-第3章-圖像變換-PPT幻燈片

數(shù)字圖像處理的計算方法本質上都可看成是線性的，處理后的輸出圖像陣列可看作輸入圖像陣列的各個元素經加權線性組合而得到，這種空間線性處理要比非線性處理簡單。正交變換是圖像處理技術的一種重要工具，在圖像處理中，如圖像增強、復原、編碼、描述和特征提取等方面，都有著廣泛的應用。通過正交變換改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù)，給后續(xù)處理工作帶來了極大的方便。三大類型:

正弦型變換:傅里葉變換、余弦變換和正弦變換；

方波型變換:哈達瑪變換、沃爾什變換、斜變換和Haar變換；基于特征向量的變換:Hotelling變換、K－L變換和SVD變換。4.1圖像的正交變換對于數(shù)字圖像或圖像塊f(x,y)，其二維離散線性變換的一般形式為： (4.1.1)反變換為： (4.1.2)在變換中，大部分變換核可分離的： (4.1.3) (4.1.4)正變換核4.1圖像的正交變換4.2傅里葉變換1.1-DFourier變換

對一個連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個離散序列。設采了N個樣,則序列可表示為{f(0),f(1),f(2),….,f(N-1)},借助這種表達,可將離散傅里葉變換對定義為:

(4.2.1) (x:離散實變量,u:離散頻率變量) (4.2.2)

與1-D情況類似，2-D傅利葉變換的頻譜、相位角和功率譜定義：

(4.2.11)(4.2.12)2.2-DFourier變換(4.2.13)例：2-D圖像及其傅頻譜的顯示例：灰度圖像及其傅頻譜的顯示

djhw例：彩色圖像及其傅頻譜的顯示djhw傅里葉變換結果的頻率成分的分布

四角周圍對應于低頻成分，中央部位對應于高頻成分。為使直流成分出現(xiàn)在變換結果數(shù)組的中央，可采用對角的換位方法。注意；換位后的數(shù)組再進行反變換時，必須先反換位。4.3離散傅里葉變換的若干性質離散傅里葉變換建立了函數(shù)在空間域與頻率域之間的轉換關系，把空間域難以顯現(xiàn)的特征在頻域中十分清楚地顯現(xiàn)出來。二維離散傅里葉變換的性質。1．周期性和共軛對稱性若離散博里葉變換和它的反變換周期為N，則有

(4.2.16)共軛對稱性可表示為：

(4.2.17)

(4.2.18)4.3離散傅里葉變換的若干性質2．分離性一個二維傅里葉變換可由連續(xù)2次一維傅里葉變換來實現(xiàn)。式(4.2.16)可分成下面兩式：

(4.2.19) (4.2.20)xyN-1N-1N-1N-1vuxvN-1N-14.3離散傅里葉變換的若干性質3．平移性質傅里葉變換對的平移性可表示為： (4.2.21)和 (4.2.22)21式表明，將f(x,y)與一個指數(shù)相乘相當于把其變換后的頻域中心移動到新的位置(u0,v0)。22式表明將F(u,v)與一指數(shù)項相乘相當把反變換后的空域中心移位(x0,y0)。從22式還知：對f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的幅值。4.3離散傅里葉變換的若干性質4．旋轉性質首先借助極坐標變換x=rcos?、y=rsin?，u=ωcosΦ中、v=ωsinΦ將f(x,y)和F(u,v)轉換為f(r,?)和F(ω,Φ)，代入傅里葉變換對：

(4.2.23)上式表明，對f(x,y)旋轉?0的傅里葉變換對應于其傅里葉變換F(u,v)也旋轉?0，反之亦然。

5．分配律

根據(jù)傅里葉變換對定義可得： (4.2.24)表明傅里葉變換和反變換對加法滿足分配律，但對乘法則不滿足。6．尺度變換（縮放）給定兩個標量a和b，可證明傅里葉變換有以下2式成立：

(4.2.25)(4.2.26)7．平均值

對二維離散函數(shù)f(x,y)，其平均值可用下式表示：

如將u=v=0代入(4.2.9)，得：8．離散卷積定理設f(x,y),g(x,y)分別是AXB和CXD的2個離散函數(shù)，則它們的離散卷積定義為: (4.2.28)(4.2.27)式中：x=0,1,…,M-1;y=0,1,…,N-1;M=A+C-1;N=B+D-1對兩邊進行傅里葉變換： (4.2.29)這就是空間域卷積定理。(4.2.30)4.3離散傅里葉變換的若干性質9．離散相關定理

大小為AXB和CXD的2個離散函數(shù)f(x,y)、g(x,y)的互相關定義為：式中，M=A＋C-1；N=B＋D-1。則相關定理為:(4.2.32)(4.2.31)4.4離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)函數(shù)fft、fft2和fftn分別實現(xiàn)一、二和N維DFT算法，函數(shù)ifft、ifft2和ifftn用來計算反DFT，它們是以需要進行反變換的圖像作為輸入?yún)?shù)，計算得到的輸出圖像。這些函數(shù)的調用格式如下： A＝fft(X,N,DIM)其中:X輸入圖像，N采樣間隔點，如X小于N則對X填零否則截取為N；DIM變換的維數(shù);A返回矩陣。A＝fft2(X,MROWS,NCOLS)其中，MROWS和NCOLS指定對X進行零填充后的X大小。4.4離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn) A＝fftn(X,SIZE)SIZE是個向量，它的每個元素指定X維零填充后的長度。ifft、ifft2和ifftn的調用格式與對應的變換函數(shù)一致。例4.1圖像f(x,y)的顯示及其傅里葉變換。 F=fft2(f);F2=log(abs(F));imshow(F2,[-1,5],'notruesize')結果如下：

變換較糙-->填零為2的冪F=fft2(f,256,256)-->F2=fftshift(F)修正原點構造一個二值圖像f：f=zeros(30,30);f(5:24,13:17)=1;imshow(f,'notruesize')4.4離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)例4.2圖像的二維離散博里葉頻譜。

I=imread('c:\grayqw.bmp')；imshow(I) J=fftshift(fft2(I))； figure; imshow(log(abs(J)),[8,10])；4.4離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)例4.3二維離散傅里葉變換的旋轉性。I=zeros(256,256);

％構造圖像并顯示I(28:228,108:148)=1;imshow(I)J=fft2(I);F=abs(J);％變換后顯示J1=fftshift(F);imshow(J1,[5,50])K=imrotate(I,45,'bilinear','crop');imshow(K)J=fft2(K);F=abs(J);J2=fftshift(F);imshow(J2,[5,50])4.4離散傅里葉變換的Matlab實現(xiàn)例4.4比例尺展寬。

I=zeros(256,256); fori=1:256I(28:248,110:136)=5; forj=1:256imshow(I) I(i,j)=I(I,j)*a;a=0.1;b=0.5;

endJ3=fft2(I) endF2=abs(J3); J2=fft2(I);F1=abs(J2);J4=fftshift(F2); J3=fftshift(F1);imshow(J4,[530]) imshow(J3,[530])4.5離散余弦變換離散余弦變換（DCT）的變換核為實數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計算速度要比變換核為指數(shù)的DFT快得多，已廣泛應用到圖像壓縮編碼、語音信號處理等眾多領域。4.5.1一維離散余弦變換函數(shù)f(x)的一維DCT為:式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。(4.5.1)4.5離散余弦變換離散余弦變換（DCT）的變換核為實數(shù)的余弦函數(shù)，因而DCT的計算速度要比變換核為指數(shù)的DFT快得多，已廣泛應用到圖像壓縮編碼、語音信號處理等眾多領域。4.5.1一維離散余弦變換函數(shù)f(x)的一維DCT為:式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。(4.5.1)4.5離散余弦變換式中，u=1,2,3,…,N-1；x=1,2,3,…,N-1。反變換為:(4.5.2)(4.5.3)(4.5.4)4.5.2二維離散余弦變換

將一維離散余弦變換擴展到二維離散余弦變換對為:其他(4.5.5)其他

該變換實際上是傅里葉變換的實數(shù)部分，但它比傅里葉變換有更強的信息集中能力。對于大多數(shù)自然圖像，該變換能將主要的信息放到較少的系數(shù)上去，因此就更能提高編碼的效率。4.5.3離散余弦變換的Matlab實現(xiàn)函數(shù)dct2和idct2用于二維DCT變換和反變換。1．dct2函數(shù) 功能：二維DCT變換。格式：B=dct2(A)B=dct2(A,m,n)B=dctZ(A,[mn])說明:1式計算A的DCT變換B,A與B大小相同；2和3式通過對A補0或剪裁，使B的大小為mxn。2．idctZ函數(shù) 功能：DCT反變換。格式：B=idct2(A)B=idct2(A,m,n)B=idctZ(A,[mn])3．dctmtx函數(shù)功能：計算DCT變換矩陣。格式：D=dctmtx(n)說明：返回一個nXn的DCT變換矩陣，數(shù)據(jù)為double類型。例4.5二維余弦正反變換的實現(xiàn)。

RGB=imread(‘c:\qw.bmp’)；％讀入彩色圖像I=rgb