第二章-§-函數(shù)的單調(diào)性

第二章函數(shù)理解教材新知§3函數(shù)的單調(diào)性把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二給定了幾個(gè)函數(shù)的圖像問題1：從圖像上升或下降的角度，你能描述一下上面幾個(gè)函數(shù)的變化規(guī)律嗎？提示：(1)中，從左向右是上升的．

(2)中，從左向右在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的．

(3)中，從左向右上升→下降→上升．問題2：以上幾個(gè)圖像的升與降反映了函數(shù)值y與自變量x怎樣的變化規(guī)律？提示：在上升部分的圖像上，y隨x的增大而增大，在下降部分的圖像上，y隨x的增大而減小．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A，

(1)如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的，有時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是

．

(2)如果對(duì)于

兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是

．f(x1)<f(x2)遞增的任意f(x1)>f(x2)遞減的函數(shù)y＝f(x)在[－3,3]上的圖像如下：問題：該函數(shù)的圖像在哪些區(qū)間上呈上升趨勢(shì)？在哪些區(qū)間上呈下降趨勢(shì)？提示：在區(qū)間[－3，－2]，[2,3]上呈上升趨勢(shì)，在區(qū)間[－2,2]上呈下降趨勢(shì)．1．單調(diào)性如果y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為

；如果函數(shù)y＝f(x)在定義域的某個(gè)子集上是增加的或是減少的，那么就稱函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)子集上具有單調(diào)性．

2．單調(diào)函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的或是減少的，分別稱這個(gè)函數(shù)為

或

，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)．單調(diào)區(qū)間增函數(shù)減函數(shù)1．單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性．

2．單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1、x2有以下幾個(gè)特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字絕不能丟掉，證明單調(diào)性時(shí)更不可隨意以兩個(gè)特殊值替換；二是有大小，通常規(guī)定x1<x2；三是屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．3．單調(diào)性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2)．

4．并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性．若一個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不存在單調(diào)性．[一點(diǎn)通]

用定義判斷或證明單調(diào)性的步驟：

(1)設(shè)元：在指定區(qū)間內(nèi)任取x1，x2且x1<x2.(2)作差變形：計(jì)算f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子(幾個(gè)因式的積或幾個(gè)完全平方和)．

(3)定號(hào)：確定f(x2)－f(x1)的符號(hào)，當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可考慮分類討論．

(4)判斷：根據(jù)f(x2)－f(x1)的符號(hào)及定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．x∈(－∞，－2]時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝________.(1)設(shè)元：在指定區(qū)間內(nèi)任取x1，x2且x1<x2.對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A，∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，(3)中，從左向右上升→下降→上升．6．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，4．并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性．若一個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不存在單調(diào)性．(3)比較大小．解題時(shí)，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3．單調(diào)性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)?f(x1)<f(x2)∴此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1－a.1．單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在定義域的不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性．問題：該函數(shù)的圖像在哪些區(qū)間上呈上升趨勢(shì)？在哪些區(qū)間上呈下降趨勢(shì)？在區(qū)間[－2,2]上呈下降趨勢(shì)．如果函數(shù)y＝f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的或是減少的，分別稱這個(gè)函數(shù)為或，統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)．函數(shù)圖像如圖所示．函數(shù)在(－∞，－1]和[0,1]上是增函數(shù)；函數(shù)在[－1,0]和[1，＋∞)上是減函數(shù)．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]，單調(diào)減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)．[一點(diǎn)通]利用函數(shù)圖像確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，具體做法是：先化簡函數(shù)解析式，然后再畫出它的草圖，最后根據(jù)函數(shù)定義域與草圖的位置、狀態(tài)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．注意：當(dāng)單調(diào)性相同的區(qū)間多于一個(gè)時(shí)，用“和”“或”連接，不能用“∪”連接．f(x1)<f(x2)解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，(2)中，從左向右在y軸左側(cè)是上升的，在y軸右側(cè)是下降的．(3)中，從左向右上升→下降→上升．(2)作差變形：計(jì)算f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子(幾個(gè)因式的積或幾個(gè)完全平方和)．如果y＝f(x)在區(qū)間A上是增加的或是減少的，那么就稱A為；3．函數(shù)y＝|x|(1－x)的單調(diào)增區(qū)間為________．[一點(diǎn)通]函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，主要有：∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－a]．4．并不是所有函數(shù)都具有單調(diào)性．若一個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上既有增區(qū)間又有減區(qū)間，則此函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上不存在單調(diào)性．(1)如果對(duì)于任意兩數(shù)x1，x2∈A，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有在區(qū)間[－2,2]上呈下降趨勢(shì)．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函f(x1)<f(x2)C．f(a2－1)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a)解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，3．函數(shù)y＝|x|(1－x)的單調(diào)增區(qū)間為________．4．已知f(x)＝|x2－x－12|，求f(x)的單調(diào)區(qū)間．[一點(diǎn)通]函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，主要有：(1)求參數(shù)的范圍；(2)解不等式；(3)比較大?。忸}時(shí)，注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

.5．若函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，則 (

)A．f(a)>f(2a)

B．f(a2)<f(a)C．f(a2－1)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a)答案：D6．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，

x∈(－∞，－2]時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝________.答案：13(3)中，從左向右上升→下降→上升．(2)作差變形：計(jì)算f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子(幾個(gè)因式的積或幾個(gè)完全平方和)．[一點(diǎn)通]函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用比較廣泛，主要有：x∈(－∞，－2]時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝________.1．單調(diào)性(3)中，從左向右上升→下降→上升．?dāng)?shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．，那么，就稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是減少的，有時(shí)也稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間A上是．f(x1)<f(x2)所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，－1]和[0,1]，單調(diào)減區(qū)間是[－1,0]和[1，＋∞)．∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，3．單調(diào)性能使自變量取值之間的不等關(guān)系和函數(shù)值的不等關(guān)系正逆互推，即由f(x)是增(減)函數(shù)且f(x1)<f(x2)?(2)作差變形：計(jì)算f(x2)－f(x1)，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子(幾個(gè)因式的積或幾個(gè)完全平方和)．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函

數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，

∴此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1－a.∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴對(duì)稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.(3)y＝a(x－m)2＋n，a>0時(shí)單調(diào)減區(qū)間為(－∞，m]，單調(diào)增區(qū)間為[m，＋∞)；a<