地震工程學(xué)9（彈塑性結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析）

同濟(jì)大學(xué)Tongji

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第九章彈塑性結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析翟

永

梅同

濟(jì)

大

學(xué)土木工程學(xué)院上

海

防

災(zāi)

救

災(zāi)

研

究

所地

震

工

程

學(xué)同濟(jì)大學(xué)Tongji

University彈塑性動力分析的一般過程串聯(lián)多自由度體系分析平面框架模型多維地震波作用下的平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)22011-5-26

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Prevention第九章

彈塑性結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University9.1

彈塑性動力分析的一般過程?

結(jié)構(gòu)彈塑性地震反應(yīng)問題是地震工程學(xué)研究的熱點(diǎn)之一。?

一般結(jié)構(gòu)物都在強(qiáng)震中會進(jìn)入彈塑性變形階段。?

結(jié)構(gòu)的彈塑性反應(yīng)與線性反應(yīng)的表現(xiàn)有很大不同：

結(jié)構(gòu)的基本動力特性變化整體結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)特征不同?

引用彈塑性分析的概念和具體做法，有利于研究結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的本質(zhì)特征，有助于揭示設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的最不利薄弱環(huán)節(jié)。同濟(jì)大學(xué)Tongji

University一、動力方程二、剛度修正技術(shù)三、一般分析過程

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Prevention9.1

彈塑性動力分析的一般過程上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University一、動力方程?&

&

&&

&

&結(jié)構(gòu)在多維地震波作用下的一般動力方程為：

[M

]{U&}

+

[C]{U}

+

[K

]{U}

=

?[M

]{U&g}結(jié)構(gòu)彈塑性動力分析的基本過程與之相類似：

[M

]{U&}

+

[C

]{U

}

+

{F

}

=

?[M

]{U&

g

}唯一的變化在于恢復(fù)力向量{F}代替了彈性力向量

[K]{U}，這種形式上的替代使我們可以方便地考慮結(jié)構(gòu)的非線性增量方程

。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention&&

&

&&一、動力方程

對單自由度體系，結(jié)構(gòu)在時(shí)刻

tj+1的反應(yīng)可以用tj的反應(yīng)迭加

一個(gè)線形增量:

f

j+1

=

f

j

+kjΔUj

對多自由度體系，則有

{F}j+1

={F}j

+[K]{ΔU}j

進(jìn)而得出結(jié)構(gòu)非線性增量方程:[M]{ΔU}j

+[C]{ΔU}j

+[K]{ΔU}j

=

?[M]{ΔUg}j上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University一、動力方程

用動力分析的逐步積分法，

可以方便地實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)彈塑性動力

分析計(jì)算。

在非線性大變形階段，結(jié)構(gòu)

變形可能進(jìn)入恢復(fù)力下降段，即

出現(xiàn)負(fù)剛度。在負(fù)剛度條件下各

數(shù)值積分方法的穩(wěn)定性與正剛度

條件有所不同。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、剛度修正技術(shù)?

結(jié)構(gòu)線性地震反應(yīng)分析與非線性地震反應(yīng)分析的主要差別

在于剛度矩陣是否變化。對于彈塑性結(jié)構(gòu)，在每一步增量

反應(yīng)計(jì)算之先，要先行修正剛度矩陣中各元素的量值，此

即剛度修正技術(shù)。?

修正剛度矩陣的過程實(shí)質(zhì)是重新形成總剛度矩陣的過程。

在這里，區(qū)分總剛度矩陣、單元?jiǎng)偠染仃?、剛度系?shù)、截

面抵抗矩等概念十分重要。修正剛度矩陣與應(yīng)用恢復(fù)力模

型的聯(lián)系途徑是通過這些概念轉(zhuǎn)換的。這一途徑可用圖6.2

加以說明。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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Prevention逐步積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)非彈性地震反應(yīng)的關(guān)鍵

：方法：根據(jù)t時(shí)刻的結(jié)構(gòu)受力和變形狀態(tài)

采用結(jié)構(gòu)構(gòu)件滯回模型

確定t時(shí)刻各構(gòu)件的剛度按照一定的結(jié)構(gòu)分析模型確定

[K]確定任意t

時(shí)刻的總體樓層側(cè)移剛度矩陣

[K]

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University[K]

的確定上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University二、剛度修正技術(shù)?

以常見的三線型剛度退化型

模型介紹剛度修正技術(shù)。骨

架曲線包括了開裂點(diǎn)、屈服

點(diǎn)、極限荷載點(diǎn)等界點(diǎn)。滯

回曲線由最大變形點(diǎn)指向和

剛度退化規(guī)則加以規(guī)定。在

動力計(jì)算開始前要存貯骨架

曲線界點(diǎn)值，在計(jì)算中要存

貯反向曾經(jīng)經(jīng)歷過的變形最

大值和損傷狀態(tài)值。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、剛度修正技術(shù)（1）根據(jù)變形速度的符號判定變形方向，然后判明本步變形

絕對值是否超過同方向歷史最大變形絕對值。當(dāng)超過時(shí)，

則加載點(diǎn)必在骨架曲線上，此時(shí)，可將本步累積變形值與

骨架曲線界點(diǎn)變形值相比較。超過界點(diǎn)值時(shí)改變狀態(tài)標(biāo)識

變量并修正剛度；不超過界點(diǎn)值時(shí)，不修正剛度。而當(dāng)不

超過歷史最大變形絕對值時(shí)，應(yīng)進(jìn)一步判明相鄰時(shí)刻內(nèi)力

是否反號，反號時(shí)，則修正剛度，否則不修正剛度；

（2）當(dāng)相鄰時(shí)刻變形速度值發(fā)生變化時(shí)，變形反向，此時(shí)，

取卸載段退化剛度為本步剛度值。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University二、剛度修正技術(shù)（續(xù)）同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、剛度修正技術(shù)

在剛度修正技術(shù)中，還有界點(diǎn)剛度轉(zhuǎn)換問題，即在前

后兩時(shí)刻剛度發(fā)生變化（即恢復(fù)力曲線有轉(zhuǎn)折）時(shí)，需將

時(shí)間步長分割，求出剛度發(fā)生變化時(shí)（即到達(dá)恢復(fù)力曲線

的轉(zhuǎn)折點(diǎn)）的時(shí)刻。在此時(shí)刻之前按原剛度計(jì)算，在此時(shí)

刻之后按改變后的剛度計(jì)算。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University三、一般分析過程?

彈塑性結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析的思路分為三個(gè)基本組成部分：

數(shù)值積分

反應(yīng)值迭加

剛度修正?

一般的分析流程見圖6.5。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention?三、一般分析過程同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention第二節(jié)

串聯(lián)多自由度體系分析

當(dāng)不考慮結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)振動和土－結(jié)相互作用時(shí)，一般

多層結(jié)構(gòu)或高聳結(jié)構(gòu)可以抽象為一個(gè)底部嵌固的串聯(lián)多

自由度體系。一、剪切模型二、彎剪模型同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention一、剪切模型?

當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形主要表現(xiàn)為集中質(zhì)量層之間的錯(cuò)動，且這種錯(cuò)動可

視為層間剪切角變位的結(jié)果時(shí)，則可將結(jié)構(gòu)簡化為剪切模型。?

一般說來，高寬比不大的多層建筑、強(qiáng)梁弱柱的框架體系等可以

作為剪切結(jié)構(gòu)考慮。=

???Ki

=

3其中yi為第I層的位移

，??

yβ

=GAh2同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention一、剪切模型?

由于不考慮樓板的轉(zhuǎn)角變形，因此，剪切模型的層間單元?jiǎng)偠?/p>

μ為剪應(yīng)力不均勻系數(shù)；h為層高；A，J分別為截面積和慣性矩?

根據(jù)Q－Δ恢復(fù)力關(guān)系進(jìn)行動力分析時(shí)，彈性層間剛度為：?

K

i

??

y

i

?矩陣服從以下關(guān)系：?Q

iA

?

?

K

i?Q

iB

?

??

K

i

12EJ

h

(1+2β)

?K

i

??

i?1

?

6μEJ

，iKQ

iΔ

i=idQ(t)dΔi(t)?

在彈塑性階段，則有：Ki(t)=上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University二、彎剪模型?

高寬比大于4的結(jié)構(gòu)、強(qiáng)柱弱梁型結(jié)構(gòu)和高聳結(jié)構(gòu)等，在結(jié)構(gòu)振動時(shí)，彎曲效應(yīng)不容忽視。應(yīng)采用同時(shí)考慮彎曲變形和剪切變形的彎剪模型。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University二、彎剪模型?

層間單元?jiǎng)偠染仃嚪南率鲆话汴P(guān)系：

?QiA

?

?

K4i

?K4i

?K3i

?K3i??ui

?

4i

4i

3i

?

K3i

K2i為區(qū)別剪切模型，這里以u為水平位移，而θ為轉(zhuǎn)角未知量。式中剛度系數(shù)的具體形式見公式6.15。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、彎剪模型

彎剪模型區(qū)別于剪切模型的根本點(diǎn)在于前者需考慮樓層處的彎曲轉(zhuǎn)角。引用靜態(tài)凝聚原理，則不增加動力方程的自由度數(shù)。將總剛度矩陣中與轉(zhuǎn)角有關(guān)的剛度系數(shù)并入僅與水平位移有關(guān)的剛度系數(shù)項(xiàng)。

自由振動的動平衡方程可以表示為：其中

[K]=[Ku]?[Kuθ][Kθθ]同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、彎剪模型

從上述方程的后一組n個(gè)方程中可以解出：

{θ}=

?[Kθθ]?1[Kθu]{u}

代入前一組n個(gè)方程可得：[K]稱為彎剪模型的等效結(jié)構(gòu)側(cè)移剛度矩陣。[Kθu]?1同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、彎剪模型&&

&

&&

[M]{U}+[C]{U}+[K]{U}=

?[M]{Ug}引用等效側(cè)移剛度矩陣，動力方程如上式所示，動力自由

度數(shù)等于集中質(zhì)量個(gè)數(shù)。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention第三節(jié)

平面框架模型

?

平面框架模型就是將一般框架結(jié)構(gòu)單獨(dú)抽出一榀或經(jīng)某種

假定簡化為一榀框架所假定的模型。

?

這種模型的彈塑性動力反應(yīng)分析一般以梁、柱構(gòu)件作為最

小單元進(jìn)行分析。

?

典型的構(gòu)件模型有桿端彈塑性彈簧模型、分割梁模型、假

設(shè)變形函數(shù)模型等。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention第三節(jié)

平面框架模型一、桿端彈塑性彈簧模型二、分割梁模型三、半剛架模型同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention一、桿端彈塑性彈簧模型

?

這種類型的基本思想在于把桿件中的塑性變形全部集中在

桿端，并以桿端等效的彈塑性回轉(zhuǎn)彈簧等價(jià)地表示。彈簧

之間的桿件僅發(fā)生彈性變形。

?

模型的基本假定：

（1）桿件的彈塑性變形狀態(tài)可以用圖6.8等價(jià)地表示；

（2）桿端塑性轉(zhuǎn)角只與本端彎矩增量有關(guān)；

（3）采用以單根構(gòu)件試驗(yàn)為基礎(chǔ)的桿端力矩－桿端轉(zhuǎn)角恢

復(fù)力關(guān)系作為基準(zhǔn)恢復(fù)力曲線，而不考慮各構(gòu)件相互聯(lián)結(jié)

的影響。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University一、桿端彈塑性彈簧模型同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention二、分割梁模型

?

桿端彈簧模型把沿桿件分布的損傷分別集中于桿端，并假

定桿端塑性轉(zhuǎn)角增量僅與本端彎矩增量有關(guān)。這些假定在

反彎點(diǎn)位置偏離構(gòu)件中點(diǎn)很遠(yuǎn)的場合是不適用的。

?

分割梁模型是把構(gòu)件分割成若干個(gè)沿桿軸線的假想并列桿

件，各桿件僅在桿端相連，而沿桿軸各點(diǎn)上則有不同的變

形。

?

依據(jù)采用的恢復(fù)力骨架曲線的不同，分割梁模型又有雙分

量模型、三分量模型等類型。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention1、雙分量模型

（見圖6.11）?

克拉夫設(shè)想將桿分割為剛度分別為pK和qK的兩個(gè)平行的分桿

，從而引出雙分量模型的概念，圖6.11表示這種分解與合成

的全過程。?

根據(jù)桿端轉(zhuǎn)角的大小，桿件將分別處于兩端彈性連接，一端

彈性連接、另一端塑性鉸接或兩端塑性鉸接等不同狀態(tài)。?

雙分量模型的單元?jiǎng)偠染仃嚳捎筛鞣謼U端部連接部分的變形

相容條件和各桿的力平衡條件來確定。（見P178）?

雙分量模型不考慮剛度退化和反向的最大點(diǎn)指向，卸載時(shí)采

用原點(diǎn)加載剛度，反向加載時(shí)亦如此。?

雙分量模型不能表示工程結(jié)構(gòu)構(gòu)件的剛度退化性質(zhì)。同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention1、雙分量模型

（見圖6.11）?

圖c表示第一分桿的恢復(fù)力曲線，它表示一根完全彈性桿，圖e表示第二分桿的恢復(fù)力曲線，它對應(yīng)一根彈塑性桿。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University2、三分量模型

（見圖6.13）?

三分量模型與雙分量模型的唯一差別在于它用三根分桿模擬恢復(fù)力模型，圖6.13表示其剛度分解過程和各分桿的恢復(fù)力曲線。?

構(gòu)件兩端分別有彈性、開裂、屈服等三個(gè)不同狀態(tài)，因此有九種不同的剛度矩陣。圖6.14表示了考慮剛度退化的恢復(fù)力情況。?

應(yīng)當(dāng)指出，分割梁模型中的單元?jiǎng)偠染仃囀侨啃偷?，而桿端彈簧模型則為增量型的。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University2、三分量模型

（見圖6.13）同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention三、半剛架模型

?

采用桿系模型進(jìn)行彈塑性動力分析中，一個(gè)比較突出的問

題就是結(jié)構(gòu)的計(jì)算自由度多，計(jì)算工作量大。因此，在上

述桿系模型的基礎(chǔ)上，發(fā)展了半剛架模型的簡化動力分析

方法。?

基本的半剛架簡化方法有兩類：

將各構(gòu)件特性集成

將各構(gòu)件特性平均)

b

=

2∑

(

EI

)

bi∑2∑同濟(jì)大學(xué)Tongji

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三、半剛架模型?

如圖6.15所示，對于一般的n跨平面剛架結(jié)構(gòu)，依據(jù)同一樓

層各節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角變形與剪切變形相等的假定，可導(dǎo)出將平面

框架轉(zhuǎn)化為圖示半剛架的規(guī)則如下：

（1）彈性參數(shù)

n+1

i=1

ni

=1(梁彎曲剛度：

EI柱高：H

c

=

H

ci梁長：

L

b

=

ni

=

1

n

i

=

1(

EI

)

bi

(

EI

)

bi

L

bi∑

(M∑(M

s

b

=

2α∑(M

s

bi上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University

三、半剛架模型?（2）

恢復(fù)力特性參數(shù)柱初始屈服彎矩：柱極限屈服彎矩：梁初始屈服彎矩：n

+1i=1s)

ci(M

s

)

c

=

αn

+1i=1p)

cip)

c

=(M(M

n)

)

i=1

n

)

式中引入α為反映原框架各層的梁、柱受力不均勻因而屈服不同時(shí)發(fā)生所造成的影響，稱之為半框架初始屈服折減系數(shù)，一般可取α＝0.7－0.9?！?/p>

i=1

(

p1)bi上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University三、半剛架模型?

對于圖6.16所示的三折線型恢復(fù)力骨架曲線，轉(zhuǎn)化恢復(fù)力特性參數(shù)尚包括剛度折減系數(shù)p1

可取為：1

n+1

i=11

nn?

梁剛度折減系數(shù)：p1)b

=(同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention第四節(jié)

多維地震波作用下的平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)

由于設(shè)計(jì)要求和隨機(jī)因素的影響，實(shí)際結(jié)構(gòu)都可視為非對

稱結(jié)構(gòu)。在多維地震波作用下，非對稱結(jié)構(gòu)的振動一般表現(xiàn)為

平移與扭轉(zhuǎn)耦合的振動形式。

根據(jù)基本抗側(cè)力構(gòu)件雙向相互作用的強(qiáng)弱，把平－扭耦聯(lián)

振動問題按結(jié)構(gòu)材料類型分為：

弱相互作用模型

強(qiáng)相互作用模型

一、一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的動力方程

二、弱相互作用模型

三、強(qiáng)相互作用模型同濟(jì)大學(xué)Tongji

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Prevention一、一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的動力方程

?

一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的平面結(jié)構(gòu)形式如圖6.18所示。

?

對此類結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行平扭耦合振動分析時(shí)，一般沿用樓板平

面內(nèi)無限剛性和平面外完全柔性的假定。

?

樓板剛性假定，即不考慮樓板在平面內(nèi)的剪切變形與彎曲變

形。

?

樓板平面外完全柔性的假定，則可以不考慮樓板與框架梁的

共同作用。

?

可根據(jù)結(jié)構(gòu)形式將支承構(gòu)件分組為若干平面子結(jié)構(gòu)（如一榀

平面框架或一片剪力墻），然后根據(jù)樓板平面內(nèi)無限剛性假

定來考慮各平面子結(jié)構(gòu)在樓板平面內(nèi)的協(xié)同工作。上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University一、一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的動力方程上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

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University一、一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的動力方程?

平面子結(jié)構(gòu)在自身主軸方向產(chǎn)生單位層間位移所需力為k（即層間剛度），則平面子結(jié)構(gòu)i由于位移矢量而引起的沿子結(jié)構(gòu)軸向的力為:?

ai為子結(jié)構(gòu)主

軸方向與x軸

的夾角，xi，

yi為子結(jié)構(gòu)中

性軸與主軸交

點(diǎn)處的坐標(biāo)值

，ri為坐標(biāo)系

原點(diǎn)到子結(jié)構(gòu)

主軸的距離∑∑GA

=

∑

∑?

平面子結(jié)構(gòu)的等效抗剪剛度為：h上海防災(zāi)救災(zāi)研究所Shanghai

Institute

of

Disaster

Prevention

同濟(jì)大學(xué)

Tongji

University?一、一般平－扭耦聯(lián)系統(tǒng)的動力方程?

式中j為單個(gè)構(gòu)件序號；m為子結(jié)構(gòu)中構(gòu)件個(gè)數(shù)。+=jj?

平面子結(jié)構(gòu)的抗彎剛度為：

EI

mj

=1EA

jl

2

mj

=1(

EI

)j

m

mj=1

j=112(EI

)