題型二：對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例2.有一種候鳥(niǎo)每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵，科學(xué)家經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)候鳥(niǎo)的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中表示候鳥(niǎo)每分鐘耗氧量的單位數(shù)，代表測(cè)量過(guò)程中某類候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量偏差(參考數(shù)據(jù)：，，)．(1)當(dāng)，候鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量為個(gè)單位時(shí)，候鳥(niǎo)的飛行速度是多少?(2)當(dāng)，候鳥(niǎo)停下休息時(shí)，它每分鐘的耗氧量為多少單位？(3)若雄鳥(niǎo)的飛行速度為，同類雌鳥(niǎo)的飛行速度為，則此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量的多少倍？[分析](1)將，代入解析式求速度．(2)利用候鳥(niǎo)休息的速度為解題．(3)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩式相減構(gòu)成耗氧量的商．[解析](1)由題意，，，得，故此時(shí)候鳥(niǎo)的飛行速度為.(2)由題意得，當(dāng)候鳥(niǎo)停下休息時(shí)，它的速度是，可得，，即，解得：，故候鳥(niǎo)停下休息時(shí)每分鐘的耗氧量為個(gè)單位．(3)設(shè)雄鳥(niǎo)的耗氧量為，雌鳥(niǎo)的耗氧量為，由題意得：，兩式相減可得，解得：，故此時(shí)雄鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量是雌鳥(niǎo)每分鐘的耗氧量的倍．[歸納提升]對(duì)數(shù)型函數(shù)問(wèn)題的類型及解法(1)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型：(，且)，對(duì)數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解．(2)對(duì)數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實(shí)際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，④得出結(jié)論．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?大西洋鮭魚(yú)每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．研究鮭魚(yú)的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)的游速(單位：)與其耗氧量單位數(shù)之間的關(guān)系可以表示為函數(shù)，其中，為常數(shù)．已知一條鮭魚(yú)在靜止時(shí)的耗氧量為個(gè)單位；而當(dāng)它的游速為時(shí)，其耗氧量為個(gè)單位．(1)求出游速與其耗氧量單位數(shù)之間的函數(shù)解析式；(2)求當(dāng)一條鮭魚(yú)的游速不高于時(shí)，其耗氧量至多需要多少個(gè)單位．誤區(qū)警示忽視實(shí)際問(wèn)題對(duì)定義域的限制致誤例3.生產(chǎn)一定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，它可以表示為商品數(shù)量的函數(shù)．現(xiàn)知一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量為(件)時(shí)的成本函數(shù)為(萬(wàn)元)，如果售出一件商品的價(jià)格是萬(wàn)元，那么該企業(yè)所能獲取的最大利潤(rùn)是多少？[錯(cuò)解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，即，故的最大值為，即該企業(yè)所能獲取的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．[錯(cuò)因分析]題目中的條件已經(jīng)暗示了為自然數(shù)，而該錯(cuò)解中卻是在時(shí)取到的最大值，這種情況在實(shí)際中是無(wú)法操作的．[正解]設(shè)該企業(yè)所能獲取的最大利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，即，故當(dāng)或時(shí)，取最大值，即該企業(yè)生產(chǎn)件或件商品時(shí)所取得的利潤(rùn)最大，為萬(wàn)元．學(xué)科素養(yǎng)二分法的數(shù)學(xué)思想方法是將方程的根看作函數(shù)的零點(diǎn)，利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，將求方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算函數(shù)值，逐步逼近零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)推理．例4.已知函數(shù).(1)證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；(2)求