24.7 第1課時(shí) 弧長(zhǎng)與扇形面積

24.7弧長(zhǎng)與扇形面積第1課時(shí)弧長(zhǎng)與扇形面積1．經(jīng)歷弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探求過程；2．會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算(難點(diǎn))．一、情境導(dǎo)入在我們?nèi)粘Ｉ钪校⌒坞S處可見，大到星體運(yùn)行軌道，小到水管彎管，操場(chǎng)跑道，高速立交的環(huán)形入口等等，你有沒有想過，這些弧形的長(zhǎng)度應(yīng)該怎么計(jì)算呢？二、合作探究探究點(diǎn)一：與弧長(zhǎng)有關(guān)的計(jì)算【類型一】求弧長(zhǎng)如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，則劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為________cm.解析：連接OB、OC，∵AB是⊙O的切線，∴AB⊥BO.∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.在等腰△OBC中，∠BOC＝180°－2∠OBC＝180°－2×60°＝60°.∴eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(60×π×6,180)＝2π.方法總結(jié)：根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)，求弧長(zhǎng)應(yīng)先確定圓弧所在圓的半徑R和它所對(duì)的圓心角n的大?。兪接?xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第1題【類型二】利用弧長(zhǎng)求半徑或圓心角(1)已知扇形的圓心角為45°，弧長(zhǎng)等于eq\f(π,2)，則該扇形的半徑是________；(2)如果一個(gè)扇形的半徑是1，弧長(zhǎng)是eq\f(π,3)，那么此扇形的圓心角的大小為________．解析：(1)若設(shè)扇形的半徑為R，則根據(jù)題意，得eq\f(45×π×R,180)＝eq\f(π,2)，解得R＝2.(2)根據(jù)弧長(zhǎng)公式得eq\f(n×π×1,180)＝eq\f(π,3)，解得n＝60，故扇形圓心角的大小為60°.方法總結(jié)：逆用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式可求出相應(yīng)扇形的圓心角和半徑．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第6題【類型三】求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)行的弧形軌跡如圖，Rt△ABC的邊BC位于直線l上，AC＝eq\r(3)，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動(dòng)地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A第3次落在直線l上時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)為________(結(jié)果用含π的式子表示)．解析：點(diǎn)A第1次落在直線l上所經(jīng)歷的路線的長(zhǎng)為一個(gè)半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長(zhǎng)，此后每落在直線l上一次，都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)半徑長(zhǎng)為2，圓心角為120°的扇形弧長(zhǎng)和一個(gè)半徑為eq\r(3)，圓心角為90°的扇形弧長(zhǎng)之和，故點(diǎn)A第3次落在直線l上所經(jīng)過的路線的長(zhǎng)為三個(gè)半徑為2，圓心角為120°的扇形弧長(zhǎng)與兩個(gè)半徑為eq\r(,3)，圓心角為90°的扇形弧長(zhǎng)之和，即l＝3×eq\f(120π×2,180)＋2×eq\f(90π×\r(3),180)＝4π＋eq\r(3)π.故填(4＋eq\r(3))π.方法總結(jié)：此類翻轉(zhuǎn)求路線長(zhǎng)的問題，通過歸納探究出這個(gè)點(diǎn)經(jīng)過的路線情況的規(guī)律，并以此推斷整個(gè)運(yùn)動(dòng)途徑，從而利用弧長(zhǎng)公式求出運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題探究點(diǎn)二：與扇形面積相關(guān)的計(jì)算【類型一】求扇形面積一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑為3，則這個(gè)扇形的面積為________(結(jié)果保留π)．解析：把圓心角和半徑代入扇形面積公式S＝eq\f(nπr2,360)＝eq\f(120×32π,360)＝3π.方法總結(jié)：扇形面積公式中涉及三個(gè)字母，只要知道其中兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)．扇形面積還有另外一種求法S＝eq\f(1,2)lr，其中l(wèi)是弧長(zhǎng)，r是半徑．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型二】求運(yùn)動(dòng)形成的扇形面積如圖，把一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2且含有30°角的直角三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△A1B1C，則在旋轉(zhuǎn)過程中這個(gè)三角板掃過圖形的面積是()A．πB.eq\r(3)C.eq\f(3π,4)＋eq\f(\r(3),2)D.eq\f(11π,12)＋eq\f(\r(3),4)解析：在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝1.由于這個(gè)三角板掃過的圖形為扇形BCB1和扇形ACA1，∴S扇形BCB1＝eq\f(90·π·12,360)＝eq\f(π,4)，S扇形ACA1＝eq\f(90·π·（\r(3)）2,360)＝eq\f(3π,4)，∴S總＝eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＝π.故選A.方法總結(jié)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想把掃過的面積分成兩個(gè)扇形的面積與一個(gè)三角形面積是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第2題【類型三】求陰影部分的面積如圖，半徑為1cm、圓心角為90°的扇形OAB中，分別以O(shè)A、OB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為()A．πcm2B.eq\f(2,3)πcm2C.eq\f(1,2)cm2D.eq\f(2,3)cm2解析：設(shè)兩個(gè)半圓的交點(diǎn)為C，連接OC，AB，根據(jù)題意可知點(diǎn)C是半圓eq\o(OA,\s\up8(︵))，eq\o(OB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，所以eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(OC,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，所以BC＝OC＝AC，即四個(gè)弓形的面積都相等，所以圖中陰影部分的面積等于Rt△AOB的面積，又OA＝OB＝1cm，即圖中陰影部分的面積為eq\f(1,2)cm2，故選C.方法總結(jié)：求圖形面積的方法一般有兩種：規(guī)則圖形直接使用面積公式計(jì)算；不規(guī)則圖形