四川省綿陽市綿陽中學2022-2023學年高一上學期12月月考數學試題

南山中學高2022級高一12月線上測試一數學（時間：120分鐘滿分：150分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據交集定義運算即可【詳解】因為，所以,故選：B.【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解.2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，則“a＝3”是“A?B”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據充分條件、必要條件的概念結合集合間的關系可得結果.【詳解】a＝3時，A＝{1，3}，A?B，即充分性成立；當A?B時，a＝2或3，即必要性不成立；故選：A.3.已知，且，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】ABC可以通過舉出反例，D選項可以通過不等式的基本性質進行求解.【詳解】當時，，而，，而無意義，故ABC錯誤；因為，所以，D正確.故選：D4.已知命題p：實數的平方是非負數，則下列結論正確的是（）A.命題非p是真命題B.命題p存在量詞命題C.命題p是全稱量詞命題D.命題p既不是全稱量詞命題也不是存在量詞命題【答案】C【解析】【分析】根據復合命題的真值表判斷A，根據全稱命題和特稱命題的概念判斷BCD．【詳解】命題p：實數的平方是非負數，是真命題，因此非p是假命題，A錯；命題，實際上是說所有實數的平方都是非負數，是全稱性命題，B錯，C正確，D錯．故選：C．5.若，則下列四個數中最小的數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據可以推出、、都大于1，，故可得答案.【詳解】因為，所以，，，，所以四個數中最小的數是.故選：D【點睛】關鍵點點睛：利用不等式的性質找中間量1進行比較是解題關鍵.6.下列“若,則”形式的命題中，是的必要條件的有（）個①若是偶數,則是偶數②若，則方程有實根③若四邊形的對角線互相垂直,則這個四邊形是菱形④若，則A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據必要條件的概念找出符合要求的選項即可.【詳解】對于①，是偶數，不能保證，均是偶數，也有可能都是奇數，故①不符合題意；對于②，若方程，則需滿足，即，可推出，故②符合題意；對于③，若四邊形是菱形，則四邊形對角線互相垂直，故③符合題意；對于④，若，則，故④符合題意.故選：D.7.若命題“存在”是真命題，則實數m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可知方程有實數解，即求.【詳解】由題知方程有實數解，∴，解得，故選：B.8.若關于的不等式的解集是，則關于的不等式的解集是（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】根據一元一次不等式解集的性質，結合解一元二次不等式的方法進行求解即可.【詳解】因為不等式的解集是，所以，，所以關于的不等式，即，即，解得或，故不等式的解集是或.故選：A.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.若非零實數滿足，則下列不等式不一定成立是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過代特殊值，或是根據做差法，判斷選項.【詳解】A.當時，不等式不成立，故A正確；B.當時，不成立，故B正確；C.因為是非零實數，且滿足，所以一定成立，故C錯誤；D.，因為，所以，但可能是正數，負數，或零，所以不一定成立，故D正確.故選：ABD10.下列說法正確的是（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是【答案】AB【解析】【分析】利用基本不等式直接判斷A,利用根式判斷B,利用等號不成立判斷C,利用特值判斷D【詳解】當時，（當且僅當，即時取等號），A正確；，因為，所以，B正確；，當且僅當，即時，等號成立，顯然不成立，故C錯誤；當時，，D錯誤.故選:AB.11.對于給定實數，關于的一元二次不等式的解集可能是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】討論參數，得到一元二次不等式的解集，進而判斷選項的正誤.【詳解】由，分類討論如下：當時，；當時，；當時，或；當時，；當時，或.故選：AB.12.已知不等式的解集為，則下列結論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據一元二次方程與一元二次函數的關系即可判斷；對B，C，利用韋達定理即可判斷；對D，根據韋達定理以及，即可求解.【詳解】解：對A，不等式的解集為，故相應的二次函數的圖象開口向下，即，故A錯誤；對B，C，由題意知：和是關于的方程的兩個根，則有，，又，故，故B，C正確；對D，，，又，，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.設集合，，若，則實數t的取值范圍為____________．【答案】【解析】【分析】由可知，討論與，即可求出答案.【詳解】因為，所以，當時：，滿足題意；當時：，無解；所以實數t的取值范圍為.故答案為：14.若關于x的不等式的解集為R，則實數a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】分兩種情況和，可求出實數的取值范圍.【詳解】關于的不等式的解集為.當時，原不等式為，該不等式在上恒成立；當時，則有，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：15.已知，且，則的最大值為_____．【答案】【解析】【分析】將化為后，根據基本不等式可求得結果.【詳解】因為，且，所以，即，當且僅當時，等號成立.所以的最大值為.故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.16.某種襯衫進貨價為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價元，則每天賣出件數將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價的取值范圍是________．(假設每件襯衫的售價是m)【答案】【解析】【分析】由每件襯衫的售價是元，可知每天的銷售量為件，那么可以得到每天出售襯衫的凈收入，令其大于等于，構建不等式解不等即可.【詳解】假設每件襯衫的售價是元，則每天的銷售量為件，每天出售襯衫的凈收入，令,，，解得,故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.在①；②；③是的真子集.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的集合存在，求實數的值；若問題中的集合不存在，說明理由.問題：是否存在集合滿足集合，集合且，使得_______成立？【答案】時，使得①、③成立；時使得②成立【解析】【分析】若選編號①，則可得則，根據元素與集合的關系可解；若選編號②，則的兩根為，根據韋達定理可解；若選編號③，由則或，從而可解.【詳解】，選編號①，要使得，則，所以且，解得；選編號②，由，即的兩根為，由韋達定理可得，解得；選編號③，，由則或或，當時，，當時，無解，綜上可得，時，使得①、③成立；時使得②成立.18.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由交集，補集的概念求解；（2）轉化為集合間關系后分情況列式求解.【小問1詳解】當時，，，則,，【小問2詳解】由題意得是的真子集，當是空集時，，解得；當是非空集合時，則且與不同時成立，解得，故a的取值范圍是19.若實數，且滿足．（1）求的最大值；（2）求x+y的最小值．【答案】（1）4（2）4【解析】【分析】(1)把條件變形為，再利用基本不等式求出xy的范圍即可求解;(2)把條件變形為，再利用基本不等式求出x+y的范圍即可求解;【小問1詳解】∵x>0，y>0，∴，即，解得，當且僅當時，等號成立，∴xy的最大值為4．小問2詳解】，∴，∴，當且僅當時，等號成立．即x+y的最小值為4．20.已知關于的不等式．（1）當時，解上述不等式；（2）當時，解上述關于的不等式.【答案】（1）；（2）當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為或.【解析】【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；（2）分情況討論，當時為一元一次不等式，當和時，均為一元二次不等式，按一元二次不等式的解法求解即可詳解】（1）當時，代入可得，解不等式可得，所以不等式的解集為.（2）關于的不等式．若，當時，代入不等式可得，解得；當時，化簡不等式可得，由解不等式可得，當時，化簡不等式可得，解不等式可得或，綜上可知，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為或.【點睛】此題考查了一元二次不等式的解法，考查含參數的一元二不等式，考查分類討論的思想，考查了計算能力，屬于中檔題.21.國際上鉆石的重量計量單位為克拉．已知某種鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，且一顆重為3克拉的該鉆石的價值為54000美元．（1）寫出鉆石的價值y關于鉆石重量x的關系式；（2）把一顆鉆石切割成兩顆鉆石，若兩顆鉆石的重量分別為m克拉和n克拉，試證明：當時，價值損失的百分率最大．（注：價值損失的百分率100%；在切割過程中的重量損耗忽略不計）【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據鉆石的價值(美元)與其重量(克拉)的平方成正比，設出關系式，利用克拉時的價值求得的值，由此求得關系式；（2）求得的關系式寫出原有價值和現有價值，通過計算價值損失百分率，利用基本不等式可得答案.【小問1詳解】由題意可設價值與重量的關系式為：，∵3克拉的價值是美元，∴，解得：，∴；【小問2詳解】若兩顆鉆石的重量為克拉，則原有價值是，現有價值是，價值損失的百分率為，當且僅當時取等號，∴當時，價值損失的百分率最大.22.