微積分課程教學大綱

《微積分》課程教學大綱一、使用闡明（一）課程性質《微積分》是高等學校財經、管理類專業(yè)關鍵課程經濟數(shù)學基礎之一，它有著深刻的實際背景，在自然科學、社會科學、工程技術、軍事和工農業(yè)生產等領域中有廣泛的應用。微積分作為一年的課程，是為財經類、管理類等非數(shù)學專業(yè)本科生開設的，制定大綱的原則是具有一定數(shù)學基礎的學生對該領域的基礎知識、背景有所理解，為深入學習專業(yè)課打下堅實的基礎。（二）教學目的通過本課程的學習，使學生很好地掌握微積分特有的分析思想，并在一定程度上掌握運用微積分認識問題、處理問題的措施；對微積分的基本概念、基本措施、基本成果有所理解，并能運用其手法處理實際問題中的簡樸課題。（三）教課時數(shù)本課程共132課時，8學分。（四）教學措施采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（五）面向專業(yè)經濟學、管理學所有本科專業(yè)。二、教學內容第一章函數(shù)（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生對的理解函數(shù)的定義。理解函數(shù)的多種表達法，尤其是分析表達法。理解函數(shù)的幾何特性及圖形特性，理解反函數(shù)、復合函數(shù)概念。純熟掌握基本初等函數(shù)的性質及圖形，掌握初等函數(shù)的構造并能確定其定義域，能列出簡樸的實際問題中的函數(shù)關系。[基本規(guī)定]1、理解實數(shù)與實數(shù)的絕對值的概念。2、理解函數(shù)、函數(shù)的定義域和值域，熟悉函數(shù)的表達法。3、理解函數(shù)的幾何特性并掌握各幾何特性的圖形特性。4、理解反函數(shù)概念；懂得函數(shù)與其反函數(shù)的幾何關系；給定函數(shù)會求其反函數(shù)。5、理解復合函數(shù)的概念；理解函數(shù)能構成復合函數(shù)的條件；掌握將一種復合函數(shù)分解為較簡樸函數(shù)的措施。6、基本初等函數(shù)及定義域、值域等概念；掌握基本初等函數(shù)的基本性質。7、理解分段函數(shù)的概念。8、會建立簡樸應用問題的函數(shù)關系。（二）教學內容函數(shù)的定義，函數(shù)的幾何特性，反函數(shù)，復合函數(shù)，初等函數(shù)，經濟中的常用函數(shù)。教學重點：1、五個基本初等函數(shù)的分析體現(xiàn)式、定義域、值域及其圖形。2、初等函數(shù)的概念，復合函數(shù)的復合環(huán)節(jié)的分解措施。3、幾種常用經濟量的含義及幾種常用的經濟函數(shù)。教學難點：1、復合函數(shù)的復合環(huán)節(jié)的分解措施。2、運用圖形把抽象的數(shù)學問題形象化、直觀化研究問題的措施。第一節(jié)預備知識一、實數(shù)二、絕對值三、區(qū)間四、鄰域五、集合第二節(jié)函數(shù)概念一、常量與變量二、函數(shù)的定義與表達法三、函數(shù)定義域的求法第三節(jié)函數(shù)的幾何特性一、函數(shù)的單調性二、有界性三、奇偶性四、周期性第四節(jié)反函數(shù)一、反函數(shù)的定義及其圖形二、反三角函數(shù)及其主值第五節(jié)復合函數(shù)一、復合函數(shù)的定義二、運算及舉例第六節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)的定義、定義域、值域及其圖形二、初等函數(shù)的定義第七節(jié)分段函數(shù)一、分段函數(shù)的概念二、分段函數(shù)的圖形特性第八節(jié)建立函數(shù)關系的例子一、總成本函數(shù)、總收入函數(shù)、總利潤函數(shù)二、需求函數(shù)、供應函數(shù)（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)6課時。第二章極限與持續(xù)（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]通過本章教學使學生理解極限與持續(xù)這兩個高等數(shù)學中的基本概念掌握極限運算法則和兩個極限存在準則，理解間斷點的概念和閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的性質。[基本規(guī)定]1、理解數(shù)列極限與函數(shù)極限概念。有關數(shù)列極限與函數(shù)極限分析定義不做規(guī)定。2、理解無窮小量的概念與基本性質，掌握無窮小量比較的措施；理解無窮大量的概念；懂得無窮小量與無窮大量的關系。3、懂得兩個極限的存在性定理，并能用于求某些簡樸的極限。夾逼定理，單調有界數(shù)列的極限存在性定理。4、純熟掌握兩個重要極限，兩個重要極限的證明不作規(guī)定。5、理解函數(shù)持續(xù)性的概念，函數(shù)間斷點的概念；掌握函數(shù)間斷點的分類；掌握討論簡樸分段函數(shù)持續(xù)性的措施。6、理解持續(xù)函數(shù)的性質，理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間內必持續(xù)的結論。7、理解閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的基本定理，基本定理的證明不作規(guī)定。8、掌握求極限的基本措施：運用極限運算法則、無窮小量的性質、兩個重要極限以及函數(shù)的持續(xù)性等求極限的措施。（二）教學內容數(shù)列極限，函數(shù)極限，極限的基本性質，無窮小及無窮大，極限的四則運算，極限存在準則及兩個重要極限，函數(shù)持續(xù)的概念及性質。教學重點：1、極限概念、極限的運算法則。2、兩個重要極限，求極限的某些基本初等措施。3、函數(shù)持續(xù)性的概念、間斷點的分類。教學難點：1、極限的概念。2、分段函數(shù)的持續(xù)性。3、間斷點的分類。第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列極限的定義與幾何意義三、數(shù)列極限的唯一性及收斂數(shù)列的有界性第二節(jié)函數(shù)的極限一、時，函數(shù)的極限二、時，函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的幾何解釋四、單邊極限第三節(jié)極限的基本性質一、唯一性二、有界性三、保號性四、不等式性第四節(jié)無窮小量與無窮大量一、無窮小量的定義與基本性質二、無窮小量的比較三、無窮大量的定義四、無窮小量與無窮大量的關系第五節(jié)極限的運算法則一、極限的四則運算法則二、復合函數(shù)的極限運算法則第六節(jié)極限的存在性定理一、夾逼定理二、單調有界數(shù)列的極限存在性定理第七節(jié)兩個重要極限一、二、第八節(jié)函數(shù)的持續(xù)性一、函數(shù)的變化量二、函數(shù)的持續(xù)性，左持續(xù)與右持續(xù)三、函數(shù)的持續(xù)性與極限的關系四、函數(shù)的間斷點及其分類五、持續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的持續(xù)性六、反函數(shù)與復合函數(shù)的持續(xù)性七、初等函數(shù)的持續(xù)性七、分段函數(shù)的持續(xù)性第九節(jié)閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)的基本定理一、有界性定理二、最值定理三、介值定理四、零點定理（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)14課時。第三章導數(shù)與微分（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]讓學生理解導數(shù)與微分的概念，導數(shù)的幾何意義及函數(shù)可導性與持續(xù)性之間的關系。掌握導數(shù)四則運算法則，初等函數(shù)、復合函數(shù)、反函數(shù)以及隱函數(shù)所確定的函數(shù)的一階二階導數(shù)的求導措施，會求簡樸的n階導數(shù)。[基本規(guī)定]1、理解導數(shù)的概念；懂得導數(shù)的幾何意義與經濟意義；理解可導與持續(xù)的關系。2、純熟掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。3、純熟掌握導數(shù)的四則運算法則。4、掌握反函數(shù)的導數(shù)公式（證明不作規(guī)定）。5、純熟掌握復合函數(shù)的鏈式求導公式（證明不作規(guī)定）6、掌握隱函數(shù)求導法與對數(shù)求導法。7、理解高階導數(shù)概念，掌握求二階、三階導數(shù)及某些簡樸函數(shù)的n階導數(shù)的措施。8、理解微分的概念；掌握可導與可微的關系；純熟掌握微分法則與微分基本公式；理解微分形式的不變性。9、懂得邊際與彈性的概念，會求解簡樸的經濟應用問題。（二）教學內容導數(shù)概念；導數(shù)的和、差、積、商的求導法則；反函數(shù)的導數(shù)；復合函數(shù)的求導法則；高階導數(shù)；隱函數(shù)的導數(shù)；函數(shù)的微分；微分在近似計算中的應用。教學重點：1、導數(shù)定義，運用求導公式及四則運算法則計算初等函數(shù)的導數(shù)。2、復合函數(shù)的導數(shù)。3、微分的定義以及計算措施。教學難點：1、導數(shù)概念的建立。2、復合函數(shù)的導數(shù)。3、微分概念的建立，微分形式不變性。第一節(jié)導數(shù)的概念一、變速直線運動的速度二、平面曲線的切線斜率三、導數(shù)的定義與幾何意義四、可導與持續(xù)的關系第二節(jié)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式推導基本初等函數(shù)的導數(shù)公式。第三節(jié)導數(shù)的四則運算導數(shù)的和、差、積、商的求導法則。第四節(jié)反函數(shù)與復合函數(shù)的導數(shù)，隱函數(shù)的導數(shù)，對數(shù)求導法一、反函數(shù)的導數(shù)二、復合函數(shù)的求導法則三、隱函數(shù)的導數(shù)四、對數(shù)求導法第五節(jié)高階導數(shù)的概念與求法一、高階導數(shù)的概念二、高階導數(shù)求法第六節(jié)微分一、微分的定義與幾何意義二、可導與可微的關系三、微分法則與微分基本公式四、微分形式的不變性第七節(jié)導數(shù)與微分的簡樸應用一、邊際與彈性概念二、邊際與彈性經濟學意義（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)16課時。第四章中值定理與導數(shù)的應用（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生掌握中值定理的條件和結論。會用中值定理進行簡樸的推理論證，純熟運用洛必達法則求不定式的極限，掌握運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性、極值、凹凸型和拐點的措施，并會描繪簡樸函數(shù)的圖形，會用到書分析某些簡樸的經濟問題。[基本規(guī)定]1、能論述Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，懂得這些定理之間的聯(lián)絡，會運用這些定理證明某些簡樸的證明題（如證明不等式）。有關這些定理的證明不作規(guī)定。2、純熟掌握型、型的洛必達法則，理解其他未定式的定值措施。注意洛必達法則合用的條件。3、純熟掌握函數(shù)單調性的鑒別法。4、純熟掌握求函數(shù)的極值與最值的措施；理解函數(shù)極值與最值的關系與區(qū)別；會求某些簡樸的經濟應用問題。5、掌握曲線凹凸性的鑒別法；掌握求曲線拐點與漸進線的措施。6、掌握函數(shù)作圖的基本環(huán)節(jié)與措施；會作某些簡樸函數(shù)的圖形。（二）教學內容中值定理；洛必達法則；函數(shù)單調性、凹凸性及拐點的鑒定；函數(shù)的極值與最值及其求法；函數(shù)圖形的描繪。教學重點：1、拉格朗日中值定理的題的條件,結論和有限增量形式。2、用洛必達法則求,型的極限化五種不定式∞-∞,0*∞,,,為型或型。3、運用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,極值及曲線的凹凸性。4、經濟應用問題:最大利潤,最小成本等。教學難點：1、三個中值定理的證明,證明時輔助函數(shù)的引進。2、化五種不定式∞-∞,0*∞,,,為型或型。3、運用單調性和極值證明不等式。第一節(jié)中值定理一、Rolle定理二、Lagrange定理三、Cauchy定理第二節(jié)洛必達法則一、洛必達法則二、洛必達法則的條件及其應用第三節(jié)函數(shù)的單調性與凹凸性一、函數(shù)的單調性及其鑒別法二、函數(shù)的凹凸性及其鑒別法、拐點第四節(jié)函數(shù)的極值與最值一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)取極值的必要條件與充足條件三、函數(shù)最值的概念四、求函數(shù)最值的基本環(huán)節(jié)第五節(jié)函數(shù)作圖一、曲線的漸進線二、函數(shù)作圖第五節(jié)經濟應用舉例一、最大利潤二、最小成本（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)18課時。第五章不定積分（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]通過教學讓學生理解不定積分的概念與性質.掌握不定積分的基本公式,還原法和分部積分法,會求某些簡樸的有理函數(shù)的積分。[基本規(guī)定]1、理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的基本性質。2、熟悉基本積分公式。3、純熟掌握計算不定積分的兩種換元法和分部積分法。4、會計算三種簡樸的分式的不定積分：，，（二）教學內容不定積分的概念與性質；換元積分法；分部積分法；有理函數(shù)的積分。教學重點：1、原函數(shù),不定積分的定義,基本積分公式。2、換元法,分部積分法教學難點：1、第一換元法,第二換元法,分部積分法。2、有理函數(shù)式化部分分式代數(shù)和。第一節(jié)不定積分的概念一、原函數(shù)的概念二、不定積分的定義與幾何意義三、不定積分的基本性質第二節(jié)基本積分表基本積分公式。第三節(jié)換元積分法一、第一換元積分法二、第二換元積分法第四節(jié)分部積分法一、分部積分公式二、分部積分公式應用第五節(jié)有理函數(shù)的積分一、簡樸分式的不定積分二、真分式的分解三、求有理函數(shù)不定積分的一般環(huán)節(jié)與措施（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)10課時。第六章定積分（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生理解定級分和廣義積分的概念,掌握定積分的計算措施.會計算簡樸的廣義積分,此外會用定積分求解某些簡樸的幾何和經濟問題。[基本規(guī)定]1、理解定積分的概念與基本性質，掌握積分中值定理。2、會求變上限積分的導數(shù)，純熟掌握牛頓——萊布尼茲公式。3、純熟掌握定積分的換元積分公式與分部積分公式。4、會運用定積分求解平面圖形的面積、旋轉體的體積、及簡樸的經濟應用問題。5、理解廣義積分收斂與發(fā)散的概念，掌握計算廣義積分的措施。懂得廣義積分與的收斂條件。懂得Γ函數(shù)的定義、性質與遞推公式。（二）教學內容定積分的概念與性質；微積分基本定理；定積分的換元積分法和分部積分法；定積分在面積、體積與經濟學中的應用；廣義積分。教學重點：1、定積分的概念,牛頓—萊布尼茲公式,定積分的計算。2、定積分的換元法及分部積分法。3、平面圖形的面積計算。教學難點：1、定積分幾何意義,變上限定積分。2、廣義積分的斂散性。3、”微元法”的基本思想。第一節(jié)定積分的概念與性質一、曲邊梯形的面積二、定積分的定義與幾何意義三、定積分的基本性質四、積分中值定理第二節(jié)微積分基本定理一、變上限積分與原函數(shù)存在定理二、變上限積分的求導措施三、牛頓——萊布尼茲公式第三節(jié)定積分的計算一、第一換元積分法二、第二換元積分法三、分部積分法第四節(jié)定積分的應用一、平面圖形的面積二、立體的體積三、簡樸的經濟應用問題第五節(jié)廣義積分初步一、無窮積分的概念與無窮積分收斂與發(fā)散的定義及其計算二、瑕積分的概念與瑕積分收斂與發(fā)散的定義及其計算三、廣義積分與的斂散性鑒別四、Γ函數(shù)的定義、性質與遞推公式五（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)14課時。第七章多元函數(shù)微積分學（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生理解空間直角坐標系的有關概念及多元函數(shù)的概念.理解多元函數(shù)微分理論,掌握多元函數(shù)微分的基本計算措施和在求極值方面的應用.理解二重積分的概念,性質.掌握在直角坐標系下二重積分的計算措施及對特殊區(qū)域會用極坐標系去計算積分。[基本規(guī)定]1、理解空間直角坐標系的有關概念，會求空間兩點間的距離。理解平面區(qū)域、區(qū)域的邊界、點的領域、開區(qū)域與閉區(qū)域等概念。2、理解多元函數(shù)的概念；掌握二元函數(shù)的定義與表達法。3、懂得二元函數(shù)的極限與持續(xù)性的概念。4、理解多元函數(shù)的偏導數(shù)與全微分的概念；純熟掌握求偏導數(shù)與全微分的措施；掌握求多元復合函數(shù)偏導數(shù)的措施。5、掌握由一種方程確定的隱函數(shù)的求偏導數(shù)的措施。6、理解二元函數(shù)極值與條件極值的概念；掌握用二元函數(shù)極值存在的必要條件與充足條件求二元函數(shù)極值的措施；掌握用拉格朗日乘數(shù)法求解二元函數(shù)極值的措施。7、理解二重積分的概念、幾何意義與基本性質；掌握在直角坐標系與極坐標系下計算二重積分的常用措施，會計算某些簡樸的二重積分（二）教學內容多元函數(shù)的概念；偏導數(shù)；多元復合函數(shù)偏導數(shù)；隱函數(shù)的求偏導數(shù)；全微分；二元函數(shù)極值與條件極值；二重積分的概念、性質、計算法及應用。教學重點：1、偏導數(shù)的運算。2、復合函數(shù)的偏導數(shù)和全微分。3、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。4、二重積分定義,性質。5、在直角坐標系及極坐標系下計算二重積分教學難點：1、二元函數(shù)極限的概念。2、高階偏導數(shù)的運算。3、復合函數(shù)的偏導數(shù)。4、極值應用問題的求解。5、二重積分定義。6、二重積分的定限第一節(jié)預備知識一、空間直角坐標系、空間兩點間的距離與空間曲面與曲面方程二、平面上的區(qū)域、區(qū)域的邊界、點的領域、開區(qū)域與閉區(qū)域的概念第二節(jié)多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的定義二、二元函數(shù)的定義域與幾何意義三、二元函數(shù)的極限與持續(xù)性第三節(jié)偏導數(shù)與全微分一、偏導數(shù)的定義與計算措施二、全微分的定義與計算措施第四節(jié)多元復合函數(shù)微分法與隱函數(shù)微分法一、多元復合函數(shù)概念與微分法二、隱函數(shù)微分法第五節(jié)高階偏導數(shù)一、高階偏導數(shù)的定義二、高階偏導數(shù)的求法第六節(jié)多元函數(shù)的極值與最值一、二元函數(shù)極值的定義二、極值的必要條件與充足條件三、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法四、多元函數(shù)最值的概念與求法第七節(jié)二重積分一、曲頂柱體體積二、二重積分的定義與基本性質三、二重積分的計算法四、在直角坐標系與極坐標系下計算二重積分（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)28課時。第八章無窮級數(shù)（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生掌握有關級數(shù)的基本概念和基本理論及有關級數(shù)收斂性的理論和措施.理解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念,能純熟掌握簡樸的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法.[基本規(guī)定]1、理解無窮級數(shù)及其一般項、部分和、收斂與發(fā)散、收斂級數(shù)的和等基本概念。2、掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)斂散性鑒別條件；懂得調和級數(shù)的斂散性。3、掌握級數(shù)收斂的條件，以及收斂級數(shù)的基本性質。4、掌握正項級數(shù)的比較鑒別法；純熟掌握正項級數(shù)的達朗貝爾比值鑒別法。5、掌握交錯級數(shù)斂散性的萊布尼茲鑒別法。6、理解任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念；掌握絕對收斂與條件收斂的鑒別法。（二）教學內容常數(shù)項級數(shù)的概念與性質；正項級數(shù)的鑒別法；任意項級數(shù)的鑒別法；冪級數(shù)的概念；收斂半徑；收斂區(qū)間。教學重點：1、正項級數(shù)收斂性的鑒別。2、交錯級數(shù)的判斂.任意級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念。3、冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間教學難點：1、對級數(shù)通項的認識并選定恰當?shù)呐袛糠ā?、任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念。第一節(jié)無窮級數(shù)的概念與性質一、無窮級數(shù)及其一般項與部分和的概念二、無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的定義三、收斂級數(shù)和的概念四、幾何級數(shù)與調和級數(shù)的收斂性五、無窮級數(shù)收斂的必要條件六、收斂級數(shù)的基本性質第二節(jié)正項級數(shù)一、正項級數(shù)收斂的概念二、正項級數(shù)收斂的充足必要條件三、正項級數(shù)斂散性的比較鑒別法、達朗貝爾比值鑒別法四、P級數(shù)的斂散性第三節(jié)任意項級數(shù)一、交錯級數(shù)的概念二、交錯級數(shù)斂散性的萊布尼茲鑒別法三、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念四、絕對收斂與條件收斂的鑒別法*第四節(jié)廣義積分的斂散性鑒別法一、無窮積分與瑕積分的比較鑒別法與極限鑒別法二、廣義積分的絕對收斂性三、Β函數(shù)的定義四、Β函數(shù)與Γ函數(shù)的關系*第五節(jié)冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念二、冪級數(shù)的概念三、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間、和函數(shù)的概念四、冪級數(shù)斂散性鑒別法五、冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間的求法六、冪級數(shù)的基本性質*第六節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開一、泰勒公式及其他項二、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù)三、冪級數(shù)展開定理四、將函數(shù)展成冪級數(shù)的措施（直接展開法、間接展開法）五、基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開（三）教學措施與形式采用課堂講授、多媒體課件等措施和形式。（四）教課時數(shù)10課時。第九章微分方程初步（一）教學目的與規(guī)定[教學目的]使學生理解微分方程的某些基本概念,掌握某些特殊而又簡樸的微分方程的解法,以及一階線性方程,二階常系數(shù)線性方程的解法,并會解某些簡樸的經濟應用問題.[基本規(guī)定]1、理解微分方程的階、解、通解、特解等概念。2、掌握可分離變量的微分方程、齊次微分方程、一階線性微分方程的解法。3、掌握二階常系數(shù)線性微分方程的解法。4、會求解某些簡樸的經濟應用問題。（二）教學內容微分方程的基本概念；可分離變量的微分方程；齊次微分方程；一階線性微分方程；二階常系數(shù)線性微分方程；微分方程在經濟學中的應用。教學重點：1、微分方程的概念。2、變量可分離的微分方程,齊次方程,一階線性微分方程,二階常系數(shù)線性微分方程的解法。教學難點：1、多種類型的微分方程的鑒別。2、建立實際問題的微分方程