北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) （三角函數(shù)的計(jì)算）直角三角形的邊角關(guān)系課件教學(xué)

1.3三角函數(shù)的計(jì)算

北師大版

九年級(jí)

下冊(cè)

教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.復(fù)習(xí)并鞏固銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí).2.學(xué)會(huì)利用計(jì)算器求三角函數(shù)值并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.

3.學(xué)會(huì)利用計(jì)算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角度數(shù)并計(jì)算.

教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會(huì)利用計(jì)算器求三角函數(shù)值并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)利用計(jì)算器根據(jù)三角函數(shù)值求銳角度數(shù)并計(jì)算.

新知導(dǎo)入

情境引入ABCabc直角三角形的邊角關(guān)系三邊的關(guān)系：________.a2+b2=c2兩銳角的關(guān)系：__________.∠A+∠B=90°邊與角的關(guān)系：銳角三角函數(shù)新知講解

合作學(xué)習(xí)你知道sin16°等于多少嗎?我們可以借助科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值.怎樣用科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值呢?如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=ABsin16°.你知道sin16°等于多少嗎?需要用科學(xué)計(jì)算器來(lái)進(jìn)行計(jì)算.用科學(xué)計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值,要用到以下按鍵:例如，求sin16°的按鍵順序：第二步：輸入角度值16，再按“=”。屏幕顯示結(jié)果sin16°=0.2756373558第一步：按計(jì)算器鍵，sinsin1sin160.2756373558求cos72°38′25″的按鍵順序：coscos7cos72cos72°cos72°3cos72°38cos72°38′cos72°38′2cos72°38′25cos72°38′25″0.2983699067求tan85°的按鍵順序：tantan8tan8511.4300523屏幕顯示結(jié)果tan85°=11.4300523提煉概念

分析：已知銳角求三角函數(shù)值，按照正確的按鍵順序按鍵，將屏幕顯示的結(jié)果按要求取近似值即可．典例精講

例1.用計(jì)算器求下列各式的值(精確到0.0001)：(1)sin47°；(2)sin12°30′；(3)cos25°18′；(4)sin18°＋cos55°－tan59°.解：根據(jù)題意用計(jì)算器求出：(1)sin47°≈0.7314；(2)sin12°30′≈0.2164；(3)cos25°18′≈0.9041；(4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817.當(dāng)纜車?yán)^續(xù)由點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，它又走過(guò)了200m，纜車由點(diǎn)B到點(diǎn)D的行駛路線與水平面的夾角為∠β=42°，由此你還能計(jì)算什么?

議一議

為了方便行人推自行車過(guò)某天橋，市政府在10m高的天橋兩端修建了40m長(zhǎng)的斜道.這條斜道的傾斜角是多少?如圖，在Rt△ABC中，sinA=那么∠A是多少度呢?要解決這個(gè)問(wèn)題，我們可以借助科學(xué)計(jì)算器.

想一想

已知三角函數(shù)值求角度，要用到

“sin”、“cos”、“tan”鍵的第二功能“sin?1，cos?1，tan?1”和2ndf鍵。按鍵順序顯示結(jié)果sinA=0.9816cosB=0.8607tanC=56.7878.9918403930.6047300788.99102049以“度”為單位再按鍵即可顯示以“度、分、秒”為單位的結(jié)果.你能求出∠A的度數(shù)了嗎?如圖，在Rt△ABC中，sinA=∴∠A≈14.4775°.歸納概念

1．利用計(jì)算器可求銳角的三角函數(shù)值，按鍵順序?yàn)椋?/p>

先按

鍵或

鍵或

鍵，再按角度值，

最后按

鍵就可求出相應(yīng)的三角函數(shù)值．2．已知銳角三角函數(shù)值也可求相應(yīng)的銳角，按鍵順

序?yàn)椋合劝?/p>

鍵，再按

鍵或

鍵或

鍵，然后輸入三角函數(shù)值，最后按

鍵

就可求出相應(yīng)角度．sinsincoscostantan2ndF==課堂練習(xí)

A2.下列各式中一定成立的是（）A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°B.tan75°﹤tan48°﹤tan15°C.cos75°﹥cos48°﹥cos15°D.sin75°﹤sin48°<sin15°

【詳解】解：使用計(jì)算器計(jì)算得，4sin50°≈3.06，故選：B．4．利用計(jì)算器求下列各角(精確到1′)．(1)sinA＝0.75，求∠A的度數(shù)；(2)cosB＝0.8889，求∠B的度數(shù)；(3)tanC＝45.43，求∠C的度數(shù)；(4)tanD＝0.9742，求∠D的度數(shù)．【詳解】解：（1）∵sinA=0.75，∴∠A≈48.59°≈48°35′24″≈48°35′；

（2）∵cosB=0.8889，∴∠B≈27°16′12″≈27°16′；

（3）∵tanC=45.43，∴∠C≈88°44′24″≈88°44′；

（4）∵tanD=0.974

2，∴∠D≈44°15′6″≈44°15′．

5.一個(gè)人由山底爬到山頂，需先爬坡角為40°的山坡300m，再爬坡角為30°的山坡100m，求山高（結(jié)果精確到0.1m).解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AE于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CE于點(diǎn)D，則BF＝DE.在Rt△ABF中，BF＝ABsin40°；在Rt△CDB中，CD＝BCsin30°.∴CE＝CD＋DE＝CD＋BF＝BCsin30°＋ABsin40°＝100sin30°＋300sin40°≈242.8(m)．所以，山高約242.8m.課堂總結(jié)三角函數(shù)的計(jì)算用計(jì)算器求銳角的三角函數(shù)值或角的度數(shù)不同的計(jì)算器操作步驟可能有所不同利用計(jì)算器探索銳角三角函數(shù)的新知正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?1.5三角函數(shù)的應(yīng)用第一章直角三角形的邊角關(guān)系

情境引入

我們已經(jīng)知道輪船在海中航行時(shí)，可以用方位角準(zhǔn)確描述它的航行方向.

那你知道如何結(jié)合方位角等數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，幫助輪船在航行中遠(yuǎn)離危險(xiǎn)嗎？導(dǎo)入新課引例如圖，海中有一個(gè)小島A，該島四周10nmile內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20nmile后到達(dá)該島的南偏西25°的C處。之后，貨輪繼續(xù)向東航行.貨輪繼續(xù)航行會(huì)有觸礁的危險(xiǎn)嗎？BAC與方位角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題一.講授新課D【分析】這船繼續(xù)向東航行是否安全，取決于燈塔C到AB航線的距離是否大于10nmile.北東解：由點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D,設(shè)AD=x,則在Rt△ABD中，在Rt△ACD中，解得所以，這船繼續(xù)向東航行是安全的.BACD25°55°北東由BC=BD-CD,得講授新課如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時(shí)，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（精確到0.01海里）？65°34°PBCA試一試講授新課解：如圖，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91≈72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時(shí)，它距離燈塔P大約130.19海里．65°34°PBCA講授新課利用解直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的一般過(guò)程是：（1）將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題）；（2）根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)選用銳角三角形函數(shù)等去解直角三角形；（3）得到數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案；（4）得到實(shí)際問(wèn)題的答案．方法歸納講授新課例1如圖，為了測(cè)量山的高度AC，在水平面B處測(cè)得山頂A的仰角為30°，AC⊥BC，自B沿著BC方向向前走1000m，到達(dá)D處，又測(cè)得山頂A的仰角為45°,求山高．(結(jié)果保留根號(hào))分析：求AC，無(wú)論是在Rt△ACD中，還是在Rt△ABC中，只有一個(gè)角的條件，因此這兩個(gè)三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代數(shù)式表示BC和DC，由BD＝1000m建立關(guān)于AC的方程，從而求得AC.仰角和俯角問(wèn)題二.講授新課解：在Rt△ABC中，

在Rt△ACD中，∴BD＝BC－DC講授新課例2如圖，飛機(jī)A在目標(biāo)B正上方1000m處，飛行員測(cè)得地面目標(biāo)C的俯角為30°，則地面目標(biāo)B，C之間的距離是________．解析：由題意可知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，【方法總結(jié)】解此類問(wèn)題，首先要找到合適的直角三角形，然后根據(jù)已知條件解直角三角形．講授新課例3熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）.分析：我們知道，在視線與水平線所成的角中視線在水平線上方的是仰角，視線在水平線下方的是俯角，因此，在圖中，α=30°,β=60°.Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知識(shí)求出BD；類似地可以求出CD，進(jìn)而求出BC．ABCDαβ仰角水平線俯角講授新課解：如圖，α

=30°,β=60°，AD＝120．答：這棟樓高約為277.1m.ABCDαβ講授新課建筑物BC上有一旗桿AB，由距BC40m的D處觀察旗桿頂部A的仰角為54°，觀察底部B的仰角為45°，求旗桿的高度（精確到0.1m）.ABCD40m54°45°ABCD40m54°45°解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°，BC=DC=40m.在Rt△ACD中，∴AB=AC－BC=55.1－40=15.1答：旗桿的高度為15.1m.練一練講授新課利用坡角解決實(shí)際問(wèn)題三.例4一段路基的橫斷面是梯形，高為4米，上底的寬是12米，路基的坡面與地面的傾角分別是45°和30°，求路基下底的寬（精確到0.1米,）.

45°30°4米12米ABCD講授新課解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4（米），CD＝EF＝12（米）．在Rt△ADE中，

在Rt△BCF中，同理可得因此AB＝AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93≈22.93（米）．答：路基下底的寬約為22.93米．45°30°4米12米ABCEFD講授新課1.如圖3，從地面上的C，D兩點(diǎn)測(cè)得樹頂A仰角分別是45°和30°，已知CD=200米，點(diǎn)C在BD上，則樹高AB等于

（根號(hào)保留）．2.如圖4，將寬為1cm的紙條沿BC折疊，∠CAB=45°，則折疊后重疊部分的面積為

（根號(hào)保留）．圖3圖4當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA=4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為________.當(dāng)堂練習(xí)解析：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OB于D．在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD=OA=2km．在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB－∠AOB=75°－30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB=AD=km．即該船航行的距離為km．當(dāng)堂練習(xí)4.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距600km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從機(jī)場(chǎng)起飛以后，就沿與原來(lái)的飛行方向成30°角的方向飛行，飛行到中途，再沿與原來(lái)的飛行方向成45°角的方向繼續(xù)飛行直到終點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了多少？解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＋BD＝AB，當(dāng)堂練習(xí)∴在Rt△BCD中，∴AC＋BC＝

在Rt△ACD中，750－600≈150(km)．答：飛機(jī)的飛行路程比原來(lái)的路程600km遠(yuǎn)了150km.【方法總結(jié)】求一般三角形的邊長(zhǎng)或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．(km).當(dāng)堂練習(xí)5.如下圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，測(cè)得電線桿底部B與鋼纜固定點(diǎn)O的距離為4米，鋼纜與地面的夾角∠BOA為60o，則這條鋼纜在電線桿上的固定點(diǎn)A到地面的距離AB是多少米（結(jié)果保留根號(hào)）．解：在Rt△ABO中，

∵tan∠BOA