數(shù)學-南通市通州區(qū)2012屆高三重點熱點專項檢測(數(shù)學)

2012屆通州區(qū)高三重點熱點專項檢測數(shù)學試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在相應位置上．1．已知集合，B1，若AB，則銳角▲．A{1,cos}{0,,1}2z12．若,，且為純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為▲．za2iz34i12z23．某校高三年級學生年齡分布在17歲、18歲、19歲的人數(shù)分別為500、400、200，現(xiàn)通過分層抽樣從上述學生中抽取一個樣本容量為m的樣本，已知每位學生被抽到的概率都為0.2，則m4．命題p：函數(shù)ytanx在R上單調(diào)遞增，命題q：ABC中，AB是sinAsinB命題．（填“真”“假”）▲．的充要條件，則pq是▲開始5．平面向量a與b的夾角為120，a(0,2)，|b|1，輸入pab則▲．n1,S06．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出n5，則整數(shù)p的最小值是▲．NSpY7．設(shè)f(x)x23x1,x≥0，若f(a)3，則實數(shù)a2x7,x0SS2n1輸出n的取值范圍是▲．結(jié)束28．將函數(shù)ysin(2x)的圖像向左平移至少▲nn13個單位，可得一個偶函數(shù)的圖像．9．設(shè)函數(shù)f(x)11，若a,b,c成等差數(shù)列（公差不為零），則f(a)f(c)▲．xb10．設(shè)a、b①若a⊥b，a⊥α，bα，則b∥α；③若a⊥β，α⊥β，則a∥α或aα；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β．其中正確命題的序號有11．在ABC中，AB3AC，AD是A的平分線，且ADmAC，則實數(shù)m的取值范圍是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列四個命題：②若a∥α，a⊥β，則α⊥β；▲．是▲．212．設(shè)函數(shù)f(x)sinxm(xR,mR)最大值為g(m)，則g(m)的最小值為3sinx1▲．13．已知，：4x2ya250Cy2與：xy(2b10)x2by22a,bRCx212xxyy交于不同兩點，且，則實數(shù)的值b2b210b1600A(x,y),B(x,y)21212yyxx1121212為▲．14．已知等比數(shù)列滿足，0q1，且對任意正整數(shù)，)仍是該ak2{a}a1ka(an12kk1數(shù)列中的某一項，則公比的取值集合為▲．q二、解答題：本大題共六小題，共計90分．請在指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）已知向量a(sin,2)與互相垂直，其中．(0,)b(1,cos)2（1）求sin和cos（2）若sin(的值；10,(0,)，求cos的值．)10216．（本小題滿分14分）已知矩形PA所在平面，PAAD2AB，為線段PD上一點，為線段PCABCDEGP的中點．（1）當E為PD的中點時，求證：BDCE；E（2）當PE2ED時，求證：BG//平面AEC．GADBC17．（本小題滿某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某獎勵方案：獎金y（單位：獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的（1）x2；（2）y4lgx3．試問這兩分14分）種新能源產(chǎn)品，估計能獲得10萬元～1000萬元的投資收現(xiàn)準備制定一個對科研課題組的萬元）隨投資收益x（單20%．現(xiàn)益．位：萬元）的增加而增加，且有兩個獎勵方案的函數(shù)模型：個函數(shù)模y150型是否符合該公司要求，并說明理由．218．（本小題滿分16分）x2y21(ab0)已知橢圓上的一動點到右焦點的最短距離為22，且右PC:a2b2焦點到右準線的距離等于短半軸的長．（1）求橢圓的方程；C（2）設(shè)，是橢圓上關(guān)于軸對稱的任意兩個不同的點，連結(jié)交橢圓P4,0A,BCxPBC于另一點，證明直線與軸相交于定點；EAExQ（3）在（2）的條件下，過點的直線與橢圓交于兩點，求的取值QCM,NOMON范圍．19．（本小題滿分16分）alnx函數(shù)f(x)x，其中為常數(shù)．a(chǎn)x（1）證明：對任意，函數(shù)圖像恒過定點；aRyf(x)（2）當時，不等式a1在上有解，求實數(shù)的取值范圍；x(0,)bf(x)2b≤0（3）若對任意時，函數(shù)在定義域上恒單調(diào)遞增，求的最小值．a(chǎn)m,0yf(x)m320．（本小題滿分16分）na1nn1數(shù)列中，，，且(n≥2)．{a}na1a7an113（1）求a及{a}的通項公式；2n（2）設(shè)a是{a}中的任意一項，是否存在r,pN(rpk)，使a,a,a成等比knkpr數(shù)列？如存在，試分別寫出p和r關(guān)于k的一個表達式，并給出證明；．．17．（3）證明：對一切nN，na26i1i2012屆高三重點熱點專項檢測數(shù)學附加題21．本題包括高考A，B，C，D四個選題中的B，C兩個小題，每小題10分，共20分．把答案寫在答題卡相應的位置上．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．B．選修4—1：矩陣與變換1已知二階矩陣A有特征值1及對應的一個特征向量和特征值2及對應e11121的一個特征向量e，試求矩陣A．20C．選修4—4：極坐標與參數(shù)方程將參數(shù)方程xcossin,(為參數(shù))化為普通方程．ysin2422．【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．由數(shù)字1，2，3，4組成五位數(shù)，從中任取一個．a(chǎn)aaaa51234（1）求取出的數(shù)滿足條件：“對任意的正整數(shù)，至少存在另一個正整數(shù)j1j5k(1k5，且kj)，使得aa”的概率；jk（2）記為組成該數(shù)的相同數(shù)字的個數(shù)的最大值，求的概率分布列和數(shù)學期望．23．【必做題】本題滿分10分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．求證：對于任意的正整數(shù)，n(23)n必可表示成ss1的形式，其中.sN2012屆高三重點熱點專項檢測數(shù)學參考答案及評分標準一、填空題：本大題共14小題a41．2．3．2204．真5．6．87．a(chǎn)|a0或，每小題5分，共70分．8333535311．12．13．14．(0,){21}2348．9．210．①②③④12二、解答題：本大題共6小題，共90分．15．解：（1）∵，∴2cos0，absin又sin2cos21，且，(0,)2∴，5．25…………6分sincos55（2）∵，，(0,)2(0,)2∴(,)，又sin(10，)1022∴310，…………1分0cos()10∴coscos()coscos()sinsin()53101025102．2…………14分551016．（1）過點E作EQAD于Q，連結(jié)CQ，CDBC2tanQCDDQ，CD2，2則tanDBC2所以DBCQCD，又QDCBCD90RtDBCRtQCD，則易得BDCQ．∵PA平面ABCD，∴PABD，又PA//EQ，BDEQ，又CQEQQ，∴BD平面ECQ，BDCE.…………7分，∴∴∴5（2）取PE的中點F，連接GF，BF，∵G為PC的中點，∴GF//CE，又平面ACE，平面ACE，GF∴GF//平面ACE，連接CEO，連接BD交AC與點OE．∵E為DF的中點，∴BF//OE，又平面ACE，平面ACEBFOE∴BF//平面ACE，∵FBFGF，∴平面BGF//平面AEC.又，∴BG//平面AEC．BG平面BGF…………14分17．解：設(shè)獎勵函數(shù)模型為y＝f(x)，由題意可知該公司對函數(shù)模型應滿足下列條件：當x∈[10，1000]時，①f(x)是增函數(shù)；②f(x)≤9恒成立；③f(x)≤x恒成立．15①對于函數(shù)模型x2：f(x)150當x∈[10，1000]時，f(x)是增函數(shù)，則f(1000)100022029．f(x)max1503所以f(x)≤9恒成立．…………3分f(x)f(x)因為函數(shù)x12在[10，上是減函數(shù)，1000]所以x11501021．5150xmax1從而f(x)≤x不恒成立．5故該函數(shù)模型不符合公司要求．…………7分②對于函數(shù)模型f(x)＝4lgx－3：當x∈[10，1000]時，f(x)是增函數(shù)，所以f(x)≤9恒成立．則f(1000)4lg100039．…………9分f(x)max設(shè)g(x)＝4lgx－3x，則g(x)4lge1.5x51≤2lge1lge14lge2當x≥10時，0，g(x)x555所以g(x)在[10，1000]上是減函數(shù)，從而g(x)≤g(10)＝－1＜0，所以4lgx－3x＜0，即4lgx－3＜x，所以f(x)≤x恒成立．15故該函數(shù)模型符合公司5要求．5…………14分ac22a218．解：（1）由題意知，解得，a2cb2c故橢圓C的方程為x1．2y2…………4分42（2）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為．yk(x4)yk(x4),由y21.得(2k21)x216kx32k240．①2x242設(shè)點B(x,y)，E(x,y)，則A(x,y)．112211yy1(xx)．x直線AE的方程為2yy2x221y(xx)令y0，得221yy．xx22yk(x4)1將yk(x4)，代入，112262xx4(xx)整理，得1．②x212xx81232k24代入②xx2k211216k2由①得1，xx122k2整理，得．x1所以直線與軸相交于定點．…………1分0AExQ(1,0)（3）當過點直線的斜率存在時，QMN設(shè)直線的方程為，，．M(x,y)N(x,y)MNym(x1)MMNNym(x1),由得240．(21)x24mx2mm22x2y21.244m22m212m243m2∴，，．2m21m242m21xxxxyy2m21MNMNMN2m243m2171則．OMONxxyy2m212m21222m21MNMN4≤7111．2因為，所以m02222m211所以．OMON[4,)2當過點直線的斜率不存在時，其方程為．QMNx166解得，)．M(1,)N(1,22此時1．2OMON1所以的取值范圍是．…………16分OMON[4,]219．解：（1）令，得，且f，lnx0x1(1)1∴函數(shù)yf(x)圖像恒過定點．(1,1)…………2分（2）當時，a1f(x)xlnx，x∴f(x)11lnx，即x2lnx1，f(x)x2x2令f(x)0，得．x1xf(x)f(x)(0，1)－101＋∞）（，＋極小值∴f(x)f(1)1，min∵在x(0,）上有解，f(x)2b≤01∴2b≥f(x)，即21，∴實數(shù)b的取值范圍為．…9分(,]b≥min2aalnxx2f(x)x2alnxa，令g(x)xalnxa，x2（3），即f(x)12由題意可知，對任意a[m,0)，在恒成立，f(x)≥0x(0,)即在x(0,)恒成立．h(x)x2alnxa≥0∵h(x)2xa2x2a，令h(x)0，得（舍）或a．2ax2xx列表如下：7x(0，a)a（a，＋∞）2220h(x)－＋h(x)極小值a≥0(x)h(a)lna3∴h，解得．a(chǎn)2e≥32min22∴m的最小值為2e3．1）2a1，故a4．20．解：（a2…16分…1分312a1aa11)n時，nn(n≥2n1nnn1n1n1∴an11a1na1，∴為常數(shù)列．………4分………6分nn1nn1a141∴n，所以a3n2(n≥2)．n121n又a1也滿足上式，1∴{a}的通項公式為a3n2(nN)．nn（2）當p4k2，10時滿足a,a,ar成等比數(shù)列．r16kkp證明如下：aa，16(3k2)，4(3k2)aap4k2r16k10顯然a,a,a成等比數(shù)列．…………10分kpr（3）證明：k≥2時，1111(11…12分)，a2(3k2)2(3k4)(3k1)33k43k1k∴當n≥2時，1111111111nn13n43n1a2ia2i32558i1i211117．…………15分…16分32n361又n1時，7，∴對一切nN1，17．n1a216a2i6i1附加題參考答案bacd21B．解：設(shè)矩陣A，其中，,,,Rabcd1ab101因為是矩陣A的屬于的特征向量，則有①，111c1d10ab10②，?6分又因為是矩陣A的屬于的特征向量，則有21202c1d001ab0,c1d0,由①②得?????8分2a0,c0,821解得a2,b1,c0,d1,因此，?????10分A01xcossin21C．解：(1)，(2)ysin2將式平方得1sin2(3)，(1)x2將（2）式代入（3）式得，?????8分10分1）由數(shù)字1,2,3,4組成的五位數(shù)共有個數(shù)，滿足條件的數(shù)分為x1y2所以所求的普通方程為.x≤2)?????yx1(2≤222．解：