等差數(shù)列的前項(xiàng)和及性質(zhì)10大題型 （解析版）

第3講等差數(shù)列的前項(xiàng)和及性質(zhì)10大題型【考點(diǎn)預(yù)測】一．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項(xiàng)和．二．等差數(shù)列前項(xiàng)和的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列，為公差，為該數(shù)列的前項(xiàng)和．（1），…也成等差數(shù)列，公差為．（2）若是等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的．（3）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則；；．（4）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則；；．（5）在等差數(shù)列中，若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值；若，則滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值．三．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?（為常數(shù)）．四．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值公差為遞增等差數(shù)列，有最小值；公差為遞減等差數(shù)列，有最大值；公差為常數(shù)列．特別地若，則有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）；若，則有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）．【題型目錄】題型一：等差數(shù)列求和公式基本運(yùn)用題型二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和題型三：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和與的比構(gòu)成新的等差數(shù)列題型五：兩個等差數(shù)列前項(xiàng)之比問題題型六：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值題型七：關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論題型八：對于含絕對值的數(shù)列求和問題題型九：等差數(shù)列與三角函數(shù)結(jié)合題型十：斐波那契數(shù)列【典型例題】題型一：等差數(shù)列求和公式基本運(yùn)用【例1】（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】方法一：∵∴∴∴，方法二：由于是二次函數(shù),當(dāng)時的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，由可知，的關(guān)于對稱，因此，故選:B【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足，且，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式得到數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出公差和通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)椋?，?所以，所以，，，所以，.故選：B【例3】（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A．72 B．74 C．75 D．76【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，.故選：C.【例4】（2022·上?！?fù)旦附中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列都是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)分別為，且，是正整數(shù)，設(shè)則數(shù)列的前項(xiàng)和=__________.【答案】【分析】求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式，得到為首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【詳解】數(shù)列，，所以，則，，且，所以為首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，所以.故答案為：【例5】（2022·北京石景山·高二期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，已知，，則（

）A．有最小值，有最小值 B．有最大值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最大值，有最小值【答案】C【詳解】依題意，由解得，，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：最小，無最大值.……當(dāng)時：，且為遞減數(shù)列，故有最大值，沒有最小值.故選：C【例6】（2021·福建省華安縣第一中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則m等于（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【詳解】是等差數(shù)列，，又，∴公差，，故選：D．【例7】（2022·全國·高三專題練習(xí)）為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如.(1)求；(2)求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合條件即可得到的通項(xiàng)公式，再根據(jù)即可得到結(jié)果.（2）由（1）中結(jié)果即可求得中的各項(xiàng)，加起來即可求得結(jié)果.（1）因?yàn)闉楣顬榈牡炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，且所以，解得，則公差，所以，由于，所以，（2）由于，，，所以數(shù)列的前2022項(xiàng)和，【例8】（2022·山西呂梁·高二期末）北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊．已知每層圈數(shù)相同，共有9圈，則下層比上層多______塊石板．【答案】1458【詳解】設(shè)第圈的石板為，由條件可知數(shù)列是等差數(shù)列，且上層的第一圈為，且，所以，上層的石板數(shù)為，下層的石板數(shù)為.所以下層比上層多塊石板.故答案為：1458【題型專練】1.（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，解得：，.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】C【分析】設(shè)的公差為，依題意得到方程組，解得、，從而得解.【詳解】解：設(shè)的公差為，依題意可得，即，解得，所以；故選：C.3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由題意得：設(shè)的公差為又，又，故選：D4.（2022·黑龍江·哈爾濱三中模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．115 B．110 C． D．【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，則由得，解得，．故選：D．5.（2021·云南·模擬預(yù)測（文））已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和．若，則______．【答案】【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)樗?，解得，所以，所以．故答案為?．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2022北京冬奧會開幕式將我國二十四節(jié)氣融入倒計(jì)時，盡顯中國人之浪漫．倒計(jì)時依次為：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、處暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒種、小滿、立夏、谷雨、清明、春分、驚蟄、雨水、立春，已知從冬至到夏至的日影長等量減少，若冬至、立冬、秋分三個節(jié)氣的日影長之和為31.5寸，冬至到處暑等九個節(jié)氣的日影長之和為85.5寸，問大暑的日影長為（

）A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸【答案】B【詳解】因?yàn)閺亩恋较闹恋娜沼伴L等量減少，所以構(gòu)成等差數(shù)列，由題意得：，則，，則，所以公差為，所以，故選：B題型二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求和【例1】（2022·遼寧·高三開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則（

）A．150 B．120 C．75 D．60【答案】D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式計(jì)算即可得解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，所以，.故選：D【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（

）A．74 B．81 C．162 D．148【答案】B【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，即，所以.故選：B【例3】（2022·陜西·渭南市三賢中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知一個等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，前項(xiàng)和為77，則項(xiàng)數(shù)的值為___________.【答案】7【分析】先利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件可求出的值，再利用等差數(shù)列的求和公式列方程可求出項(xiàng)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前四項(xiàng)和為21，末四項(xiàng)和為67，所以，所以，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為77，所以，解得，故答案為：7【例4】（2022·海南?？凇ざ＃┰O(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（

）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解析】因?yàn)?，又，所以，所以，即，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，又，所以，所以．故選：C.【例5】（2022·浙江寧波·高一期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令函數(shù)，，，則是R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，由得，由得，于是得，且，即，且，所以等差數(shù)列前項(xiàng)，且.故選：C【題型專練】1．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則___________.【答案】55【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，化簡，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，則，即，所以，故答案為：552.（2022·全國·模擬預(yù)測（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．60 B．75 C．90 D．105【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，故，即，，故.故選：D3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，求項(xiàng)數(shù)的值．【答案】【分析】利用、，兩式作和，結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，代入等差數(shù)列求和公式可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】，，，又，，解得：，，解得：.4.（2022·青?！ず|市第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前21項(xiàng)的和為（

）A．6 B．30 C．63 D．126【答案】C【解析】，是方程的兩根，由韋達(dá)定理得：，所以等差數(shù)列的前21項(xiàng)的和．故選：C5.（2022·河南焦作·一模（文））設(shè)和都是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為和，若，，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以；因?yàn)?，所以．由等差?shù)列的前項(xiàng)和公式可得，，所以．故選：A6．（2022·全國·高二單元測試）已知一等差數(shù)列的前三項(xiàng)和為94，后三項(xiàng)和為116，各項(xiàng)和為280，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為______．【答案】8【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項(xiàng)和公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)此等差數(shù)列共有項(xiàng)，，，又，.故答案為：8.7．（2022·全國·高二單元測試）在等差數(shù)列中，已知，，，則______．【答案】20【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，化簡整理解得等差數(shù)列其中兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得方程，解得答案.【詳解】在等差數(shù)列中，，，，同理由，則，即，由，解得.故答案為：20.8．（2022·四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)（理））等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，滿足，其中為邊上任意一點(diǎn)，則（

）A．2020 B．1020 C．1010 D．2【答案】C【詳解】由題設(shè)知：，而.故選：C題型三：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根據(jù)在等差數(shù)列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差數(shù)列即可得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因?yàn)?S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故選：D.【例2】（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，成等差數(shù)列，設(shè)，則，即成等差數(shù)列，故，解得，故即，故，，故故選：D【例3】（2022·陜西省丹鳳中學(xué)高一階段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)求解即可【詳解】由，得，設(shè)，則，因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，……，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，故選：A【題型專練】1．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.【詳解】由已知，，，即6，15，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：B．2．（2022·四川省南充市第一中學(xué)高一期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且則（

）A．2330 B．2130 C．2530 D．2730【答案】D【分析】利用等差數(shù)列中構(gòu)成新的等差數(shù)列的性質(zhì)，再利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求得的值.【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則構(gòu)成等差數(shù)列，即，構(gòu)成等差數(shù)列，則，則故選：D3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】32【分析】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，進(jìn)而即得.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.4．（2022·遼寧·高二期中）在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，，則______．【答案】27【分析】根據(jù)等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及等差中項(xiàng)列方程求.【詳解】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)：成等差數(shù)列，所以，故.故答案為：275．（2022·黑龍江·哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，則_____．【答案】42【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即7，14，成等差數(shù)列，所以，解得．故答案為：42．6.（2021·重慶市育才中學(xué)高二期中）等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則為____.【答案】15【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列片段和的性質(zhì)可得，即可求.【詳解】由等差數(shù)列片段和的性質(zhì)知：成等差數(shù)列，∴，則，又，，∴.故答案為：15.題型四：等差數(shù)列前項(xiàng)和與的比構(gòu)成新的等差數(shù)列【例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項(xiàng)為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．【例2】（2022·河北·河間一中高三開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列，由已知等式可求得其公差，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，又，解得：，又，，.故選：B.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)多選題）已知等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列B．若，且，則C．若，，則D．若，，則【答案】ABC【分析】利用等差數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式及求和公式的基本量運(yùn)算，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，則，其前n項(xiàng)和為．選項(xiàng)A，，則（常數(shù)），所以數(shù)列為等差數(shù)列，故A正確．選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，從而，所以，故B正確．選項(xiàng)C，由，，得解得，，所以，故C正確．選項(xiàng)D，由，，則，，將以上兩式相減可得，即．又，所以，即，，所以D不正確．故選：ABC．【題型專練】1．（2021·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和．若，且，則等于（

）A．-2021 B．-2020 C．-2019 D．-2018【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件求出等差數(shù)列的首項(xiàng)，即可得到.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，令，則也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，由得，又得.故選：A．2．（2022·全國·高二多選題）下列結(jié)論中正確的有（

）A．若為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，則數(shù)列也是等差數(shù)列B．若為等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和為，則數(shù)列，，，也是等差數(shù)列C．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，它的偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，則D．若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，它的偶數(shù)項(xiàng)和為，奇數(shù)項(xiàng)和為，則【答案】AD【分析】利用等差數(shù)列定義判斷，利用等差數(shù)列片段和性質(zhì)判斷，利用奇偶項(xiàng)和的性質(zhì)判斷.【詳解】對于A，，數(shù)列是等差數(shù)列，故正確；對于B，，，是等差數(shù)列，故錯誤；對于C，，，所以，故錯誤；對于D，，，所以，故正確；故選：AD.3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若且，則(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)的公差為d，∵∴，即{}為等差數(shù)列，公差為，由知，故﹒故選：A﹒4．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則___________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.題型五：兩個等差數(shù)列前項(xiàng)之比問題【例1】（2022·山西·忻州一中高三階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則__________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則.故答案為：【例2】（2022·天津·高二期末）若等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，滿足，則_______.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，所以.故選：A【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)，，由，直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.【例5】（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式即可轉(zhuǎn)化成,進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C【例6】（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二）兩個等差數(shù)列則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)結(jié)合已知可解.【詳解】因?yàn)樗?，故選：A【例7】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，，若對任意自然數(shù)n都有，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)將式子化為，再化為，進(jìn)而得到，最后根據(jù)條件求得答案.【詳解】由題意，.故選：C.【例8】（2021·江蘇·高二單元測試）已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，將用n表示出即可作答.【詳解】依題意，，又=，于是得，因此，要為整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)是正整數(shù)，而，則是32的大于1的約數(shù)，又32的非1的正約數(shù)有2，4，8，16，32五個，則n的值有1，3，7，15，31五個，所以使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)為5.故選：B【題型專練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)等差數(shù)列、的公差分別為、,由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出它們的首項(xiàng)、公差之間的關(guān)系,可得結(jié)論.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C2．（2022·安徽滁州·高二期中）設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合等差中項(xiàng)與等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】在等差數(shù)列中，由，得，故選：B3．（2022·安徽宿州·高二期中）已知兩個等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)與前n項(xiàng)公式化簡即可求解．【詳解】由．故選：D4．（2022·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B5．（2022·全國·高二）已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Sn′，如果(n∈N*)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前和的性質(zhì)，得到，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，且，可得＝＝＝.故選：C.6．（2021·全國·高二單元測試）已知數(shù)列，均為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為，，且若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C．-2 D．2【答案】C【解析】由已知結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，，然后結(jié)合單調(diào)性可求取得最大值，從而可求.【詳解】因?yàn)閿?shù)列，均為等差數(shù)列，且，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得最大值為，所以，若對任意的恒成立，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為-2.故選：C7．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高二階段練習(xí)多選題）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，則下列說法正確的有（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C． D．【答案】AB【分析】結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，等差數(shù)列前項(xiàng)和公式對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，所以是遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確.，所以，B選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯誤.當(dāng)時，，D選項(xiàng)錯誤.故選：AB8．（2022·全國·高二課時練習(xí)）(多選)已知兩個等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】首先利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，求出與之間的關(guān)系，進(jìn)而可求出，然后根據(jù)已知求解即可.【詳解】由題意，可得，∵和均為等差數(shù)列，∴，同理，，∴，若為整數(shù)，則只需，，，.故選：AC.【點(diǎn)睛】若等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，則.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，則______．【答案】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式即可求得.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以.故答案為：10．（2023·河北·滄縣中學(xué)高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，求______．【答案】【分析】根據(jù),設(shè)，，可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，所以設(shè)，，∴．故答案為：.11．（2023海南中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)分別為等差數(shù)列，的前項(xiàng)和，且.設(shè)點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【解析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)可得，設(shè)，利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及向量共線，即可求解.【詳解】，因此可設(shè)，因此，于是.故答案為：12．（2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高一階段練習(xí)）有兩個等差數(shù)列，其前項(xiàng)和分別為.（1）若，則___________.（2）若，則___________.【答案】

【分析】利用可得填空1的答案；若，則可設(shè)，，然后可計(jì)算的值.【詳解】若，則；若，則可設(shè)，所以，，所以，故答案為：；題型六：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值【例1】（2023·北京·高三開學(xué)考試）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，列方程求得，再求解的最小值即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，解得，所以，且時，所以的最小值為.故選：A【例2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且．若存在最大值，則滿足的的最大值為_______．【答案】19【詳解】試題分析：因?yàn)橛凶畲笾担瑒t數(shù)列單調(diào)遞減．又，則，，且．所以，，故的最大值為19．【例3】（2022·四川省武勝烈面中學(xué)校高二開學(xué)考試（文））記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則取最大值時的值為（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可解出值為－2，從而可知數(shù)列前11項(xiàng)為正；第12項(xiàng)為0；從第13項(xiàng)起，各項(xiàng)為負(fù)，所以取得最大值時n的值可確定.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以數(shù)列滿足：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以取得最大值時，的取值為11或12.【例4】（2022·浙江·高三階段練習(xí)）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值時，的值為_______.【答案】9【詳解】試題分析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差滿足，所以是遞減數(shù)列.又.為負(fù)數(shù).,即,.,,.即時，；，.所以當(dāng)時，取最大值.【例5】（2022·江蘇南通·高三開學(xué)考試）已知等差數(shù)列中，，且公差，則其前項(xiàng)和取得最大值時的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意判斷出，即可得到答案.【詳解】由等差數(shù)列的公差，知，，所以，故，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值時的值為.故選：B【例6】（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，當(dāng)取得最小值時，（

）A．1 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項(xiàng)和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項(xiàng)是一正一負(fù)的兩項(xiàng)，比較絕對值大小可得結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時，時，，所以時，遞減，時，遞增，其中，由的表達(dá)式得，，，所時，最?。蔬x：D．【例7】（2022·四川樂山·高一期末）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，若滿足，給出下列說法：①；②；③；④當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值．其中正確說法的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題可得，，然后結(jié)合條件及求和公式逐項(xiàng)分析即得.【詳解】由，有，故②正確；又，則，從而，即，所以，故①正確；因?yàn)?，所以，故④錯誤；因?yàn)?，所以，故③錯誤；所以正確說法的個數(shù)為2.故選：B．【例8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（

）A．若有最大值，則數(shù)列的公差小于0B．若，則使的最大的n為18C．若，，則中最大D．若，，則數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)【答案】B【分析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，∵有最大值，∴等差數(shù)列一定有負(fù)數(shù)項(xiàng)，∴等差數(shù)列為遞減數(shù)列，故公差小于0，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，∵，，∴，，故中最大，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，∵，，∴，，故數(shù)列中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)，故選項(xiàng)D正確.故選：B.【例9】（2022·江西贛州·高二階段練習(xí)（文））設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則當(dāng)最大時，（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．1013【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合，可推得，由此可得答案.【詳解】由可得，即，由可得，即，故，則數(shù)列的前1011項(xiàng)為正數(shù)，從第1012項(xiàng)為負(fù)數(shù)的遞減數(shù)列，故當(dāng)最大時，1011，故選：B【例10】（2022·河北·石家莊二中高二期末多選題）等差數(shù)列中，，則下列命題中為真命題的是（

）A．公差 B．C．是各項(xiàng)中最大的項(xiàng) D．是中最大的值【答案】ABD【分析】由得：，進(jìn)而再等差數(shù)列的性質(zhì)逐個判斷即可【詳解】由得：，所以，且各項(xiàng)中最大的項(xiàng)為，故A正確，C錯誤；，所以，故B正確；因?yàn)?，等差?shù)列遞減，所以最大，故D正確；故選：ABD【例11】（2022·江蘇常州·高二期末多選題）已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，則（

）A．S5＜S9 B．該數(shù)列的公差d＜0C．a(chǎn)7＝0 D．S11＜0【答案】BC【分析】由題意可得，從而得出等差數(shù)列中前6項(xiàng)為正，從第8項(xiàng)起均為負(fù)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和的公式對選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：由可得，，得，由得，所以等差數(shù)列的公差，故選項(xiàng)B正確.所以為正，，從第8項(xiàng)起均為負(fù).故選項(xiàng)C正確.所以，故選項(xiàng)A不正確.，故選項(xiàng)D不正確.故選：BC.【例12】（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院高二期中）在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，，則在，，…，中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，，知，得最大值是，從而判斷結(jié)果．【詳解】∵等差數(shù)列前n項(xiàng)和，由，，得，∴，故為遞減數(shù)列，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以最大值是，則當(dāng)時，且單調(diào)遞增，當(dāng)時，，∴最大．故選：B．【題型專練】1．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的最大值為（

）A． B．52 C．54 D．55【答案】D【分析】利用求和公式可得公差為，進(jìn)而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故.又函數(shù)的對稱軸為直線，而，故當(dāng)時，取得最大值.故選：D.2．（2022·四川眉山·高一期末（理））設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，取最小值時，n的值為（

）A．11或12 B．12 C．13 D．12或13【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得首項(xiàng)與公差，從而可求得數(shù)列的通項(xiàng)，令，求出的范圍，從而可得出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，則有，解得，所以，令，則，又，所以當(dāng)或時，取最小值.故選：D.3．（2022·北京·高二期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，且，則的n的最大值是（

）A．5 B．6 C．10 D．11【答案】D【分析】由已知，設(shè)出公差，根據(jù)題意條件，先求解出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再求解出，再令求解出n的取值范圍即可.【詳解】由已知，等差數(shù)列中，設(shè)公差為，因?yàn)椋?，由可得，，所以，，令，得，因?yàn)?，所?故選：D.4．（2022·四川綿陽·高一期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則的前項(xiàng)和取最大值時，的值為（

）A． B． C． D．或【答案】B【分析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，故，即，因此?dāng)時，取最大值時，故選：B.5．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則使得達(dá)到最大值時是（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】用減去即可得公差，再求得的通項(xiàng)公式,再分析的最值即可.【詳解】設(shè)公差為,則減去可得,又,故,當(dāng)達(dá)到最大值時有,故.故選：B6．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測（文））數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，若，，則的最大值為（

）A．25 B．22 C．24 D．23【答案】D【分析】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù)，所以，可得是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，要取最大值，則遞增幅度要盡可能為小的整數(shù).假設(shè)遞增的幅度為，，，，解得，當(dāng)時，，不滿足題意.當(dāng)時，，滿足，所以的最大值為23.故選：D.7．（2022·廣東·鹽田高中高三階段練習(xí)多選題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．取得最大值時，【答案】AB【分析】對于ABC，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求解；對于D，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及各項(xiàng)正負(fù)判斷.【詳解】由，得即，又，所以，選項(xiàng)A正確；由；，得，選項(xiàng)B正確；由，得，又，所以，選項(xiàng)C錯誤；，令，得，解得，又，所以，即數(shù)列滿足：當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以取得最大值時，，選項(xiàng)D錯誤．故選：AB．8．（2022·福建省福安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)多選題）已知等差數(shù)列中，，公差，則使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】BC【分析】由等差數(shù)列中，可求出，從而判斷，，即可求得答案.【詳解】∵在等差數(shù)列中，，∴.又公差，∴，，∴使其前n項(xiàng)和取得最大值的自然數(shù)n是5或6,故選：BC.9．（2022·遼寧丹東·高二期末多選題）記等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，已知，，則（

）A． B． C． D．是的最小值【答案】BCD【分析】根據(jù)前n項(xiàng)和公式及條件可知，據(jù)此知數(shù)列為遞增數(shù)列，判斷ABC，再根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的符號變化可判斷D.【詳解】，，，，故數(shù)列為遞增數(shù)列，即，故A錯，B正確；，且，，，故C正確；因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且，，即數(shù)列前5項(xiàng)為負(fù)，第6項(xiàng)起為正數(shù)，所以是的最小值，故D正確.故選：BCD10.（2022·廣東廣州·高二期末多選題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．當(dāng)時取得最小值【答案】BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為，由.A：，顯然不正確；B：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，所以，因此本選項(xiàng)正確；D：因?yàn)?，所以?dāng)時，顯然沒有最小值，因此本選項(xiàng)說法不正確，故選：BC11．（2022·廣東·翠園中學(xué)高二期中多選題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則下列判斷正確的是（

）A．， B．，C．?dāng)?shù)列中絕對值最小的項(xiàng)是 D．的最大值是【答案】BCD【分析】結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和計(jì)算可得數(shù)列的，的大小關(guān)系，從而得出數(shù)列的單調(diào)性、的最大值和數(shù)列中絕對值最小的項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，所?所以等差數(shù)列的，為遞減數(shù)列，所以，故B正確，A錯誤.所以的最大值是，故D正確.因?yàn)?，結(jié)合數(shù)列等差數(shù)列單調(diào)性，所以，即，所以數(shù)列中絕對值最小的項(xiàng)是，故C正確.故選：BCD12．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，在數(shù)列中，，對任意正整數(shù)n，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值為___________.【答案】77【分析】先由題給條件判定數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用數(shù)列的單調(diào)性即可求得其前n項(xiàng)和的最大值.【詳解】因?yàn)?，且為R上的奇函數(shù)，所以.又在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以為等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為20，所以，所以，所以最大，且.故答案為：7713．（2023·全國·高三專題練習(xí)）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則的最小值為______．【答案】【分析】由條件得到，再由求和公式得，從而得可求解.【詳解】由，，得，解得：，則．故．由于，故當(dāng)或4時，.故答案為：14．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高一階段練習(xí)（理））設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則滿足的最大的正整數(shù)n的值為__________．【答案】22【分析】由已知，可通過得到，，，，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可以得到，，，然后帶入等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即可得到，，，從而作出判斷.【詳解】由已知，為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，所以，而，所以，所以，，所以，而，所以，所，，所以，而，所以，所以，，，，所以滿足的最大的正整數(shù)n的值為22.故答案為：22.15．（2022·北京平谷·高二期末）已知是等差數(shù)列，，其前5項(xiàng)和.(1)求的通項(xiàng)；(2)求前項(xiàng)和的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)的公差為，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合等差設(shè)數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)直接求解即可.(1)為等差數(shù)列，，，.又，即，解得，故，即(2)因?yàn)椋S著的增大而減小，且，，故當(dāng)或時，有最大值.16．（2022·福建省福州華僑中學(xué)高二期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求，并求的最小值.【答案】(1)；(2)，最小值為．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式由列出方程即可解出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)或者鄰項(xiàng)變號法即可判斷何時取最小值，并根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出以及其最小值．（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得因?yàn)?，所以，解得，?（2）由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得.因?yàn)?，所以，則當(dāng)或時，取得最小值.17．（2022·四川成都·高一期中（理））已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，.(1)求的通項(xiàng)公式及﹔(2)若為等差數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求得、；（2）推導(dǎo)出，，，當(dāng)取其他值時，，計(jì)算出、、的值，即可出結(jié)論.(1)解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題可知，解得．所以，.(2)解：因?yàn)?，所以?dāng)時，；當(dāng)時，．所以，，，當(dāng)取其他值時，.因?yàn)?，?所以的最小值為.題型七：關(guān)于奇偶項(xiàng)問題的討論【例1】（2022·遼寧·高二階段練習(xí)）在數(shù)列中，，且，（

）A．0 B．1300 C．2600 D．2650【答案】D【解析】解：當(dāng)為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以0為公差的等差數(shù)列，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以2為公差的等差數(shù)列，所以，所以.故選：D.【例2】（2022·四川·樹德中學(xué)高一階段練習(xí)）數(shù)列滿足，則前項(xiàng)的和______．【答案】【詳解】設(shè)，因，故由此可算得則前40項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)為，其和；偶數(shù)項(xiàng)為，其和，故所求數(shù)列前項(xiàng)的和為，應(yīng)填答案．【例3】（2022·海南中學(xué)高三）已知數(shù)列滿足，則（

）A．50 B．75 C．100 D．150【答案】A【詳解】解：∵，∴，.兩式相減得.則，，…，，∴，故選：A.【例4】（2022·山東聊城·高三期末）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【解析】(1)因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以(2)令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題可設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，然后通過即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，則，，中間項(xiàng)為，故，，故選：B.【例6】（2022·全國·高二單元測試）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，若數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的和為，偶數(shù)項(xiàng)的和為，，則公差的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計(jì)算得出，利用等差數(shù)列求和公式得出，由此可解得與的值.【詳解】由題意，，所以，，，所以，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列公差的求解，同時也考查了等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和的問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.【題型專練】1．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)為奇數(shù)時，，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.2.（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知數(shù)列中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，即數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)為偶數(shù)時，，則，兩式相減得，所以，，故，故選：D.3.（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為___________.【答案】330【解析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，，故答案為：3304．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件，推出數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，然后分別判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，可得：，，，所以不正確；可得，可知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是等差數(shù)列，公差都是1，，所以正確；，所以不正確；，所以不正確；故選：B．5．（2016·全國·高一課時練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和的差可求得，由可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】，，，，解得：.故選：D.6．（2021·全國·高二課時練習(xí)）在數(shù)列中，，，且，則________.【答案】676【解析】對分奇偶討論，由此得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律，按規(guī)律即可求解出的值.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時，，所以偶數(shù)項(xiàng)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；當(dāng)為奇數(shù)時，，所以奇數(shù)項(xiàng)為常數(shù)列，所以，所以；所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算，其中涉及到遞推公式中分奇偶項(xiàng)討論的問題，難度一般.對需要分奇偶項(xiàng)討論的數(shù)列進(jìn)行求和時，可以先分別求解出奇偶性對應(yīng)的通項(xiàng)公式，然后使用對應(yīng)求和方法進(jìn)行求和.7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）等差數(shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，則_______.【答案】29【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和性質(zhì)，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列共項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)和為319，偶數(shù)項(xiàng)和為290，記奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型.8．（2020·全國·高二課時練習(xí)）已知一個有11項(xiàng)且各項(xiàng)都不為零的等差數(shù)列，那么其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為________.【答案】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式，分別求得，，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，等差數(shù)列共有11項(xiàng)，所以奇數(shù)項(xiàng)的和為，其偶數(shù)項(xiàng)的和為，所以其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)，(2)353【分析】（1）令n取代入已知條件可以得到，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）先分奇偶求出數(shù)列的表達(dá)式，分別求奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，相加得到（1）因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以題型八：對于含絕對值的數(shù)列求和問題【例1】（2022·福建省漳州第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出和，計(jì)算可得結(jié)果；（2）由（1）的結(jié)論可得數(shù)列的前4項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第5項(xiàng)開始都為非負(fù)數(shù)．據(jù)此分2種情況求出，綜合可得答案.（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以，.（2）由，得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，.【例2】（2022·江蘇省灌南高級中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列中，，，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，（2）分類討論后由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解（1）由題意，，是等差數(shù)列且，，．（2），令，得．當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．當(dāng)時，，當(dāng)時，．．【例3】（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學(xué)高三階段練習(xí)）等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知求出和公差，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）寫出的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時，，當(dāng)時，；再利用求和公式分別在兩個范圍內(nèi)求解.（1）由題意得：，解得，；（2），當(dāng)時，，；時，，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；即，綜上所述：.【題型專練】1．（2022·遼寧·高二期中）已知在前n項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前20項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和、通項(xiàng)公式求首項(xiàng)與公差，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式.（2）首先判斷、對應(yīng)n的范圍，再根據(jù)各項(xiàng)的符號，應(yīng)用分組求和及等差數(shù)列前n項(xiàng)和求.(1)由，則，由，則，所以，即，故，則.(2)由（1）知：，可得，即，故時，所以.2．（2022·四川省遂寧市第二中學(xué)校高一期中（理））已知數(shù)列是等差數(shù)列，公差為d，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式，結(jié)合基本量求解即可（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得當(dāng)時，；當(dāng)時，，再分和兩種情況，結(jié)合的公式分別求解即可(1)∵是等差數(shù)列，公差為d．且，，∴解得，．∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)令，則，∴，∴，又，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．又，，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，從條件①、條件②和條件③中選擇兩個能夠確定一個數(shù)列的條件，并完成解答．（條件①：；

條件②：；

條件③：.）選擇條件和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，并求數(shù)列的前項(xiàng)的和【答案】(1)(2)當(dāng)時，當(dāng)時【分析】（1）根據(jù)可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，然后求出首項(xiàng)，即可得通項(xiàng).（2）由，分情況討論即可得（1）選①②，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，又得，故選②③，由可知數(shù)列是以公差的等差數(shù)列，由可知，選①③，無法確定數(shù)列.（2），其中,當(dāng)，時，當(dāng)，時，數(shù)列是從第三項(xiàng)開始，以公差的等差數(shù)列.4