數(shù)學(xué)蘇教版必修3知識導(dǎo)引3.3幾何概型

3.3幾何概型案例探究判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概率是否是古典概型？若不是，它又是什么概型呢？（1）拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個“4點”的概率；（2）如右圖所示，圖中有一個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率.分析：本題探究的是幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性和等可能性，而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果，且與事件的區(qū)域長度有關(guān).解：（1）拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×6=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型.（2）游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”.概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關(guān)，因此屬于幾何概型.請同學(xué)們再想想下面問題.某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各地的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率.分析：假設(shè)他在0～60分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的，但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻，不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.我們可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)生的概率.因為客車每小時一班，他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的，所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件.解：設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}，我們所關(guān)心的事件A恰好是到站等車的時刻位于［50，60］這一時間段內(nèi)，因此由幾何概型的概率公式，得P（A）=．即“等待的時間不多于10分鐘”的概率為．自學(xué)導(dǎo)引1．對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型（geometricprobabilitymodel）.2．幾何概型的兩個基本特征：（1）無限性：在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個.（2）等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.3．一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P（A）=.這里要求D的測度不為0，其中“測度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時，相應(yīng)的“測度”分別是長度、面積和體積等.4．幾何概型的試驗中，事件A發(fā)生的概率P（A）只與子區(qū)域d的測度（長度、面積、體積）成正比，而與子區(qū)域d的位置和形狀無關(guān).疑難剖析古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，幾何概型的基本事件則有無限多個.計算幾何概型的概率要先計算基本事件總體與事件A包含的基本事件對應(yīng)的區(qū)域的測度（角度、面積、體積），而這可能遇到困難，這是本節(jié)難點之一.實際上本節(jié)的重點不在于計算，而在于如何利用幾何知識，把問題轉(zhuǎn)化為各種幾何概型的概率問題.同時要注意判斷基本事件的等可能性，這需要嚴(yán)謹(jǐn)思維，切忌想當(dāng)然，需要從問題的實際背景中去判斷.【例1】在等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM的長小于AC的長的概率.思路分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D．當(dāng)點M位于圖中線段AC′上時，AM<AC．故線段AC′即為區(qū)域D．解：在AB上截取AC′=AC．于是P（AM<AC)=P(AM<AC′)=.思維陷阱：如右圖，在等腰Rt△ABC中，過直角頂點C在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM<AC的概率.錯解：在AB上取AC′=AC,在∠ACB內(nèi)作射線CM看作在線段AC上任取一點M，過C、M作射線CM，則概率為.錯因分析：雖然在線段上任取一點是等可能的，但過點C和任取的點所作的射線是不均勻的，因而不能把等可能取點看作等可能作射線.因此在確定基本事件時，一定要注意選擇好觀察角度，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性.正解：在∠ACB內(nèi)的射線CM是均勻分布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的.在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=67．5°，故滿足條件的概率為=0.75．思維啟示：判斷基本事件應(yīng)從“等可能”的角度入手，選擇好觀察角度.【例2】如右圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，∠xOT=60°，任作一條射線OA，求射線OA落在∠xOT內(nèi)的概率.思路分析：以O(shè)為起點作射線OA是隨機的，因而射線OA落在任何位置都是等可能的.落在∠xOT內(nèi)的概率只與∠xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件.記B={射線OA落在∠xOT內(nèi)}.∵∠xOT=60°,∴P(B)==．思維啟示：此題關(guān)鍵是搞清過O作射線OA可以在平面內(nèi)任意作，而且是均勻的.因而基本事件的發(fā)生是等可能的.【例3】如右圖，在墻上掛著一塊邊長為16cm的正方形木板，上面畫了小、中、大三個同心圓，半徑分別為2cm、4cm、6cm,某人站在3m之外向此板投鏢，設(shè)投鏢擊中線上或沒有投中木板時都不算，可重投，問：（1）投中大圓內(nèi)的概率是多少？（2）投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率是多少？（3）投中大圓之外的概率是多少？思路分析：投中正方形木板上每一點（投中線上或沒投中都不算）都是一個基本事件，這一點可以是正方形木板上任意一點，因而基本事件有無限多個，且每個基本事件發(fā)生的可能性都相等，所以投中某一部分的概率只與這部分的幾何度量（面積）有關(guān)，這符合幾何概型的條件.解：記A={投鏢擊中大圓內(nèi)}，B={投鏢擊中小圓與中圓形成的圓環(huán)}，C={投鏢擊中大圓之外}.S正方形=162=256，S大圓=π×62=36π,S中圓=π×42=16π,S小圓=π×22=4π．∴P(A)=．P(B)=．P(C)=．答：投中大圓內(nèi)的概率是π；投中小圓與中圓形成的圓環(huán)的概率為π；投中大圓之外的概率是1π．思維啟示：投中線上或沒投中不算，是為了保證投中正方形內(nèi)各部分的任意一點都是等可能的，因而可用幾何概型的概率公式求概率.【例4】在500mL的水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出2mL水樣放到顯微鏡下觀察，求發(fā)現(xiàn)草履蟲的概率.思路分析：由于草履蟲在水中什么位置是隨機的，而取水樣也具有隨機性，所以取哪一部分水樣的可能性相等.因而取到草履蟲的概率只與所取水樣的體積有關(guān).這符合幾何概型的條件.解：記事件A={在取出的2mL水樣中有草履蟲}.由幾何概率公式得，P（A）==0.004．【例5】甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時即可離去.求兩人能會面的概率.思路分析：甲、乙兩人中每人到達(dá)會面地點的時刻都是6時到7時之間的任一時刻，如果在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)用x軸表示甲到達(dá)約會地點的時間，y軸表示乙到達(dá)約會地點的時間，用0分到60分表示6時到7時的時間段，則橫軸0到60與縱軸0到60的正方形中任一點的坐標(biāo)（x,y），就表示甲、乙兩人分別在6時到7時時間段內(nèi)到達(dá)的時間.而能會面的時間由|xy|≤15所對應(yīng)的圖中陰影部分表示.由于每人到達(dá)的時間都是隨機的，所以正方形內(nèi)每個點都是等可能被取到的（即基本事件等可能發(fā)生）.所以兩人能會面的概率只與陰影部分的面積有關(guān)，這就轉(zhuǎn)化為面積型幾何概率問題.解：以x和y軸分別表示甲、乙兩人到達(dá)約定地點的時間，則兩人能夠會面的充要條件是|xy|≤15．在如右圖所示平面直角坐標(biāo)系下，(x,y)的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形，而事件A“兩人能夠會面”的可能結(jié)果由上圖中的陰影部分表示.由幾何概率公式得：P（A）=答：兩人能會面的概率是．思維啟示：本題的難點是把兩個時間分別用x,y兩個坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點（x,y），從而把時間這個一維長度問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概率問題.拓展遷移【拓展點】喬和摩進(jìn)行了30分鐘的關(guān)于他們前一天夜里進(jìn)行的活動的談話，然而談話卻被監(jiān)聽錄音機錄了下來，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長的一段內(nèi)容包含他們倆犯罪的信息，然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯了鍵，使從此處往后的所有內(nèi)容都被擦掉了.試問：如果這10秒鐘的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？分析：包含兩人犯罪的談話錄音的部分在30s到40s之間，當(dāng)按錯鍵的時刻在這段時間內(nèi)時，部分被擦掉，當(dāng)按錯鍵的時刻在0到30s之間時全部被擦掉，