2023-2024學(xué)年江蘇省泰州市部分校高二（上）期初聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，則該直線的傾斜角為()

A.B.C.D.

2.若平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，則()

A.或B.或C.D.或

3.已知直線的斜率為，傾斜角為，若，則的取值范圍為．()

A.B.

C.D.

4.圓與圓的公切線共有

A.條B.條C.條D.條

5.過兩點(diǎn)和的直線在軸上的截距為()

A.B.C.D.

6.直線被圓所截得的弦長為()

A.B.C.D.

7.若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()

A.B.

C.D.

8.若圓：上至少有個(gè)點(diǎn)到直線：的距離為，則的取值范圍是()

A.B.

C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列說法正確的是()

A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率

B.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為

C.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是

D.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為

10.已知直線：，其中，下列說法正確的是()

A.當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直

B.若直線與直線平行，則

C.直線過定點(diǎn)

D.當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

11.已知圓與圓的圓心不重合，直線下列說法正確的是()

A.若兩圓相交，則是兩圓的公共弦所在直線

B.直線過線段的中點(diǎn)

C.過直線上一點(diǎn)在兩圓外作兩圓的切線，切點(diǎn)分別為，則

D.直線與直線相互垂直

12.過直線上一點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，直線與，軸分別交于點(diǎn)，，則()

A.點(diǎn)恒在以線段為直徑的圓上B.四邊形面積的最小值為

C.的最小值為D.的最小值為

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.與圓：切于點(diǎn)的直線方程為___________．

14.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是___________．

15.過定點(diǎn)且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線截距式方程為______．

16.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的倍，則點(diǎn)的軌跡為的方程為，直線交于，兩點(diǎn)，，若的面積為，則實(shí)數(shù)的值為．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知兩條直線：，：，當(dāng)為何值時(shí)，與：

相交；

平行；

垂直．

18.本小題分

已知兩直線與，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且．

若與的距離為，求兩直線的方程；

若與之間的距離最大，求最大距離，并求此時(shí)兩直線的方程．

19.本小題分

已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，直線經(jīng)過點(diǎn)．

求外接圓的方程；

若直線與相切，求直線的方程；

若直線與相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

20.本小題分

已知點(diǎn)，圓：，過點(diǎn)的動直線與圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．

求的軌跡方程；

當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．

21.本小題分

如圖，函數(shù)的定義域?yàn)樵O(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上任一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作直線和軸的垂線，垂足分別為，．

證明：為定值；

為坐標(biāo)原點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

22.本小題分

已知圓與軸交于兩點(diǎn)，是圓上的動點(diǎn)，直線與分別與軸交于兩點(diǎn)．

若時(shí)，求以為直徑圓的面積；

當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí)，問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？如果過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過定點(diǎn)，說明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查直線的斜率公式，傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

先根據(jù)直線的斜率公式求出斜率，再根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，以及傾斜角的取值范圍，求出傾斜角的值．

【解答】

解：若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

則直線的斜率等于，

設(shè)直線的傾斜角等于，則有，

再由可得．

2.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了三點(diǎn)共線與斜率的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．

由平面內(nèi)三點(diǎn)共線，可得利用斜率計(jì)算公式即可得出．

【解答】

解：平面內(nèi)三點(diǎn)，，共線，

，化為：，

解得或，

故選A．

3.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題，

分銳角和鈍角分別求得的取值范圍，

【解答】

解：當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

的取值范圍是，

故選B．

4.【答案】

【解析】【分析】

本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判定以及兩圓公切線的條數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．

首先判斷出兩圓相外離，故公切線條．

【解答】

解：因?yàn)閳A化為，

它的圓心坐標(biāo)，半徑為，

圓化為，

它的圓心坐標(biāo)，半徑為，

因?yàn)椋?/p>

所以兩個(gè)圓相外離，所以兩個(gè)圓的公切線有條．

故選D

5.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線的截距，涉及直線的兩點(diǎn)式方程，屬基礎(chǔ)題．

由題意可得直線的兩點(diǎn)式方程，令解得值即為直線在軸上的截距．

【解答】

解：直線過點(diǎn)和，

直線的兩點(diǎn)式方程為，

化為一般式可得，

令可解得，

故直線在軸上的截距為．

6.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)、弦長，點(diǎn)到直線的距離，屬于基礎(chǔ)題．

由已知，根據(jù)題中給出的圓的方程，寫出圓心坐標(biāo)與半徑，然后求解圓心到直線的距離，最后利用垂徑定理可直接求解弦長．

【解答】

解：由已知，圓，圓心坐標(biāo)為，半徑為，

所以點(diǎn)到直線的距離為，

所以，直線被圓截得的弦長為．

故選：．

7.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．

若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于或等于半徑．

【解答】

解：由題意，得圓心為，半徑為．

圓心到直線的距離為，

由直線與圓有公共點(diǎn)可得，

，即，解得．

實(shí)數(shù)取值范圍是．

故選C．

8.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．

由題意求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心坐標(biāo)和半徑，再由題意至可得圓心到直線的距離不超過，求出的范圍．

【解答】

解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，

所以圓心，半徑為，

要滿足題意，由圓的幾何性質(zhì)得圓心到直線：的距離不超過，

則，解得，

所以的取值范圍是

故選C．

9.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線的傾斜角與斜率，判斷直線方程的求法、對稱知識以及直線的截距的應(yīng)用，屬于中檔題．

由題意對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷即可．

【解答】

解：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線不存在斜率，

所以所有的直線都有傾斜角，但不一定都有斜率，故A正確；

點(diǎn)與的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程，

并且兩點(diǎn)的斜率為：，

所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，

故B正確；

直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：，，

與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是：，

故C正確；

經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為或，

所以不正確；

故選ABC．

10.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查了直線的一般式方程，兩條直線垂直的判定，兩條直線平行的判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線的一般式方程，兩條直線垂直的判定，兩條直線平行的判定，

根據(jù)已知及直線的一般式方程，兩條直線垂直的判定，兩條直線平行的判定，可知哪幾個(gè)正確．

【解答】

解：當(dāng)時(shí)，直線：與直線垂直，故A正確，

B.當(dāng)時(shí)，直線：，直線與直線也平行，故B錯(cuò)誤，

C.將代入直線：得，所以直線過定點(diǎn)，故C正確，

D.當(dāng)時(shí)，直線：，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，故D錯(cuò)誤．

故選AC．

11.【答案】

【解析】【分析】

本題考查圓與圓的位置關(guān)系及判定，兩圓相交弦有關(guān)的綜合問題，以及圓的切線問題，屬于較難題．

根據(jù)題意，利用圓的有關(guān)性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可．

【解答】

解：對于，設(shè)兩圓的公共點(diǎn)為，，

則滿足

兩式相減得，

同理，

，兩點(diǎn)滿足方程，故兩圓的公共弦所在直線為直線，故A正確；

對于，取弦的中點(diǎn)，設(shè)，圓的半徑為，圓的半徑為，若，則，直線不過線段的中點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對于，如圖，

，

，

，故C正確；

對于，由選項(xiàng)B，取弦的中點(diǎn)，則，則，同理，，

直線與直線相互垂直，故D正確．

故選ACD．

12.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的切線方程，以及相交弦的有關(guān)應(yīng)用．

對于：由動點(diǎn)及圓的性質(zhì)即可判斷；

對于：連接，利用切線的性質(zhì)將四邊形的面積用表示，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；

對于：由點(diǎn)，在以為直徑的圓上可求得直線的方程，進(jìn)而得到該直線過定點(diǎn)，最后數(shù)形結(jié)合即可得解；

對于：先由直線的方裎得到點(diǎn)，的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，最后利用基本不等式即可求解．

【解答】

解：對于：在四邊形中，不一定是直角，故A錯(cuò)誤；

對于：連接，由題易知，所以四邊形的面積，又的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即，所以四邊形面積的最小值為，正確；

對于：設(shè)，則以線段為直徑的圓的方程是，

與圓的方程相減，得，

即直線的方程為，

又點(diǎn)在直線上，所以，則，

代入直線的方程，得，即，

令，則，得，，

所以直線過定點(diǎn)，所以，

數(shù)形結(jié)合可知的最小值為，正確；

對于在中，分別令，得到點(diǎn)，，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以且，，

則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為，正確．

故選：．

13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查圓的切線方程，直線的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意，先求出直線的斜率，可得出切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程求解，再化為一般式即可．

【解答】

解：圓心，

，

過切點(diǎn)的切線斜率為，

過切點(diǎn)的切線方程為，即．

14.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

先求解出圓心坐標(biāo)，計(jì)算圓心到直線的距離進(jìn)而求解出圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值．

【解答】

解：由題意可得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心的坐標(biāo)為，半徑，

圓心到直線的距離，從而所求最大距離為：．

故答案為：．

15.【答案】

【解析】【分析】

本題考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程、截距式方程，屬于基礎(chǔ)題．

利用斜率與傾斜角的關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程得出直線的方程，再轉(zhuǎn)化為截距式方程即可．

【解答】

解：直線的斜率為，

令直線的傾斜角為，所以可得，

即可得，

所以可得所求直線的斜率為，

所求直線方程為，

即，

其截距式方程為．

故答案為：．

16.【答案】或

【解析】【分析】

本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．

依題意，設(shè)坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件可得動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，求點(diǎn)到直線的距離，的值，結(jié)合條件計(jì)算可知，即得關(guān)于的一元二次方程，解之可得實(shí)數(shù)的值．

【解答】解：由題意，設(shè)坐標(biāo)為，

則，

化簡整理，得，

所以動點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，

點(diǎn)到直線的距離為

，

所以的面積，得，

設(shè)中點(diǎn)為，易知，

則的面積為，

設(shè)點(diǎn)到的距離為，則

，

即得，

所以點(diǎn)到的距離為的一半，

所以為等腰直角三角形，即，也即，

所以，

化簡整理，得，

解得：或．

故答案為；或．

17.【答案】解：當(dāng)和相交時(shí)，，

由，，，或，

當(dāng)且時(shí)，和相交；

時(shí)，不平行，，解得，

即時(shí)，與平行；

時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，．

【解析】本題考查兩直線相交、垂直、平行的條件，屬于基礎(chǔ)題．

利用兩條直線相交時(shí)，由方程組得到的一次方程有唯一解，一次項(xiàng)的系數(shù)不等于．

利用兩直線平行時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求出的值．

當(dāng)兩條直線垂直時(shí)，利用直線的一般方程，對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)積的和為，解方程求出的值．

18.【答案】解：若，的斜率都存在，設(shè)其斜率為，

由斜截式得的方程，即，

由點(diǎn)斜式得的方程，即，

在直線上取點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，

化簡得，解得，

：，：．

若、的斜率都不存在，

則的方程為，的方程為，它們之間的距離為，滿足條件，

綜上所述，兩條直線的方程為：，：或：，：．

當(dāng)直線，均與兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，與的距離最大，

兩點(diǎn)連線的直線的斜率為，

直線與的斜率均為，

此時(shí)，最大距離為，

：，：．

【解析】本題考查直線方程的表達(dá)形式，兩條平行直線間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論思想，屬于中檔題．

分兩類討論：若，的斜率都存在，設(shè)其斜率為，寫出兩條直線的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出斜率即可

若、的斜率都不存在，則：，：，然后驗(yàn)證距離是否等于即可

當(dāng)直線，均與兩點(diǎn)的連線垂直時(shí)，與的距離最大，由兩點(diǎn)間距離公式求出最大距離，由兩條直線的垂直關(guān)系求出斜率，再寫直線的方程即可．

19.【答案】解：，，，

，，

，則是等腰直角三角形，

因而圓心為，半徑為，的方程為．

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，顯然不合題意，因而直線的斜率存在，設(shè)：，

由題意知，解得或，

故直線的方程為或．

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，方程為，它截得弦長恰為；

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，

圓心到直線的距離，

由勾股定理得，解得，

故直線的方程為或

【解析】確定是等腰直角三角形，因而圓心為，半徑為，即可求外接圓的方程；

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，顯然不合題意，因而直線的斜率存在，設(shè)：，由題意知，求出，即可求直線的方程；

分類討論，利用勾股定理，可得直線的方程．

本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查直線、圓的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．

20.【答案】解：Ⅰ圓的方程可化為，

所以圓心為，半徑為，

設(shè)，則，，

由題設(shè)知，

故，

即．

由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，

所以的軌跡方程是．

Ⅱ由Ⅰ可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．

由于，故在線段的垂直平分線上，

又在圓上，從而．

因?yàn)榈男甭蕿椋?/p>

所以的斜率為，

故的方程為．