第六講求非線性方程和方程組的近似解課件

第六講非線性方程和方程組的近似解補(bǔ)充：部分優(yōu)化問(wèn)題的求解第六講非線性方程和方程組的近似解補(bǔ)充：部分優(yōu)化問(wèn)題的求解一、實(shí)例與數(shù)學(xué)模型路燈照明問(wèn)題問(wèn)題描述在一條20m寬的道路兩側(cè)，安裝了兩只2kW的路燈，它們離地面的高度分別為5m。在漆黑的夜晚，當(dāng)兩只路燈開(kāi)啟時(shí)，兩只路燈連線的路面上最暗的點(diǎn)和最亮的點(diǎn)在哪里？如果路燈的高度可以在3m和9m之間變化，如何使路面上最暗點(diǎn)的亮度最大？一、實(shí)例與數(shù)學(xué)模型路燈照明問(wèn)題問(wèn)題描述在一條20m寬的道路兩數(shù)學(xué)模型建立如圖所示的坐標(biāo)系，即路面的寬度為s，每只路燈的功率分別是P，高度是h。設(shè)兩只路燈連線的路面上某點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0），其中，假設(shè)兩個(gè)光源都可以看成點(diǎn)光源，并記兩個(gè)光源到點(diǎn)Q的距離分別為r1和r2，從光源到點(diǎn)Q的光線與水平面的夾角分別為和，兩個(gè)光源在點(diǎn)Q的照度分別為I1和I2，則yPPr2hhr1Q?10?2s(x,0)x數(shù)學(xué)模型建立如圖所示的坐標(biāo)系，即路面的寬度為s，每只路燈的功Psin?1Psin?2I1?k,I2?k22r1r2其中k是量綱單位決定的比例系數(shù)，不妨記為k=1，且r?h?x,r?h?(s?x)21222222hhhhsin?1??,sin?2??r1r2h2?x2h2?(s?x)2得到點(diǎn)Q的照度為C(x)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322Psin?1Psin?2I1?k,I2?k22r1r2其中k問(wèn)題1，求路面上最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)的問(wèn)題化為求C（x）的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)先計(jì)算C（x）的駐點(diǎn)，C（x）的階導(dǎo)函數(shù)為C'(x)??32Phx(h?x)522?3P2h(s?x)[h?(s?x)]2522另C'(x)?0Phx(h?x)22得52?2Ph(s?x)[h?(s?x)]522?0由數(shù)分的知識(shí)我們知道，只要能求出上述方程的根，我們就能求出照度函數(shù)的駐點(diǎn)，從而得到最小與最大值點(diǎn)。問(wèn)題1，求路面上最暗點(diǎn)和最亮點(diǎn)的問(wèn)題化為求C（x）的最小值點(diǎn)問(wèn)題2：把照度函數(shù)看出是關(guān)于變量x和h的二元函數(shù)，即C(x,h)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322那么該問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成求二元函數(shù)的極值問(wèn)題，分別對(duì)兩個(gè)變量求偏到可得以下方程組PhxPh(s?x)??C??055??x?222222?(h?x)[h?(s?x)]??22?CP3PhP3Ph??????03535??h222222222222(h?x)(h?x)[h?(s?x)][h?(s?x)]??問(wèn)題2：把照度函數(shù)看出是關(guān)于變量x和h的二元函數(shù)，即C(二、非線性方程和方程組的Matlab求解1、圖解法（1）一元方程的圖解法用ezplot（）函數(shù)可以繪制出給定的隱函數(shù)f(x)=0曲線，再繪出直線y=0，讀出兩條曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的解。ezplot函數(shù)的調(diào)用格式，ezplot(fun)%隱函數(shù)表達(dá)式二、非線性方程和方程組的Matlab求解1、圖解法（1）一元【例1】【例1】（2）二元方程組的圖解法二元方程也可以用圖解法求解，用ezplot（）函數(shù)將第一個(gè)方程對(duì)應(yīng)的曲線繪制出來(lái)，再在同一個(gè)坐標(biāo)系下繪制出第二個(gè)方程對(duì)應(yīng)的曲線，得出曲線后就可以通過(guò)讀取交點(diǎn)坐標(biāo)的方式得出聯(lián)立方程的根。（2）二元方程組的圖解法二元方程也可以用圖解法求解，用ezp【例2】【例2】2、準(zhǔn)解析解非線性方程中的多項(xiàng)式方程或者多項(xiàng)式方程組，根據(jù)代數(shù)中的根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于次數(shù)低的我們可以求出它的解析解，對(duì)于次數(shù)高的我們可以得到高精度的數(shù)值也叫準(zhǔn)解析解。在matlab符號(hào)工具箱中，solve（）函數(shù)就是求解這一類(lèi)問(wèn)題，以下為該函數(shù)的調(diào)用格式2、準(zhǔn)解析解非線性方程中的多項(xiàng)式方程或者多項(xiàng)式方程組，根據(jù)代第六講求非線性方程和方程組的近似解課件【例3】【例3】3、數(shù)值解法（1）fzero()函數(shù)fzero函數(shù)用于求單變量方程的根，所采用的算法主要是二分法、割線法等的混合方法。fzero至少要輸入兩個(gè)參數(shù)：函數(shù)和迭代初始值（或者有根區(qū)間），其最簡(jiǎn)單調(diào)用格式如下S=fzero(eqn,x0)其中，eqn是指方程左端的函數(shù)，如果函數(shù)復(fù)雜可以通過(guò)編寫(xiě)函數(shù)M文件輸入，如果函數(shù)形式簡(jiǎn)單，直接用inline函數(shù)輸入方程左端的函數(shù)。3、數(shù)值解法（1）fzero()函數(shù)fzero函數(shù)用于求單(2)fsolve()函數(shù)fsolve函數(shù)一般用于非線性方程組的求解（當(dāng)然也可以用于方程的求解，但效果一般不如fzero函數(shù)），其調(diào)用格式如下(2)fsolve()函數(shù)fsolve函數(shù)一般用于非線性第六講求非線性方程和方程組的近似解課件【例5】求解函數(shù)OPT=optimset;OPT.TolX=1e-10[x,Y,c,d]=fsolve(f,[-1;0],OPT)【例5】求解函數(shù)OPT=optimset;OPT.TolX=(3)roots()函數(shù)roots()函數(shù)專門(mén)用于求單變量代數(shù)方程求根，即當(dāng)f（x）為一元多項(xiàng)式時(shí)的求解，其調(diào)用格式如下r=roots(p)%p為多項(xiàng)式的系數(shù)向量（按降冪排列），輸出r為f（x）=0的全部根（包括復(fù)根）(3)roots()函數(shù)roots()函數(shù)專門(mén)用于求單變量三、實(shí)例的求解1、求路面上最暗點(diǎn)與最亮點(diǎn)Q的照度函數(shù)C(x)?2Ph(h?x)322?2Ph[h?(s?x)]322照度函數(shù)的導(dǎo)數(shù)C'(x)??32Phx(h?x)522?3P2h(s?x)[h?(s?x)]2522三、實(shí)例的求解1、求路面上最暗點(diǎn)與最亮點(diǎn)Q的照度函數(shù)C(x)解題思路將所給的實(shí)際數(shù)據(jù)，P=2,h=5,s=20代入上面兩個(gè)式子，在[0,20]上用matlab畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖形，找出照度函數(shù)的駐點(diǎn)大約在那些數(shù)值附近，然后以這些值為初始值，用fzero()函數(shù)求出這些駐點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后再求出相應(yīng)的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，函數(shù)值最小的對(duì)應(yīng)的x即為最暗的點(diǎn)，函數(shù)最大的點(diǎn)的x即為最亮的點(diǎn)解題思路將所給的實(shí)際數(shù)據(jù)，P=2,h=5,s=20代入上面畫(huà)圖找合適的初始值點(diǎn)symssc1=2*5/(5^2+s^2)^(3/2)+3*5/(5^2+(20-s)^2)^(3/2);c2=2*5*s/(5^2+s^2)^(5/2)-2*5*(20-s)/(5^2+(20-s)^2)^(5/2);S=[0:0.5:20];C1=subs(c1,S);C2=subs(c2,S);subplot(1,2,1)plot(S,C1);gridonsubplot(1,2,2)plot(S,C2);gridon結(jié)論：x0=[0,10,20]，即一階導(dǎo)數(shù)方程的有三個(gè)根，且在這三個(gè)數(shù)附近畫(huà)圖找合適的初始值點(diǎn)symssc1=2*5/(5^2+sy=inline('2*5/(5^2+x^2)^(3/2)+2*5/(5^2+(20-x)^2)^(3/2)');dy=inline(‘2*5*x/(5^2+x^2)^(5/2)-2*5*(20-x)/(5^2+(20-x)^2)^(5/2)');x0=[0,10,20];fori=1:3X(i+1)=fzero(dy,x0(i));C(i+1)=y(X(i+1));endX(1)=0,X(i+2)=20;C(1)=y(X(1)),C(i+2)=y(X(i+2));[X;C]結(jié)果：y=inline('2*5/(5^2+x^2)^(3/2)+補(bǔ)充:最優(yōu)化問(wèn)題的求解要表述一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題(即建立數(shù)學(xué)模型)，應(yīng)明確三個(gè)基本要素：?決策變量（decisionvariables）：它們是決策者（你）所控制的那些數(shù)量，它們?nèi)∈裁磾?shù)值需要決策者來(lái)決策，最優(yōu)化問(wèn)題的求解就是找出決策變量的最優(yōu)取值．?約束條件(constraints)：它們是決策變量在現(xiàn)實(shí)世界中所受到的限制，或者說(shuō)決策變量在這些限制范圍之內(nèi)取值才有實(shí)際意義．?目標(biāo)函數(shù)(objectivefunction):它代表決策者希望對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化的那個(gè)指標(biāo)。目標(biāo)函數(shù)是決策變量的函數(shù)．補(bǔ)充:最優(yōu)化問(wèn)題的求解要表述一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題(即建立數(shù)學(xué)模型)一、實(shí)例與數(shù)學(xué)模型?動(dòng)物飼料配制問(wèn)題的描述美國(guó)一家公司以專門(mén)飼養(yǎng)并出售一種實(shí)驗(yàn)用動(dòng)物而聞名．該公司的研究表明，這種動(dòng)物的生長(zhǎng)對(duì)飼料中的三種營(yíng)養(yǎng)成分特別敏感，即蛋白質(zhì)、礦物質(zhì)和維生素．同時(shí)發(fā)現(xiàn)這種動(dòng)物每天至少需要70克蛋白質(zhì)、3克礦物質(zhì)和10毫克維生素．該公司能得到五種飼料，每一種飼料每磅所含的營(yíng)養(yǎng)成分如表9．l，每種飼料每磅的成本如表9．2．公司希望找出滿足動(dòng)物營(yíng)養(yǎng)需要而成本又最低的混合飼料配置．一、實(shí)例與數(shù)學(xué)模型?動(dòng)物飼料配制問(wèn)題的描述美國(guó)一家公司以專門(mén)表1每一種飼料每磅所含營(yíng)養(yǎng)成分表2每種飼料每磅的成本表1每一種飼料每磅所含營(yíng)養(yǎng)成分表2每種飼料每磅的成本模型的建立模型的建立上述過(guò)程寫(xiě)成一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式mincx?0.02x1?0.07x2?0.04x3?0.03x4?0.05x5s.t.0.30x1?2.00x2?1.00x3?0.60x4?1.80x5?700.10x1?0.05x2?0.02x3?0.20x4?0.05x5?30.05x1?0.10x2?0.02x3?0.20x4?0.08x5?10xj?0(j?1,2,3,4,5)這就是一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，可以用線性規(guī)劃算法（更現(xiàn)成的是用各種相關(guān)的軟件）求解．T上述過(guò)程寫(xiě)成一般的數(shù)學(xué)表達(dá)式mincx?0.02x1?0.0二、最優(yōu)化問(wèn)題Matlab求解?（一）無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題求解無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題是最簡(jiǎn)單的一類(lèi)最優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)描述如下二、最優(yōu)化問(wèn)題Matlab求解?（一）無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題求解無(wú)數(shù)值解法Matlab語(yǔ)言中提供了求解無(wú)約束優(yōu)化的函數(shù)fminsearch(),其優(yōu)化工具箱中還提供了函數(shù)fminunc(),這兩者的調(diào)用格式完全一致，為數(shù)值解法Matlab語(yǔ)言中提供了求解無(wú)約束優(yōu)化的函數(shù)fmin例1例1（二）有約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解按照靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)構(gòu)是否線性分為線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃．線性規(guī)劃的特征是目標(biāo)函數(shù)和約束條件中的函數(shù)都是決策變量的線性函數(shù)，并且約束是必不可少的（否則不存在有實(shí)際意義的解），（二）有約束最優(yōu)化問(wèn)題的求解按照靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)構(gòu)是否線性分1、線性規(guī)劃問(wèn)題求解線性規(guī)劃問(wèn)題數(shù)學(xué)描述為1、線性規(guī)劃問(wèn)題求解線性規(guī)劃問(wèn)題數(shù)學(xué)描述為matlab中優(yōu)化工具箱的求解函數(shù)在MATLAB優(yōu)化工具箱中，求解線性規(guī)劃的函數(shù)為linprog（）函數(shù)，該函數(shù)的調(diào)用格式如下注意：[1]若沒(méi)有不等式：AX≤b存在，則令A(yù)=[]，b=[].[2]若沒(méi)有等式約束:Aeq·X=beq,則令A(yù)eq=[],beq=[].[3]其中X0表示初始點(diǎn)matlab中優(yōu)化工具箱的求解函數(shù)在MATLAB優(yōu)化工具箱中【例2】【例2】2、非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解非線性規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)描述為為求解方便，約束條件可以進(jìn)一步細(xì)分，這原規(guī)劃可寫(xiě)為2、非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解非線性規(guī)劃的一般數(shù)學(xué)描述為為求解方便該細(xì)分模型的求解命令如下該細(xì)分模型的求解命令如下【例3】【例3】第六講求非線性方程和方程組的近似解課件三、實(shí)例求解現(xiàn)在我們用matlab求解實(shí)例的數(shù)學(xué)模型mincTx?0.02x1?0.07x2?0.04x3?0.03x4?0.05x5s.t.0.30x1?2.00x2?1.00x3?0.60x4?1.80