第10節(jié) 函數(shù)模型及其應(yīng)用

第10節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對數(shù)增長”“直線上升”等術(shù)語的含義.2.通過收集、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際等數(shù)學(xué)模型，會選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會生活中的廣泛應(yīng)用.知識診斷·基礎(chǔ)夯實【知識梳理】1.指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)[常用結(jié)論]1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對數(shù)增長”先快后慢，其增長量越來越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗證數(shù)學(xué)結(jié)果對實際問題的合理性.【診斷自測】1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)某種商品進(jìn)價為每件100元，按進(jìn)價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.()(2)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大.()(3)不存在x0，使ax0<xeq\o\al(n,0)<logax0.()(4)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)的增長速度.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)9折出售的售價為100(1＋10%)×eq\f(9,10)＝99(元).∴每件賠1元，(1)錯誤.(2)當(dāng)x＝2時，2x＝x2＝4.(2)不正確.(3)如a＝x0＝eq\f(1,2)，n＝eq\f(1,4)，不等式成立，因此(3)錯誤.2.(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lgV.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(eq\r(10,10)≈1.259)()A.1.5 B.1.2C.0.8 D.0.6答案C解析由題意知4.9＝5＋lgV，得lgV＝－0.1，得V＝10－eq\f(1,10)≈0.8，所以該同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.3.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元時，不享受任何折扣；如果顧客購物總金額超過800時，那么超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關(guān)于x的解析式為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，0＜x≤800，,5%（x－800），800＜x≤1300，,10%（x－1300）＋25，x＞1300.))若y＝30元，則他購物實際所付金額為________元.答案1350解析若x＝1300，則y＝5%(1300－800)＝25＜30，因此x＞1300.由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元).4.某商品在最近30天內(nèi)的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，銷售量g(t)與時間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品的日銷售金額的最大值是________.答案506解析日銷售金額y＝(－t＋35)(t＋10)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(25,2)))eq\s\up12(2)＋350＋eq\f(625,4)，∵t∈N，∴t＝12或13時，ymax＝506.考點突破·題型剖析考點一利用函數(shù)圖象刻畫實際問題的變化過程例1已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從B點開始沿折線BCDA向A點運動.設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()答案D解析依題意知，當(dāng)0≤x≤4時，f(x)＝2x；當(dāng)4＜x≤8時，f(x)＝8；當(dāng)8＜x≤12時，f(x)＝24－2x，觀察四個選項知D項符合要求.感悟提升判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；(2)驗證法：根據(jù)實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇出符合實際情況的答案.訓(xùn)練1(2023·泰州調(diào)研)中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔1min測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點圖.觀察散點圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時間x變化的規(guī)律()A.y＝mx2＋n(x＞0) B.y＝max＋n(m＞0，0＜a＜1)C.y＝max＋n(m＞0，a＞1) D.y＝mlogax＋n(m＞0，a＞0，a≠1)答案B解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m＞0，0＜a＜1.考點二已知函數(shù)模型解決實際問題例2我國在2020年進(jìn)行了第七次人口普查登記，到2021年4月以后才能公布結(jié)果.人口增長可以用英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯提出的模型：y＝y(tǒng)0·ert，其中t表示經(jīng)過的時間(單位：年)，y0表示t＝0時的人口數(shù)(單位：億)，r表示人口的年平均增長率.以國家統(tǒng)計局發(fā)布的2000年第五次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?2.43億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))和2010年第六次人口普查登記(已上報戶口)的全國總?cè)丝?3.33億人(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))為依據(jù)，用馬爾薩斯人口增長模型估計我國2020年年末(不包括香港、澳門和臺灣地區(qū))的全國總?cè)丝跀?shù)為(13.332＝177.6889，12.432＝154.5049)()A.14.30億 B.15.20億C.14.62億 D.15.72億答案A解析由馬爾薩斯人口增長模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝eq\f(13.33,12.43)，所以我國2020年年末的全國總?cè)丝跀?shù)約為y＝13.33e10r＝eq\f(13.332,12.43)＝eq\f(177.6889,12.43)≈14.30(億).感悟提升1.求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)注點.(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.訓(xùn)練2在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度v(單位：千米/秒)滿足公式v＝wlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))，其中M為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，m為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量(單位：噸)，w為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度(單位：千米/秒).當(dāng)M＝3m時，v＝5.544千米/秒.在保持w不變的情況下，若m＝25噸，假設(shè)要使v超過第一宇宙速度達(dá)到8千米/秒，則M至少約為(結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：e2≈7.389，ln2≈0.693)()A.135噸 B.160噸C.185噸 D.210噸答案B解析當(dāng)M＝3m時，v＝5.544，所以w＝eq\f(5.544,ln4)＝eq\f(5.544,2ln2)，由v＝wlneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝eq\f(5.544,2ln2)lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,25)))＝8，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,25)))≈2，所以1＋eq\f(M,25)≈e2≈7.389，解得M≈159.725≈160(噸)，即M至少約為160噸.故選B.考點三構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題角度1構(gòu)建二次函數(shù)模型例3某城市對一種售價為每件160元的商品征收附加稅，稅率為R%(即每銷售100元征稅R元)，若每年銷售量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))萬件，要使附加稅不少于128萬元，則R的取值范圍是()A.[4，8] B.[6，10]C.[4%，8%] D.[6%，10%]答案A解析根據(jù)題意，要使附加稅不少于128萬元，需eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(30－\f(5,2)R))×160×R%≥128，整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].角度2構(gòu)建分段函數(shù)模型例4(2023·臨沂測試)已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件(0＜x≤25)并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)(單位：萬元)，且R(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(108－\f(1,3)x2，0＜x≤10，,－x＋\f(175,x)＋57，10＜x≤25.))(1)寫出年利潤f(x)(單位：萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位：千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？(注：年利潤＝年銷售收入－年總成本)解(1)當(dāng)0＜x≤10時，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝81x－eq\f(x3,3)－100；當(dāng)10＜x≤25時，f(x)＝xR(x)－(100＋27x)＝－x2＋30x＋75.故f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(81x－\f(x3,3)－100，0＜x≤10，,－x2＋30x＋75，10＜x≤25.))(2)當(dāng)0＜x≤10時，由f′(x)＝81－x2＝－(x＋9)(x－9)，得當(dāng)x∈(0，9)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(9，10)時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減.故f(x)max＝f(9)＝81×9－eq\f(1,3)×93－100＝386.當(dāng)10＜x≤25時，f(x)＝－x2＋30x＋75＝－(x－15)2＋300≤300.綜上，當(dāng)x＝9時，年利潤取最大值386.所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.感悟提升在應(yīng)用函數(shù)解決實際問題時需注意以下四個步驟：(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際意義的問題.訓(xùn)練3(1)(2023·重慶巴蜀中學(xué)月考)某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為150億元，理財業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍.若要使得該公司2025年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的60%，則t的值至少為()A.eq\r(5,2.4) B.eq\r(5,3.6)C.eq\r(6,2.4) D.eq\r(6,3.6)答案A解析由題意可知2025年的總收入為300億元.因為要求從2021年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，所以2025年通過理財業(yè)務(wù)的收入為50t5億元，所以300－50t5≤300×0.6，解得t≥eq\r(5,2.4)，故t的值至少為eq\r(5,2.4).(2)國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機票每張收費900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止.每團(tuán)乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15000元.①寫出飛機票的價格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；②每團(tuán)人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為x，由題意得0＜x≤75(x∈N*)，飛機票的價格為y元.旅行社可獲得的利潤為w元.①(ⅰ)當(dāng)0≤x≤30時，y＝900，(ⅱ)當(dāng)30＜x≤75時，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，綜上，有y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30＜x≤75.))②當(dāng)0≤x≤30時，w＝900x－15000，當(dāng)x＝30時，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當(dāng)30＜x≤75時，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當(dāng)x＝60時，w最大為21000元，所以每團(tuán)人數(shù)為60時，旅行社可獲得最大利潤.分層精練·鞏固提升【A級基礎(chǔ)鞏固】1.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)，現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個函數(shù)中的一個近似表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是()x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2 B.y＝eq\f(1,2)(x2－1)C.y＝log2x D.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x答案B解析由題中表格可知函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大而增大得越來越快，分析選項可知B符合，故選B.2.據(jù)統(tǒng)計，第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，觀測發(fā)現(xiàn)第2年有越冬白鷺1000只，估計第5年有越冬白鷺(ln2≈0.7，ln3≈1.1)()A.1530只 B.1636只C.1830只 D.1930只答案B解析∵第x年某濕地公園越冬的白鷺數(shù)量y(只)近似滿足y＝klog3(x＋1)，且當(dāng)x＝2時，y＝1000，∴1000＝klog33，解得k＝1000，∴當(dāng)x＝5時，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(ln2,ln3)))≈1636.3.(2022·永州二模)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，每名感染者平均可傳染的人數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為R0，1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(V,N)稱為接種率))，那么1個感染者傳染人數(shù)為eq\f(R0,N)(N－V).已知某種傳染病在某地的基本傳染數(shù)R0＝4，為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率至少為()A.45% B.55%C.65% D.75%答案D解析為了使1個感染者傳染人數(shù)不超過1，只需eq\f(R0,N)(N－V)≤1，即R0·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(V,N)))≤1.因為R0＝4，所以1－eq\f(V,N)≤eq\f(1,4)，可得eq\f(V,N)≥eq\f(3,4)＝75%.故選D.4.(多選)甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一座公園，甲同學(xué)家到公園的距離與乙同學(xué)家到公園的距離都是2km.如圖所示表示甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家經(jīng)過的路程y(km)與時間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是()A.甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB.甲從家到公園的時間是30minC.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D.當(dāng)0≤x≤30時，y與x的關(guān)系式為y＝eq\f(1,15)x答案BD解析在A中，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學(xué)家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯誤；當(dāng)0≤x≤30時，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得k＝eq\f(1,15)，D正確.5.(2023·連云港質(zhì)檢)某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護(hù)費，第一年的維護(hù)費為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費都比上一年增加2萬元.為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為()A.8 B.10C.12 D.13答案B解析設(shè)該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為x(x∈N*)，設(shè)備年平均費用為y萬元，則x年的設(shè)備維護(hù)費用為2＋4＋6＋…＋2x＝eq\f(x（2＋2x）,2)＝x(x＋1)，所以x年的平均費用y＝eq\f(100＋0.5x＋x（x＋1）,x)＝x＋eq\f(100,x)＋eq\f(3,2)≥2eq\r(\a\vs4\al(x·\f(100,x)))＋eq\f(3,2)＝eq\f(43,2)(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10時，等號成立，因此，為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為10.6.(2023·淮南一模)2020年9月22日，我國在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：二氧化碳排放力爭于2030年前達(dá)到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，該技術(shù)處理總成本y(單位：萬元)與處理量x(單位：噸)(x∈[120，500])之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－80x2＋5040x，x∈[120，144），,\f(1,2)x2－200x＋80000，x∈[144，500]，))為使二氧化碳每噸處理成本最低，則處理量x等于()A.120噸 B.200噸C.240噸 D.400噸答案D解析由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－80x＋5040，x∈[120，144），,\f(1,2)x－200＋\f(80000,x)，x∈[144，500]，))當(dāng)x∈[120，144)時，S＝eq\f(1,3)x2－80x＋5040；當(dāng)x＝120時，S取得最小值240；當(dāng)x∈[144，500]時，S＝eq\f(1,2)x－200＋eq\f(80000,x)≥2eq\r(\f(1,2)x·\f(80000,x))－200＝200，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,2)x＝eq\f(80000,x)，即x＝400時取等號，此時S取得最小值200.綜上，所求處理量為400噸.故選D.7.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4m和am(0＜a＜12)，不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)用16m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設(shè)此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是()答案B解析設(shè)AD長為x，則CD長為16－x.又因為要將P點圍在矩形ABCD內(nèi)，所以a≤x≤12，則矩形ABCD的面積為x(16－x).當(dāng)0＜a≤8時，當(dāng)且僅當(dāng)x＝8時，u＝64；當(dāng)8＜a＜12時，u＝a(16－a)，所以u＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64，0＜a≤8，,a（16－a），8＜a＜12，))分段畫出函數(shù)圖象，可得其形狀與B選項中圖象接近.8.當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少要經(jīng)過________個“半衰期”.答案10解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)＜eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個“半衰期”.9.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費者視線的.已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關(guān)系R＝aeq\r(A)(a為常數(shù))，廣告效應(yīng)為D＝aeq\r(A)－A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費應(yīng)為________(用常數(shù)a表示).答案eq\f(1,4)a2解析令t＝eq\r(A)(t≥0)，則A＝t2，∴D＝at－t2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)a))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)a2，∴當(dāng)t＝eq\f(1,2)a，即A＝eq\f(1,4)a2時，D取得最大值.10.某地西紅柿上市后，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100千克)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是________；②最低種植成本是________元/100千克.答案①120②80解析因為隨著時間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)t＝60和t＝180時種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（60－120）2＋m＝116，,a（100－120）2＋m＝84，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當(dāng)上市天數(shù)為120時，種植成本取到最低值為80元/100千克.11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與排氣時間t(分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y＝ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(mt)(c，m為常數(shù)).(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問至少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài)？解(1)由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(4m)，,32＝c\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(8m)，))兩式相除，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝128，,m＝\f(1,4).))(2)由題意可得128eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤0.5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(\f(1,4)t)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(8)，即eq\f(1,4)t≥8，解得t≥32.故至少排氣32分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).12.某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺.每生產(chǎn)x臺，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x2＋80x，0＜x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40＜x≤100，))由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.(1)寫出年利潤W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式(利潤＝銷售收入－成本)；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)由題意可得，當(dāng)0＜x≤40時，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；當(dāng)40＜x≤100時，W(x)＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，所以W(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x2＋120x－300，0＜x≤40，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，40＜x≤100.))(2)若0＜x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以當(dāng)x＝30時，W(x)max＝1500萬元.若40＜x≤100，W(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq\r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3600,x)，即x＝60臺時，W(x)max＝1680萬元.所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元.【B級能力提升】13.(2022·北京密云區(qū)期末)心理學(xué)家有時使用函數(shù)L(t)＝A(1－e－kt)來測定在時間tmin內(nèi)能夠記憶的量L，其中A表示需要記憶的量，k表示記憶率.假設(shè)一個學(xué)生有200個單詞要記憶，心理學(xué)家測定在5min內(nèi)該學(xué)生記憶20個單詞，則記憶率k所在區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)，\f(1,15)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)，\f(1,10))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1))答案A解析將A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，解得e－5k＝eq\f(9,10)，其中y＝e－5x在R上單調(diào)遞減，而(e－eq\f(1,4))－4＝e，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,10)))eq\s\up12(－4)＝eq\f(10000,6561)＜e，y＝x－4在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以e－5×eq\f(1,20)＝e－eq\f(1,4)＜eq\f(9,10)，結(jié)合y＝ex的單調(diào)性可知e－eq\f(1,2)＜e－eq\f(1,3)＜e－eq\f(1,4)＜eq\f(9,10)，即e－5×eq\f(1,10)＜e－5×eq\f(1,15)＜e－5×eq\f(1,20)＜eq\f(9,10)，而e－5×0＝e0＝1＞eq\f(9,10)，其中y＝e－5x為連續(xù)函數(shù)，故記憶率k所在區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,20))).故選A.14.(2023·惠州調(diào)研)某學(xué)校數(shù)學(xué)建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻璃厚度d(每層玻璃的厚度相同)及兩層玻璃間夾空氣層厚度l對保溫效果的影響，利用熱傳導(dǎo)定律得到熱傳導(dǎo)量q滿足關(guān)系式q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))，其中玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)λ1＝4×10－3焦耳/(厘米·度)，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)λ2＝2.5×10－4焦耳/(厘米·度)，ΔT為室內(nèi)外溫度差，q值越小，保溫效果越好，現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如表所示：型號每層玻璃厚度d(單位：厘米)玻璃間夾空氣層厚度l(單位：厘米)A型0.43B型0.34C型0.53D型0.44則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是()A.A型 B.B型C.C型 D.D型答案D解析由題意得，q＝λ1eq\f(|ΔT|,d\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ1l,λ2d)＋2)))＝eq\f(4×10－3×|ΔT|,\f(4×10－3,2.5×10－4)l＋2d)＝eq\f(4×10－3×|ΔT|,16l＋2d)，固定|ΔT|，可知16l＋2d越大，q越小，保溫效果越好.對于A型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.4＝48.8，對于B型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.3＝64.6，對于C型玻璃，16l＋2d＝16×3＋2×0.5＝49，對于D型玻璃，16l＋2d＝16×4＋2×0.4＝64.8，經(jīng)過比較可知，D型玻璃保溫效果最好.