力學(xué)12工力第四章

第四章空間力系

4．1空間匯交力系1.力在直角坐標(biāo)軸上的投影X=Fcos

Y=Fcos

Z=Fcos

或X=Fsin

cos

Y=Fsin

sin

Z=Fcos

xyzFOXYZxyYXOFZFFxy2.力沿直角坐標(biāo)軸的分解F=Fx+Fy+FzFx=XiFy=YjFz=ZkF=(X2+Y2+Z2)1/2cos(F，i)=X/Fcos(F，j)=Y/Fcos(F，k)=Z/FxyzFOXYZxyzFOFxFzFyijk3.空間匯交力系的合力R=F1+F2+…+Fn=

FRx=

XRy=

YRz=

ZR=[(

X)2+(

Y)2+(

Z)2]1/2cos

=Rx/Rcos

=Ry/Rcos

=Rz/R4.空間匯交力系的平衡條件R=

F=0即

X=0

Y=0

Z=0

4．2力對軸的矩和力對點(diǎn)的矩1.力對軸的矩mz(F)=mO(Fxy)=

Fxyh=

2ΔOab

用右手螺旋法則確定正負(fù)號FFxyABabxyzhOmz(F)=mO(Fxy)根據(jù)合力矩定理得mO(Fxy)=mO(Fx)+mO(Fy)=-yFx+xFy由Fx=X，F(xiàn)y=Y得

mO(Fxy)=xY-yX

同理得F對y，x軸的矩的解析表達(dá)式為my(F)=zX-xZmz(F)=yZ-zYxyzFOFxFyFzFxFyFxyOxyz2.力對點(diǎn)的矩用矢量表示用右手螺旋規(guī)則定義力矩矢。

mO(F)

=Fh=2ΔOAB

mO(F)

=Frsin

mO(F)=r

Fr=xi+yj+zkF=Xi+Yj+ZkmO(F)=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k力矩矢為定位矢量。zxyA(x,y,z)BOhrijkMO(F)F

3.力對點(diǎn)的矩與力對通過該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系由力對點(diǎn)的矩的解析表達(dá)式可知，力矩矢mO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為：[mO(F)]x=yZ-zY[mO(F)]y=zX-xZ[mO(F)]z=xY-yX與力對軸的矩的解析表達(dá)式比較可知：[mO(F)]x=mx(F)[mO(F)]y=my(F)[mO(F)]z=mz(F)4．3空間力偶FF'm空間力偶的等效條件：作用在同一剛體的兩平行平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，若它們的力偶矩的大小相等和力偶的轉(zhuǎn)向相同，則兩個(gè)力偶等效?？臻g力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶作用面的方位、力偶的轉(zhuǎn)向?？臻g力偶的矢量表示：力偶矩矢m，為自由矢量1.空間力偶等效條件，力偶矩以矢量表示2.空間力偶系的合成任意個(gè)在空間分布的力偶，可合成為一個(gè)力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。即M=m1+m2+…+mn=

m合力偶矩矢在一軸上的投影，等于各分力偶矩矢在同一軸上的投影的代數(shù)和，即Mx=m1x+m2x+…+mnx=

mxMy=m1y+m2y+…+mny=

myMz=m1z+m2z+…+mnz=

mz合力偶矩矢的大小為：

M=[(Mx)2+(My)2+(Mz)2]1/2合力偶矩矢與直角坐標(biāo)軸x、y、z間的夾角余弦為：cos

=Mx/Mcos

=My/Mcos

=Mz/M3.空間力偶系的平衡條件

m=0即

mx=0

my=0

mz=04.4空間任意力系向一點(diǎn)的簡化1.空間任意力系的主矢稱R'=F1+F2+…+Fn=

F為空間任意力系的主矢。主矢在直角坐標(biāo)軸上的投影為：Rx'=

XRy'=

YRz'=

Z主矢的大小為：R'=[(

X)2+(

Y)2+(

Z)2]1/2主矢與x，y，z軸的方向余弦分別為：cos(R'，i)=Rx'/R'cos(R'，j)=Ry'/R'cos(R'，k)=Rz'/R'zyxF1F2F3O2.空間任意力系的主矩稱MO

=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)=

mO(F)為空間任意力系對O點(diǎn)的主矩。主矩在直角坐標(biāo)軸上的投影為：MOx=[

mO(F)]x=

mx(F)MOy=[

mO(F)]y=

my(F)MOz=[

mO(F)]z=

mz(F)主矩的大小為：MO=[(MOx)+(MOy)+(MOz)]1/2主矩與x，y，z軸的方向余弦分別為：cos(MO，i)=Mox/MOcos(MO，j)=Moy/MOcos(MO，k)=Moz/MOzyxF1F2F3O3.空間任意力系向一點(diǎn)的簡化

根據(jù)力線平移定理，將各力向簡化中心O平移，得到一個(gè)空間匯交力系和一個(gè)附加的空間力偶系。zyxF1'F2'F3'Om1m2m3空間匯交力系可合成為一個(gè)合力，即

RO=F1'+F2'+…+Fn'=

F

'

=

F1+F2+…+Fn=

F=R'

附加的空間力偶系可合成為一個(gè)合力偶，合力偶矩為

MO=m1+m2+…+mn=

m=mO(F1)+mO(F2)+…+mO(Fn)

=

mO(F)=MOzyxORO=R'MO=MO結(jié)論

空間任意力系向任一點(diǎn)O簡化，可得一力和一力偶，其中力等于平面任意力系的主矢，力偶矩矢等于力系對O點(diǎn)的主矩。zyxORO=R'MO=MO4．5空間任意力系的平衡方程

空間任意力系處于平衡的必要與充分條件是：該力系的主矢和對任一點(diǎn)的主矩都等于零，即R'=0MO=0

將以上兩式改為投影形式，并根據(jù)力對點(diǎn)的矩與力對軸的矩之間的關(guān)系得

X=0

Y=0

Z=0

mx(F)=0

my(F)=0

mz(F)=0

空間一般力系與各種特殊力系的關(guān)系：

空間平行力系、空間匯交力系、平面任意力系、平面匯交力系都可以看成是空間任意力系的特殊情況，各種情況的平衡方程都可以由一般情況的平衡方程中導(dǎo)出?？臻g平行力系

Z=0

mx(F)=0

my(F)=0xyzF1F2F3FnO空間匯交力系

X=0

Y=0

Z=0xyzF1F2FnO平面任意力系

X=0

Y=0

mz(F)=0xyzOF2FnF14．6空間約束的類型舉例1．約束中約束反力未知量的個(gè)數(shù)當(dāng)剛體受平面力系作用時(shí)，每個(gè)約束的反力的未知量可能是一個(gè)到三個(gè)。當(dāng)剛體受空間力系作用時(shí)，每個(gè)約束的反力未知量可能是一個(gè)到六個(gè)。決定每中約束未知量個(gè)數(shù)的基本方法是：觀察物體在空間的六種可能運(yùn)動（沿x，y，z三個(gè)軸的移動和繞這三個(gè)軸的轉(zhuǎn)動），有那幾種運(yùn)動被約束所阻礙，阻礙幾種運(yùn)動，就有幾個(gè)約束未知數(shù)。阻礙移動的未知數(shù)為力，阻礙轉(zhuǎn)動的未知數(shù)為力偶。2．空間約束的類型及其約束反力舉例見P170表4—1。4．7空間力系平衡問題舉例[例]用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上，連線CD平行于x軸。已知：CE=EB=DE，

=30

，CDB平面與水平面間的夾角EBF=30

，物重Q=10kN。起重桿的重量不計(jì)，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。xyzACEDBQF30

X=0,T1sin45

－T1sin45

=0

Y=0，Ssin30

－T1cos45

cos30°

－T2cos45

cos30

=0

Z=0，T1cos45

sin30

+T2cos45

sin30

+Scos30

－Q=0xyzACEDBQF30

T1T2S求解平衡方程得:T1=T2=3.54kNS=8.66kN[例]均質(zhì)長方形薄板重Q=200N,用球鉸鏈A和蝶鉸鏈B固定在墻上,并用繩子CE維持水平位置,繩子CE縛在薄板上的C點(diǎn),并掛在釘子E上,釘子釘入墻內(nèi),并和點(diǎn)A在同一鉛直線上。

ECA=BAC=30°。求繩子的拉力和支座反力。XA