2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第二冊 　 第一章　2-2　第1課時　等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)及初步應(yīng)用 課件（33張）

激趣誘思高斯是偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目,1+2+…+100的和是多少?”過了兩分鐘,正當(dāng)大家按“1+2=3,3+3=6,4+6=10……”的方法算得不亦樂乎時,高斯站起來回答說:“1+2+3+…+100=5050.”老師問:“你是如何算出答案的?”高斯回答說:“因為1+100=101,2+99=101,……,50+51=101,所以101×50=5050.”這個故事告訴我們:要像數(shù)學(xué)王子高斯一樣善于觀察,敢于思考,從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西.這個小故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法——“倒序相加”法.知識梳理一、等差數(shù)列的前n項和對首項為a1,公差為d的等差數(shù)列{an},設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,即Sn=a1+a2+a3+…+an.注意等式兩端角標(biāo)“n”的一致性

微判斷(1)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S1=a1.(

)(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則Sn與an不可能相等.(

)√×二、等差數(shù)列的前n項和公式

微判斷(1)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加法.(

)(3)等差數(shù)列的前n項和,等于其首項、第n項的等差中項的n倍.(

)√√√微練習(xí)等差數(shù)列{an}中a1=2,a2=3,則其前10項的和S10=

.

答案

65解析

由a1=2,a2=3得d=1,故S10=10a1+×10×9d=10×2+45=65.三、數(shù)列中an與Sn的關(guān)系對于一般數(shù)列{an},設(shè)其前n項和為Sn,則有an=名師點析(1)這一關(guān)系對任何數(shù)列都適用.(2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通項公式中,令n=1求得a1與利用a1=S1求得的a1相同,則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通項公式也適合n=1的情況,數(shù)列的通項公式用an=Sn-Sn-1表示.若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通項公式中,令n=1求得的a1與利用a1=S1求得的a1不相同,則說明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通項公式不適合n=1的情況,數(shù)列的通項公式采用分段形式.微練習(xí)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n,則an=

.

解析

當(dāng)n=1時,a1=S1=3;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1,當(dāng)n=1時,代入an=2×3n-1得a1=2≠3.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一等差數(shù)列前n項和公式的基本運算例1在等差數(shù)列{an}中:(1)已知a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)已知S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.反思感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的問題時,要注意方程思想和整體代換思想的運用.(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項和公式的元素有a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二.變式訓(xùn)練1(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和.若a1=-2018,S6-2S3=18,則S2020=(

)A.-2018 B.2018C.2019 D.2020(2)(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N+),當(dāng)首項a1和公差d變化時,若a1+a8+a15是定值,則下列各項中為定值的是(

)A.a7 B.a8

C.S15 D.S16答案

(1)D

(2)BC探究二由數(shù)列{an}的前n項和Sn求an例2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn=n2+n,求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項與公差分別是什么?解

根據(jù)Sn=a1+a2+…+an-1+an可知Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2,n∈N+),反思感悟已知數(shù)列{an}的前n項和Sn求通項an,先由n=1時,a1=S1求得a1,再由n≥2時,an=Sn-Sn-1求得an的表達式,最后驗證a1是否符合an的表達式,若符合則統(tǒng)一用一個式子表示,不符合則分段表示.延伸探究若將本例中前n項和改為Sn=n2+n+1,求數(shù)列{an}的通項公式.探究三等差數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用例3在我國古代,9是數(shù)字之極,是尊貴的象征,所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計.例如,北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成(如圖),最高層的中心是一塊天心石,圍繞它的第一圈有9塊石板,從第二圈開始,每一圈比前一圈多9塊,共有9圈,請問:(1)第9圈共有多少塊石板?(2)前9圈一共有多少塊石板?解

(1)設(shè)從第1圈到第9圈石板數(shù)所成數(shù)列為{an},由題意可知{an}是等差數(shù)列,其中a1=9,d=9,n=9.由等差數(shù)列的通項公式,得第9圈有石板a9=a1+(9-1)·d=9+(9-1)×9=81(塊).(2)由等差數(shù)列前n項和公式,得前9圈一共有石板故第9圈有81塊石板,前9圈一共有405塊石板.反思感悟建立等差數(shù)列的模型時,要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù).變式訓(xùn)練2現(xiàn)有200根相同的鋼管,把它們堆成正三角形垛,要使剩余的鋼管盡可能少,那么剩余鋼管的根數(shù)為

.

答案

10解析

鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列,最上面一層鋼管數(shù)為1,逐層增加1根.當(dāng)n=19時,S19=190;當(dāng)n=20時,S20=210>200.∴當(dāng)n=19時,剩余鋼管根數(shù)最少,為10根.素養(yǎng)形成一題多解——探求等差數(shù)列前n項和中的比值問題

答案

A當(dāng)堂檢測1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,公差d=-2,若S10=S11,則a1=(

)A.18 B.20 C.22 D.24答案

B2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+3n,若ak+1=-16,則k的值等于(

)A.9 B.8 C.7 D.6答案

A解析

當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-n2+3n+(n-1)2-3(n-1)=-2n+4.又a1=S1=2也適合上式,所以a