2021-2023三年高考數(shù)學(xué)真題分項匯編：專題18 坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講（全國通用）（解析版）

專題18坐標(biāo)系與參數(shù)方程、不等式選講知識點目錄知識點1：不等式選講之面積問題知識點2：不等式選講之證明不等式、范圍問題知識點3：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化知識點4：的幾何意義近三年高考真題知識點1：不等式選講之面積問題1．（2023?甲卷（文））設(shè)，函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．【解析】（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，由得，，此時，當(dāng)時，由得，，此時，綜上，即不等式的解集為，．（2）作出的圖象如圖：則，，，，，則，則的高，則，得，即．2．（2023?乙卷（文））已知．（1）求不等式的解集；（2）在直角坐標(biāo)系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積．【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，由得，得，即，此時．當(dāng)時，由得，得，即，此時．當(dāng)時，由得，得，即，此時．綜上，即不等式的解集為，．（2）不等式組等價為，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：則，，由，得，即，由，得，即，則陰影部分的面積．3．（2023?甲卷（理））已知，．（1）解不等式；（2）若曲線與軸所圍成的面積為2，求．【解析】（1），，可化為：，，，，又，，原不等式的解集為，，其中；（2），，的對稱軸為，且最低點的坐標(biāo)為令，可得的兩零點分別為和，函數(shù)圖象大致如下：曲線與軸所圍成的面積為，解得．知識點2：不等式選講之證明不等式、范圍問題4．（2022?乙卷（文））已知，，都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）．【解析】（1）證明：，，都是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．因為，所以，所以，所以，得證．（2）根據(jù)基本不等式，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故得證．5．（2022?甲卷（文））已知，，均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則．【解析】證明：（1），，均為正數(shù)，且，由柯西不等式知，，即，；當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號；（2）法一、由（1）知，且，故，則，由權(quán)方和不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，故．法二、由（1）知，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ?，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪ⅲ剩?．（2021?乙卷（文））已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，，或或，或，不等式的解集為，，．（2），若，則，當(dāng)時，不等式恒成立；當(dāng)時，，不等式兩邊平方可得，解得，綜上可得，的取值范圍是，．知識點3：直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化7．（2021?乙卷（文））在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1．（1）寫出的一個參數(shù)方程；（2）過點作的兩條切線．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求這兩條切線的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）的圓心為，半徑為1，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的一個參數(shù)方程為為參數(shù)）．（2）由題意可知兩條切線方程斜率存在，設(shè)切線方程為，即，圓心到切線的距離，解得，所以切線方程為，因為，，所以這兩條切線的極坐標(biāo)方程為．8．（2022?甲卷（文））在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．（1）寫出的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點的直角坐標(biāo)，及與交點的直角坐標(biāo)．【解析】（1）由為參數(shù)），消去參數(shù)，可得的普通方程為；（2）由為參數(shù)），消去參數(shù)，可得的普通方程為．由，得，則曲線的直角坐標(biāo)方程為．聯(lián)立，解得或，與交點的直角坐標(biāo)為，與；聯(lián)立，解得或，與交點的直角坐標(biāo)為，與．9．（2022?乙卷（文））在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若與有公共點，求的取值范圍．【解析】（1）由，得，，又，，，即的直角坐標(biāo)方程為；（2）由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）．消去參數(shù)，可得，聯(lián)立，得．，令，可得，當(dāng)時，，，，的取值范圍是，．10．（2023?乙卷（文））在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線為參數(shù)，．（1）寫出的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線既與沒有公共點，也與沒有公共點、求的取值范圍．【解析】（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，因為，，，，，，所以的直角坐標(biāo)方程為，，，，；（2）由于曲線的方程為，，曲線為參數(shù)，，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，；如圖所示：由于與圓相交于點，即，當(dāng)時，直線與曲線沒有公共點；當(dāng)曲線與直線相切時，圓心到直線的距離，解得（負(fù)值舍去），由于直線與曲線沒有公共點，所以，故直線既與沒有公共點，也與沒有公共點、實數(shù)的取值范圍為．知識點4：的幾何意義11．（2023?甲卷（理））已知，直線為參數(shù)），為的傾斜角，與軸，軸正半軸交于，兩點，．（1）求的值；（2）以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程．【解析】（1）已知，直線為參數(shù)），與軸，軸正半軸交于，兩點，．令，解得，令，解得，由于，所以，故，解得，故或，解