2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第35講函數(shù)的極值含解析

第35講函數(shù)的極值極值問題是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)直接應(yīng)用,極值點(diǎn)作為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)和函數(shù)最值點(diǎn)的候選點(diǎn),在研究函數(shù)單調(diào)性和最值時(shí)具有重要意義.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,我們先來看相關(guān)定義:(1)極大值:一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,如果對附近的所有的點(diǎn)都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作,其中是極大值點(diǎn).(2)極小值:一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,如果對附近的所有的點(diǎn)都有,就說是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作,其中是極小值點(diǎn).看上面對極值點(diǎn)和極值的一般定義,我們要注意以下幾點(diǎn):一是極值點(diǎn)和極值的定義不要搞混淆;二是極值是一個(gè)雙邊定義:極值點(diǎn)的兩邊函數(shù)都有定義,極值才存在;三是極值具有局部性,極值是函數(shù)局部的最值,一個(gè)函數(shù)區(qū)間內(nèi)可存在多個(gè)極值.在高中階段,我們可以簡單地理【解析】一階導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)即為原函數(shù)的極值點(diǎn),一般來說,做大題不會(huì)出錯(cuò),不過保險(xiǎn)起見還是需要驗(yàn)證一下極值點(diǎn)兩邊一階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào),即原函數(shù)單調(diào)性是否改變.需要注意的是,極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)可能不存在,比如函數(shù)是函數(shù)的極小值點(diǎn),但在極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)是不存在.這是大學(xué)要研究的內(nèi)容,不需要過分糾結(jié).極值問題的兩種考查方式:一種是直接求極值點(diǎn)(極值),一般步驟是求導(dǎo),解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),即為函數(shù)的極值點(diǎn)(求解后需要驗(yàn)證),如果含參數(shù)的話還要分類討論一下.再求極值.另外一種就是給出某個(gè)點(diǎn)是極值點(diǎn),來求解參數(shù)的取值范圍.求無參函數(shù)的極值點(diǎn)和極值求極值點(diǎn)的步驟:(1)篩選:令求出的零點(diǎn)(此時(shí)求出的點(diǎn)有可能是極值點(diǎn)).(2)精選:判斷原函數(shù)在的零點(diǎn)左、右兩邊,其單調(diào)性是否發(fā)生變化,若發(fā)生變化,則該點(diǎn)為極值點(diǎn),否則不是極值點(diǎn).(3)定性：通過函數(shù)單調(diào)性判斷出是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn):先增后減是極大值點(diǎn),先減后增是極小值點(diǎn).通常,判定一個(gè)點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)我們有兩種充分判別條件:第一充分條件:設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)(可以不存在).(1)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極大值.(2)若在的左鄰域內(nèi),.在的右鄰域內(nèi),,則在處取得極小值.(3)若在的左、右鄰域內(nèi),不變號(hào),則在處沒有極值.注意:第一充分條件利用一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí),為了快速判別,我們只需要在極值點(diǎn)的左邊或者右邊取一個(gè)特殊值驗(yàn)證一階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)即可(這個(gè)方法我們稱為特殊值法).第二充分條件:設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù),且,則(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值.(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值.注意:利用駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)時(shí),二階導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào),其實(shí)決定了-階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性.解題時(shí),為了快速判別,我們可以直接判定決定一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)號(hào)部分函數(shù)的單調(diào)性,一階導(dǎo)函數(shù)為增是極小值點(diǎn),一階導(dǎo)函數(shù)為減是極大值點(diǎn).為極大值點(diǎn)(這個(gè)方法,我們稱之為一階單調(diào)性法).【例1】求函數(shù)的極值.【解析】法一的定義域?yàn)?令,得，當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),有,由極值的第一充分條件知,在處取得極小值為.法二:的定義域?yàn)?令,得.又由,得,由極值的第二充分條件知,在處取得極小值為.【例2】求函數(shù)的極值.【解析】法一:的定義域?yàn)?令,得,.現(xiàn)列表討論如下:由上表知,在處取得極大值為,在處取得極小值為.法二:令得.由得,,由極值的第二充分條件知,在處取得極大值為,在處取得極小值為.已知極值/極值點(diǎn)反求參數(shù)題型:已知含參函數(shù)的極值點(diǎn)為,在極值點(diǎn)處的極值為,求參數(shù).方法:列出方程組,求解參數(shù)即可.【例1】已知函數(shù)在處有極值,求實(shí)數(shù)的值.由,知.又在處有極值,則,即.【例2】已知函數(shù),若函數(shù)在日寸取得極值,求實(shí)數(shù)的值.【解析】,依題意有,即0,解得.檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,滿足在時(shí)取得極值.綜上可知.【例3】已知函數(shù),其中,若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的值.【解析】,由題意可得,整理得,解得或.(1)當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,無極值.(2)當(dāng)時(shí),.令得.令得或.此時(shí),函數(shù)在處取得極大值,合乎題意.綜上所述,.注意:如是的極大值點(diǎn),除必須有外,還必須滿足在左側(cè)某個(gè)區(qū)間上,在右側(cè)某個(gè)區(qū)間,其中,.僅僅有是不夠的,這也是易錯(cuò)的地方.已知極值點(diǎn)反求參數(shù)范圍(第二判別法)對于已知極值點(diǎn)來求參數(shù)取值范圍的題目,我們一般有兩種解法:方法一:分類討論,求出導(dǎo)函數(shù),確定的根,然后由根分實(shí)數(shù)為若干個(gè)區(qū)間,討論各區(qū)間中的正負(fù),得單調(diào)區(qū)間,若在左側(cè)遞減,右側(cè)遞增,則是極小值點(diǎn);若在左側(cè)遞增,右側(cè)遞減,則是極大值點(diǎn).方法二:第二充分判別條件驗(yàn)證,求出二階導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極大值;當(dāng)時(shí),函數(shù)在處取得極小值,來快速求解參數(shù)取值范圍.注意:這個(gè)是充分條件,一般用來驗(yàn)證答案,不作為解題過程,可作為分析過程?！纠?】已知函數(shù),若在處取得極小值,求的取值范圍.【解析】法一:分類討論1),令得或.(1)若,即,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.在處取得極小值.(2)若,且,則當(dāng)時(shí),,,同時(shí).,從而不是的極小值點(diǎn).綜上可知,的取值范圍是.法二:第二充分判別法驗(yàn)證..由極大值點(diǎn)的第二充分判別條件可得,解得.【例2】已知,若函數(shù)在處取得極大值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】法一:分類討論(1)當(dāng)時(shí),,令得.令得.在處取得極大值.(2)當(dāng)時(shí),,由(1)可知在處取得極大值.(3)當(dāng)時(shí),,則無極值.(4)當(dāng)時(shí),令得或.令得.在處取得極大值.(5)當(dāng)時(shí),令得或.令得.在處取得極小值.綜上,的取值范圍為.法二:第二充分判別法驗(yàn)證,由極大值點(diǎn)的第二充分判別條件可得.解得.【例3】(已知函數(shù),函數(shù)在處有極大值,求的取值范圍.【解析】法一:分類討論設(shè),則.(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,時(shí),.時(shí),.在上遞減,在上遞增.是的極小值點(diǎn),與題意矛盾.（2）當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù),且.(1)當(dāng)時(shí),.從而在上是增函數(shù),故有.在上是增函數(shù),與題意矛盾.(2)當(dāng)時(shí),若,則,從而在上是減函數(shù),.在上是增函數(shù).若,由常用指數(shù)不等式[見“不等式放縮法”(10.2中)],則,從而在上是減函數(shù),.