第五節(jié) 截交線

第五節(jié)截交線（建議6課時(shí)）考綱要求了解截交線的投影畫法。知識(shí)網(wǎng)絡(luò)正棱柱截交線求作正棱錐截交線求作圓柱體截交線求作圓錐體截交線求作球體截交線求作知識(shí)要點(diǎn)一、截交線的定義及性質(zhì)（一）定義截平面與基本體表面的交線。（二）性質(zhì)截交線是封閉的平面圖形，也是截平面與基本體表面的共有線。二、截交線的求作方法（一）平面體截交線求法平面體的截交線是由直線組成的多邊形。求作平面體的截交線就是求截平面與平面體棱線的交點(diǎn)，然后依次連接而得。（二）回轉(zhuǎn)體截交線求法截平面與回轉(zhuǎn)體表面的交線可能是直線、圓或曲線，若截交線為曲線時(shí)，一般采用描點(diǎn)法來(lái)求作。描點(diǎn)時(shí)先找特殊位置點(diǎn)，再求一般位置點(diǎn)，最后再依次光滑連接而得。例如：圓柱體被正垂面N及水平面M截切，截平面M與圓柱體截交線為直線，截平面N與圓柱體截交線為曲線，要通過(guò)描點(diǎn)法求作。典型例題【例1】完成下列左視圖?！纠?】完成下列左視圖。(b)【解題指導(dǎo)】圖(a)四棱柱孔與六棱柱可見(jiàn)側(cè)的正平面的交線AB、CD、GF、BC的側(cè)面投影可利用積聚性直接求出；與六棱柱前面兩個(gè)鉛垂面的交線AH、DE為一般位置直線;e〃、h〃根據(jù)水平投影量取y坐標(biāo)來(lái)作出。四棱柱孔與正六棱柱不可見(jiàn)三個(gè)面的交線同前面完全相同。上、下兩水平面的側(cè)面投影為不可見(jiàn)，應(yīng)用虛線畫出?！敬鸢浮繄D(b)同上。

b'c'a'!rpb'c'a'!rpd'\h'l\e'LXb"h'a"e"-y.【點(diǎn)評(píng)】(1)求作平面體的截交線關(guān)鍵是要找出截交線由哪些直線段組成，再找出這些交線的端點(diǎn)，最后分別求出(或找出)這些點(diǎn)的投影求作出截交線來(lái)。(2)除了要正確作出截平面與基本體表面的交線，還要作出截平面與截平面的交線?！纠?】根據(jù)所給主視圖、俯視圖補(bǔ)畫左視圖?！窘忸}指導(dǎo)】根據(jù)所給的條件，應(yīng)用線面分析法來(lái)求作第三面視圖。1.主視圖上可分解為4個(gè)線框，分別用1，、2，、3，、4/表示，俯視圖上可分解為4個(gè)線框，分別用a、b、c、d表示。（如圖所示）2．按照類似形的定義來(lái)分析可知，主視圖上的四個(gè)線框1，，2，，3，，4，在俯視圖上均找不到他們的類似形，所以1，、2，、3，、4，四個(gè)線框在水平面上均積聚為線段。運(yùn)用投影知識(shí)，分別找出它們的水平投影1,2,3,4。同樣，也可找出a、b、c、d四個(gè)線框的正面投影。3．分析形體上各組成面的形狀和位置：1，、2，、4，所表示的表面為正平面，3，表示的平面為鉛垂面b、c、d所表示的平面為水平面，a面為正垂面，進(jìn)一步想像出各表面之間的相對(duì)位置和形狀。4．綜合起來(lái)想像整個(gè)形狀?？山柚谳S測(cè)圖來(lái)幫助讀圖?！敬鸢浮奎c(diǎn)評(píng)】線面分析法是讀圖的重要方法之一，尤其是在識(shí)讀平面體截切的有關(guān)視圖更另外兩個(gè)棱面是一般位置平面。因而可以預(yù)見(jiàn)：各個(gè)截?cái)嗝娴恼嫱队胺謩e積聚在PV、QV及RV上；由P面產(chǎn)生的截?cái)嗝娴乃酵队凹皞?cè)面投影有類似性；由Q面產(chǎn)生的截?cái)嗝娴膫?cè)面投影反映實(shí)形，水平投影是與QV對(duì)應(yīng)的豎線；由R面產(chǎn)生的截?cái)嗝娴乃酵队胺从硨?shí)形,側(cè)面投影有積聚性，是與RV對(duì)應(yīng)的一條橫線。（3）平面P與Q，Q與R各有一條正垂線的交線，所以它們的側(cè)面投影為兩條反映實(shí)長(zhǎng)的橫線，水平投影為兩條反映實(shí)長(zhǎng)的豎線。（4）P面與棱錐的三個(gè)棱面均有交線，其交線的正面投影為已知，即1，-2，、2，-3，和1-（4，），交線的側(cè)面投影1"-4"和1"-2"容易確定，進(jìn)而可確定水平投影1-2和1-4;延長(zhǎng)2，-3,得點(diǎn)p，，由此作出2"-p"，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律可得3〃和3，因CC而可得側(cè)面投影2"-3"和水平投影2-3。（5）作Q面與棱錐的交線。Q面與棱錐的兩個(gè)棱面有交線，其交線的正面投影為已知，即3，-5，和（4，）-（6，），交線4"-6"容易確定（在后棱面的積聚性側(cè)面投影上），進(jìn)一步可確定其水平投影4-6；延長(zhǎng)交線的水平投影3-5得點(diǎn)q，根據(jù)點(diǎn)的投影規(guī)律由q可得CC點(diǎn)q〃，根據(jù)直線上取點(diǎn)的方法可得5"點(diǎn)，進(jìn)一步可得水平投影5,從而確定了交線的水C平投影3-5。（6）作R面與棱錐的交線。R面與棱錐的三個(gè)棱面均有交線，其交線的正投影和側(cè)面投

影均是確定的，根據(jù)直線投影規(guī)律可確定交線的水平投影。(7)作截平面之間的交線。平面P與Q的交線為III-IV，平面Q與R的交線為V-VI,均為正垂線?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】本例詳細(xì)給出了棱錐表面截交線的求作過(guò)程，尤其是詳細(xì)給出了每個(gè)點(diǎn)的投影求作方法。從本例中可以看出，只要認(rèn)真從投影分析入手、從線面分析入手就能很好地解決這類問(wèn)題?！纠?】根據(jù)主視圖、俯視圖補(bǔ)畫出左視圖?！窘忸}指導(dǎo)】圓柱筒實(shí)際上可以認(rèn)為是兩個(gè)同軸線的圓柱體，因而圓柱筒兩邊開(kāi)切口的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)同軸線圓柱被相同的平面切割。先畫出完整圓筒的左視圖，其次作出截平面與外圓柱的截交線，最后求作出截平面與內(nèi)圓柱的截交線?！敬鸢浮縸41【點(diǎn)評(píng)】圓柱體的截切是考試中常見(jiàn)的題型，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)從最基本、最典型的圓柱體切割入手，記住這些典型的切割形式，為解決更復(fù)雜的形體切割打下良好的基礎(chǔ)。下表列出了幾種典型的圓柱體切割形式，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。（見(jiàn)下表）【例5】根據(jù)主視圖，補(bǔ)畫全俯視圖及左視圖。解題指導(dǎo)】由圖可知，截平面P是側(cè)平面，它截球面所得的交線是側(cè)平圓的一部分，截平面Q是水平面，它截球面所得的交線是水平圓的一部分；截平面R是正垂面，它截球面所得的交線是正垂圓的一部分。⑴作Q平面與球面的交線。交線的正面投影是確定的，即1，-3/-5/和(2‘)-(4‘)(6‘)，其水平投影是半徑為R］的兩段圓弧，即1-3-5和2-4-6，根據(jù)球表面取點(diǎn)的方法可作出交線的側(cè)面投影1〃-3〃-(5〃)和2〃-4〃-(6〃)。(2)作P面與球面的交線。交線的正面投影是確定的，即5，-7/-(6,),其側(cè)面投影是半徑為R2的一段圓弧(5〃)-7〃-(6〃),根據(jù)球表面取點(diǎn)的方法可作出交線的水平投影57-6。(3)作R面與球面的交線。交線的正面投影也是確定的，即1，-8，-(2,),根據(jù)球表面取點(diǎn)的方法可作出其水平投影1-8-2和側(cè)面投影1〃-8〃-2〃(注意其水平投影和側(cè)面投影均為橢圓的一部分)。(4)作各截平面之間的交線。P面與Q面的交線為V-VI;Q面與R面的交線為I-11。作圖過(guò)程詳見(jiàn)圖。答案】

【點(diǎn)評(píng)】求作球體的截交線，首先要明確無(wú)論截平面在何位置，截交線均是圓；其次要根據(jù)截平面的位置正確判別截交線投射后的形狀，最后要根據(jù)投影情況通過(guò)描點(diǎn)或直接畫出截交線?！纠?】如圖(a)所示，求作頂尖頭的截交線?！窘忸}指導(dǎo)】頂尖頭部是由同軸的圓錐與圓柱組合而成。它的上部被兩個(gè)相互垂直的截平面P和Q切去一部分，在它的表面上共出現(xiàn)三組截交線和一條P與Q的交線。截平面P平行于軸線，所以它與圓錐面的交線為雙曲線，與圓柱面的交線為兩條平行直線。截平面Q與圓柱斜交，它截切圓柱的截交線是一段橢圓弧。三組截交線的側(cè)面投影分別積聚在截平面P和圓柱面的投影上，正面投影分別積聚在P、Q兩面的投影(直線)上，因此只需求作三組截交線的水平投影。(d(d)(a)(b)44．()【答案】【點(diǎn)評(píng)】如圖(d)截交線作圖首先要判定截平面與基本體的各部分之間的關(guān)