趙樹嫄第四版線代答案更新版

〇1.計(jì)算下列二階行列式：(1)按定義(2)按定義，(3)按定義，(5)按定義〇2.計(jì)算下列三階行列式：=1+8+27-6-6-6=18.(3)按定義，(4)按定義，按第1行展開，或按第1列展開，◎3.證明下列等式：證明根據(jù)定義，左端b?b?而右端a=a?(b?c?-b?c?)-b?(a?c?-a?c?)+c?=a;b2cs-a;bscz-azGbascxazbbzas左端=右端，等式得證.解解解所以x≠0且x≠2.O6.O6.解為7.9(-1)?=+1,則該乘積應(yīng)取正號(hào).(-1)?=-1,則該乘積應(yīng)取負(fù)號(hào).(-1)=-1,則該乘積應(yīng)取負(fù)號(hào).(-1)?=+1,則該乘積應(yīng)取正號(hào).(-1)1?=-1,則該乘積應(yīng)取負(fù)號(hào).N(12345)+N(3k42l)=N(3k42l)欲使aisaza?4azas帶負(fù)號(hào)，必須N(3k42l)為奇數(shù)，由于k,l只能取1,5或5,1,那么所以k=1,l=5時(shí)，α?azaz?azass帶有負(fù)號(hào).式的每一項(xiàng)都是行列式的n個(gè)不同行不同列的元素的乘積，其中至多有n-1個(gè)非零元素，即行列式至少有一行全為零，因而行列式的每一項(xiàng)均為零，故行列式為零.有兩行相同)有兩行相同)(3)應(yīng)用行列式性質(zhì)(2)將左端行列式分為8個(gè)行列式之和=其中6個(gè)行列式均為兩列相同的行列式，都等于零.首先將行列式|a,|按行分塊寫作交換|a,I的第一行與第五行后的行列式轉(zhuǎn)置此行列式，值不變用2乘此行列式的所有元素再以(-3)乘第二列加于第四列，行列式值不變用4除此行列式第二行的各元素所以，經(jīng)過五次變換后的行列式的值是-8m.得上三得上三角行列式=160.f(x)=0,即(1-x2)(4-x2)=0解得x=±1,±2.元素2的代數(shù)余子式元素-2的代數(shù)余子式將ais=-1,ax=2,ax=0,aaMs-18其中1,3兩行=a+b+d.=3×4-4×(-44)+(-36)-2×=160.從第二行開始每一行乘以(-1)加到上一行然后原方程化為=(x-2)(x2-4)...解得x=0或者y=0=-48(范德蒙行列式)38略39略而方程組的系數(shù)行列式所以這個(gè)齊次線性方程組方程組的系數(shù)行列式而所以方程組整理為行列式因?yàn)閍,b,c全不為零，則D≠0.將方程組整理為計(jì)算行列式系數(shù)行列式,,系數(shù)行列式,系數(shù)行列式,,(1)方程組的系數(shù)行列式將將代入方程組(c為任意常數(shù))是該齊次線性方程組的解.齊次線性方程組的系數(shù)行列式所以該齊次線性方程組僅有零解.齊次線性方程組的系數(shù)行列式該齊次線性方程組有非零解.齊次線性方程組的系數(shù)行列式因齊次線性方程組僅有零解，0,所以k≠1且k≠-2時(shí)，該齊次線性方程組僅有零解.第二章12(3)由A+X=B,求出(4)由(2A-Y)+2(B-Y)=0,求出3,得到方程組解得x=-5,y=-6,u=4,v=-2.5三1X(-2)+2×(一2)+3×2678則該廠各月份總產(chǎn)值為(2)該廠各月份生產(chǎn)數(shù)量是各月份總產(chǎn)值為令X=(30271.25則三種金屬的數(shù)量為=(3232噸、9噸和9噸.因?yàn)閱挝怀杀?件數(shù)總成本=MN=所以由工廠Ⅱ生產(chǎn)的成本最低.(1)令,則解之得x=2,(2)設(shè)所求矩陣據(jù)題意得x?2=7,x?3=-4.(3)設(shè)所求矩陣據(jù)題意據(jù)此得方程組則所求矩陣12略設(shè)與A可交換的矩陣為根據(jù)矩陣可交換定義，知AC=CA即解得c?=0,c?=c?,c?任意.所以與A可換的矩陣為為任意常數(shù))因?yàn)樗杂炙怨?AB)T=BTAT.(2)AAT的第k行第l列的元素即元素乘積之和(3)ATA的第k行第l列的元素元素乘積之和比較(1)與(2),可得出18略19略所以所以必要性因?yàn)樗杂屑此猿浞中酝A同結(jié)構(gòu)的上三角矩陣.證因?yàn)榕cAAT均為對(duì)稱矩形.29略30略(1)令故可逆，所以(2)因ad-bc≠0,故則(5)因矩陣的行列式(6)因a;≠0,i=1,2,…,n,所以35略36略37略(1)令求出,于是(2)令所以求出于是因?yàn)樗杂袆t證作矩陣乘法，并注意到A?=0根據(jù)逆矩陣定義可知46略47略48略49略50略所以(1)令(2)令-所以r(A)=4(滿秩)所以r(A)=3令58,初等行變換得到因?yàn)橹葹?必有2-1=0,Ω=1.當(dāng)a=1,r(A)=2;當(dāng)a≠1,r(A)=3.解得a=-1,b=-2第三章1得同解方程組將x?=1代入第2個(gè)將x?=1,x?=2代入第1個(gè)方程，得x?=1,于是有方程組的惟一解(2)應(yīng)用消元法所以方程組無解.得同解方程組或令x?=c?,x?=c?,則解得其中c?,c?為任意常數(shù).對(duì)于齊次線性方程組Ax=0,只需對(duì)其系數(shù)矩陣A作初等行變換次線性方程組Ax=0只有零解x?=x?=x?=x?=0.對(duì)齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A作初等行變換，r(A)=3恰好等于未知數(shù)的有零解x?=x?=x?=0對(duì)該齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣A作初等行變換2所以α=5時(shí)方程組有解.a=5時(shí)與原方程組的同解方程組為1)當(dāng)a=1時(shí)個(gè)數(shù)),方程組有無窮個(gè)解.這時(shí)的方程組為令x?=c?,x?=c?,則x?=的解為其中c?,c?為任意常數(shù)2)當(dāng)a≠1且a≠-2時(shí)，r(A)=r(B)=3(未知數(shù)個(gè)數(shù)),由最后一個(gè)方程,'代入求得.所以當(dāng)a≠1,r(A)=r(B)=2<4(未知數(shù)個(gè)數(shù)),這時(shí)方程組有無窮個(gè)解.求解a=1,b=-1時(shí)方程組令x?=c?,x?=c?,于是有方程組所以方程組的解出x?=-4c?,所以方程組的無窮個(gè)解是其中c?,c?是任意常數(shù).3=(3,6,9)+(6,4,2)一(1)因α+5=β,所以(2)因3a-2η=5β,所以)56應(yīng)用消元法求k;,于是于是即k?(1,0,0,0)+k?(0,1,0,0)78間的線性關(guān)系用矩陣表示為間的線性關(guān)系用矩陣表示為9示的關(guān)系式寫成矩陣表示式而則代入線性表示的關(guān)系式為r(A)=n(向量個(gè)數(shù))r(A)=n(向量個(gè)數(shù))設(shè)有數(shù)k?,k?,k?使代入房與a;的關(guān)系，則令該方程組系數(shù)矩陣r(A)=2<3.則方程組有非零k?β+k?β?+k?β3=0.如,k?=1,使設(shè)有一組數(shù)k?,k?…,k,使由最后一個(gè)方程知k,=0,逐步回有當(dāng)k;=0(i=1,…,n)時(shí)才有a?+…+a,線性無關(guān).<3,a?,α2,α?線性相關(guān).k≠3,且a?線性無關(guān).a?施以初等行變換，得到關(guān)組，α?=2a-α?+3α施以初等行變換，得到218略19略(1)對(duì)增廣矩陣B=(AO)原方程組的同解方程組是則該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是(2)對(duì)增廣矩陣B=作初等行變換r(A)=r(B)=3<5.由最后矩陣知原方程組的同解方程組是其中x?,xs為自由未知量，取得方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系(3)對(duì)增廣矩陣B=(AO)作初等行變換r(B)=r(A)=4<5.由最后的矩陣得原方程組的同解方程組xs為自由未知量，取xs=1,代入以上方程組解出x?=1,x?=0,x?=0,x?=0.由此，得到一個(gè)基礎(chǔ)解系(1)設(shè)B=(b?b?…b,).因AB…,n)皆為Ax=O的解.又(B為Ax=0的增廣矩陣)所以Ax=0只有零解，即b;(2)由AB=A知A(B-I)=0由(1)知B-I=0,所以B=1.(1)對(duì)方程組的增廣矩陣B=(AO)作初等行變換一由最后矩陣得同解方程組=24,x?=-4.則該方程組的基礎(chǔ)解系為方程組的全部解為-4,2)(c為任意常數(shù))(2)對(duì)方程組的增廣矩陣B=(Ab)作初等行變換由最后一個(gè)矩陣得同解方程組令自由未知量取值,得方程組的一個(gè)解原方程的導(dǎo)出組與方程組同解.對(duì)自由未知量取值,即得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系因此所給方程組的通解為其中c?,c?為任意常數(shù).(3)對(duì)方程組的增廣矩陣B(Ab)作初等行變換b)=b)=自由未知量，方程組有無窮個(gè)解.原方程組的同解方程組為令xs=0,得非齊次方程組的一個(gè)解求解其導(dǎo)出組的同解方程組令自由未知量xs=1,則解出線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系為任意常數(shù))討論如下：(1)當(dāng)λ=-2時(shí)，方程組無解；x?+x?+x?=-2.基礎(chǔ)解系為必要性設(shè)方程組有解xi,x2,充分性在α1+a?+a?+a?+as=0的條件下對(duì)方程組求解.對(duì)方程組的增廣矩陣B=(Ab)作初等行變換=4<5,方程組有解，且有無窮個(gè)解.由最后一個(gè)矩陣可得原方程組的同解方程組x?=a?+a?+a?+a?+c.其中c為任意常數(shù)26略證設(shè)u?,u?,…,u,是非齊次線+cu,代入Ax=b的左端所以x=cu?+c?u?+…+cu,也是Ax=b的解.29略30略第四章1(1)矩陣的特征方程為解得λ?=1,λ2=3.①當(dāng)λ?=1時(shí)，求解由此得齊次線性方程組令x?=1,得x?=-1,得基礎(chǔ)解系,得特征向量為(c為非零的任意實(shí)數(shù))得到齊次線性方程組由此可得λ2=3的全部特征向量是(2)矩陣A的特征方程為由此得齊次方程組則可得λ=2時(shí)的基礎(chǔ)解系為所以矩陣A的對(duì)應(yīng)于λ?=λ2=λ3=2的全部特征向量是其中c?,c?是不全為零的常數(shù).(3)設(shè)本題矩陣為A.矩陣A的特征多項(xiàng)式為由(λ-2)3(λ+2)=0解得A的特征值①當(dāng)λ?=λ2=λ?=2時(shí)，得到齊次方程組則由上面方程解得x?=1,1,1.所以矩形A的對(duì)應(yīng)于特征值λ?=λ?=λ?=2的全部特征向量為其中c?,c?,c?是不全為零的任意常數(shù).初等行變換得齊次同解方程組x?=1,x?=1,得基礎(chǔ)解系為ξ=(-1,1,1,1),由此得矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值λ?=-2的全部特征值為(c為非零的任意常數(shù)).(4)設(shè)本題矩陣為A,矩陣A的特征多項(xiàng)式解齊次方程組則解得其基礎(chǔ)解系為51=由此得λ?=λ2=1時(shí)矩陣A的全部特征向量為其中c?,c?是不全為零的任意常數(shù)則解得其基礎(chǔ)解系為5=特征值λ?=-1的全部特征向量為A的特征多項(xiàng)式為：解得特征值λ?=1,λ?=-1,令x?=1則基礎(chǔ)解系ξ=(1,0,0,0)T其中c?是不為零的任意常數(shù).②當(dāng)特征值λ2=-1有故則解得其基礎(chǔ)解系為5由此可知λ?=-1時(shí)矩陣的全部特征向量為則解得其基礎(chǔ)解系為ξ=(6,1,3,0)F,由此可知λ?=λ?=2時(shí)矩陣的全部特征向量為為不為零的任意常數(shù)，3設(shè)對(duì)應(yīng)于λo的特征向量為x,則Ax=λox故kA的特征值為kλo.即故I+A的特征值為1+λo.4證明設(shè)α為對(duì)應(yīng)λ的A的特征向量，則因?yàn)楣仕?，冪等矩陣的特值只能?或1.5以λ=0代入,得到x=2.所以其他特征值為2=3,3=4.8逆矩陣A-110略存在可逆矩陣Q,使Q-'CQ=D取,則M可逆且(1)特征值λ=1,特征向量C1為不為0的任何常數(shù)).數(shù))λ?=3,特征向量(c?為不為0的任意常數(shù))滿足P-1AP=A(2)特征值λ?=λ?=λ?=2對(duì)應(yīng)的特征向量c?(