線性代數(shù)練習(xí)題及答案

線性代數(shù)期中練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題。k121．0的充分必要條件是()。2k1(A)k1(B)2．若AB＝AC，當(dāng)（）時(shí)，有k3k1且k3(D)k1或k3(C)B＝C。(A)A為n階方陣(B)A為可逆矩陣(D)A為對(duì)稱矩陣(C)A為任意矩陣aaa2a2a2a13111213233311123．若三階行列式aaaM，則2a2a（）。2a2122212223aaa2a2a2a3131323233(A)－6M(B)6M(C)8M(D)－8Maxxx01234．齊次線性方程組xaxx0有非零解，則a應(yīng)滿足（）。123xxx0123(A)a0；(B)a0；(C)a1；(D)a1．,1Ax0Axb,Axb5．設(shè)是的兩個(gè)不同的解，是的基礎(chǔ)解系，則122的通解是（）。11cc()()21121212cc()()(A)(C)(B)(D)21121212111111cc()()cc()()221222112212二．填空題。6．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，則A·BT=。7．已知A、B為4階方陣，且＝－2，＝3，則|5AB|=。AB|(AB)-1|=。BO8.在分塊矩陣A=中，已知B1、C1存在，而O是零矩陣，則OCA1。1/8111123459．設(shè)D=2723,則AAAA。41424344543712310．設(shè)矩陣A=235，則A的秩R(A)=。471三．計(jì)算題（要求寫清計(jì)算過(guò)程）11112311.設(shè)A111，B124，求32。ABA111051x121x2nn12．計(jì)算行列式D12n。x123xxx5xx01xxxx234313．解齊次線性方程組20。12343xx8xx012342/80101114．解矩陣方程，其中111,B20。AAXBX10153xxxa123axxx1有解,并求其解15．a(chǎn)取何值時(shí)，線性方程組。x1xax112323四．證明題（每題5分，共10分）16.設(shè)向量組,,線性無(wú)關(guān)，證明以下向量組線性無(wú)關(guān)：123223313，，。11217．設(shè)n階矩陣A滿足A22A4IO.證明：A可逆并求A1。3/8

線性代數(shù)參考答案一、單項(xiàng)選擇題。k121．2k10的充分必要條件是(C)。(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k32．若AB＝AC，當(dāng)（B）時(shí)，有B＝C。(A)A為n階方陣(B)A為可逆矩陣(D)A為對(duì)稱矩陣(C)A為任意矩陣aaa2a2a2a13111213233311123．若三階行列式aaaM，則2a2a（D）。2a2122212223aaa2a2a2a3131323233(A)－6M(B)6M(C)8M(D)－8Maxxx01234．齊次線性方程組xaxx0有非零解，則a應(yīng)滿足（D）。123xxx0123(A)a0；(B)a0；(C)a1；(D)a1．,1Ax0Axb,Axb5．設(shè)是的兩個(gè)不同的解，是的基礎(chǔ)解系，則122的通解是（A）。11cc()()21121212cc()()(A)(C)(B)(D)2112121211111cc()()21121212cc()()21222二．填空題。6．A=(1,2,3,4)，B=(1,-1,3,5)，則A·BT=28。|5AB|=-3750。7．已知A、B為4階方陣，且＝－2，＝3，則BA|(AB)-1|=-1/6。(答對(duì)其中一空給2分)BO8.在分塊矩陣A=中，已知B1、C1存在，而O是零矩陣，則OCBO1A1OC。14/8111123459．設(shè)D=2723,則AAAA414243440。543712310．設(shè)矩陣A=235，則A的秩R(A)=2。471三．計(jì)算題（要求寫清計(jì)算過(guò)程）11112311.設(shè)A111，B124，求32。ABA11105111112301524解：3AB3111124015186270111051015242223AB2A01518222627022221322=21720。4292x121x212．計(jì)算行列式D12nnn。x123xx1n(n1)12nnn2x121x2nx1n(n1)x2n2解：D12nx1n(n1)2xx2123xx1n(n1)23x25/8112nnn1x2[x1n(n1)]12x2123110x10x2n00[x1n(n1)]01x22011xn=[x1n(n1)](x1)(x2)(xn)。2xx5xx013．解齊次線性方程組xx2xx04123431233xx8xx01234解：先給出系數(shù)矩陣并對(duì)其做初等行變換3210121151017A1123231810000得出原方程組的同解方程組3xxx02134x7x2x02234設(shè)xc,xc,c,c為任意常數(shù).得到方程組的全部解為31421237(x,x,x,x)Tc(,,1,0)Tc(1,2,0,1)T,c,c為任意常數(shù)。221234121201011111,B14．解矩陣方程AXBX，其中A20。10153解：由AXBX得(IA)XB。因?yàn)镮A0所以X(IA)1B。6/8110102/31/3(IA)110112/31/310201/31/302/31/31131因而X(IA)1B12/31/320=2001/31/35311xxxa123axxx1有解,并求其解。15．a(chǎn)取何值時(shí)，線性方程組123x1xax123111a111a解：(Ab)a11101a1a1a211a100a11a當(dāng)a1時(shí)，r(A)r(A|b)3,有唯一解：x1,xa2,x1;123當(dāng)a1時(shí)，1111(A|b)0000即原方程組與下面方程0000x1xx同解,其中x,x是自由變量.23123(x,x)T取(0,0)T得到一個(gè)特解為(1,0,0)T.23原方程組的導(dǎo)出組與方程.xxx同解123(x,x)T分別取(1,0)T,(0,1)T得到一個(gè)基礎(chǔ)解系為:23(1,1,0)T,(1,0,1)T因此,當(dāng)a1時(shí)，方程組的通解為:(1,0,0)Tc(1,1,0)Tc(1,0,1)T，c,c為任意常數(shù).1212四．證明題（每題5分，共10分）16.設(shè)向量組,,線性無(wú)關(guān)，證明以下向量組線性無(wú)關(guān)：123，，。112223313證明:設(shè)kkk0，所以1122337/833(kk)(kk)(kk)