四種常見的幾何關(guān)系的探究課件

雙休作業(yè)(四)2四種常見的幾何關(guān)系的探究第12章

全等三角形雙休作業(yè)(四)第12章全等三角形123412341．如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB.求證AM⊥AN.1題型位置關(guān)系1．如圖，已知BE⊥AC，CF⊥AB，BM＝AC，CN＝AB證明：如圖所示．

∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠1＋∠BAC＝90°，∠2＋∠BAC＝90°.∴∠1＝∠2.證明：如圖所示．又∵BM＝CA，AB＝NC，∴△ABM≌△NCA(SAS)．∴∠3＝∠N.∵∠N＋∠4＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，即∠MAN＝90°.∴AM⊥AN.返回又∵BM＝CA，AB＝NC，返回2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.求證∠C＝∠A.2題型相等關(guān)系2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD.2題型返回證明：連接DB.在△BCD和△BAD中，∴△BCD≌△BAD(SSS)．∴∠C＝∠A.返回證明：連接DB.∴△BCD≌△BAD(SSS)．3．如圖，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F(xiàn)分別是直線CD上的三點(diǎn)，且∠BEC＝∠CFA＝α.請?zhí)岢鰧?題型和差關(guān)系EF，BE，AF三條線段之間數(shù)量關(guān)系的合理猜想，并證明．3．如圖，∠BCA＝α，CA＝CB，C，E，F(xiàn)分別是直線CD解：猜想：EF＝BE＋AF.證明：∵∠BCE＋∠CBE＋∠BEC＝180°，∠BCE＋∠ACF＋∠BCA＝180°，∠BCA＝α＝∠BEC，∴∠CBE＝∠ACF.又∵∠BEC＝∠CFA＝α，CB＝AC，∴△BEC≌△CFA(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA.∴EF＝CF＋EC＝BE＋AF.返回解：猜想：EF＝BE＋AF.返回4．(中考?貴陽)(1)【閱讀理解】如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．4題型不等關(guān)系4．(中考?貴陽)(1)【閱讀理解】4題型不等關(guān)系解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中．利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是____________．2<AD<8解決此問題可以用如下方法：延長AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接(2)【問題解決】如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF.求證BE＋CF＞EF.(2)【問題解決】證法一：如圖①，延長FD至點(diǎn)G，使DG＝DF，連接BG，EG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DB＝DC.又∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，∴△BDG≌△CDF(SAS)．∴BG＝CF.證法一：如圖①，延長FD至點(diǎn)G，使DG＝DF，連接BG，EG∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠EDG＝90°.又∵ED＝ED，F(xiàn)D＝GD，∴△EDF≌△EDG(SAS)．∴EF＝EG.在△BEG中，∵BE＋BG>EG，∴BE＋CF>EF.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝∠EDG＝90°.證法二：如圖②，作∠EDG＝∠EDB，在DG邊上截取DG＝DB，連接EG，F(xiàn)G.∵DE＝DE，∠EDG＝∠EDB，DG＝DB，∴△EDG≌△EDB(SAS)．∴BE＝EG.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DC＝DB.∴DG＝DC.證法二：如圖②，作∠EDG＝∠EDB，在DG邊上截取DG＝D∵ED⊥FD，∴∠EDF＝90°.∴∠EDG＋∠FDG＝90°，∠EDB＋∠FDC＝90°.∴∠FDG＝∠FDC.又∵DF＝DF，∴△FDG≌△FDC(SAS)．∴FG＝FC.在△EFG中，∵EG＋FG>EF，∴BE＋CF>EF.∵ED⊥FD，∴∠EDF＝90°.(3)【問題拓展】如圖③，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD,∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作一個70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF.探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)【問題拓展】兩邊分別交AB，AD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF解：BE＋DF＝EF.理由如下：方法一：如圖①，延長AB至點(diǎn)G，使BG＝DF.∵∠ABC＋∠D＝180°，∠ABC＋∠CBG＝180°，∴∠CBG＝∠D.解：BE＋DF＝EF.理由如下：又∵CB＝CD，∴△CBG≌△CDF(SAS)．∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，∴∠DCF＋∠BCE＝70°.∴∠BCE＋∠BCG＝70°.∴∠ECG＝∠ECF＝70°.又∵CB＝CD，又∵CE＝CE，CG＝CF，∴△ECG≌△ECF(SAS)．∴EF＝EG.∵BE＋BG＝EG，∴BE＋DF＝EF.又∵CE＝CE，CG＝CF，方法二：如圖②，作∠ECG＝∠ECB，在CG邊上截取CG＝CB，連接EG，F(xiàn)G.∵CE＝CE，∠ECG＝∠ECB，CG＝CB，∴△ECG≌△ECB(SAS)．∴BE＝EG，∠CGE＝∠B.∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，方法二：如圖②，作∠ECG＝∠ECB，在CG邊上截取CG＝C∴∠ECG＋∠FCG＝70°，∠BCE＋∠FCD＝70°.∴∠FCG＝∠FCD.∵CF＝CF，CG＝CB＝CD，∴△FCG≌△FCD(SAS)