新教材高中人教B版數(shù)學(xué)選擇性學(xué)案第4章4-3-2獨(dú)立性檢驗(yàn)

.2學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．通過實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義．(重點(diǎn))2．通過實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．(難點(diǎn))1．通過2×2列聯(lián)表統(tǒng)計(jì)意義的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．借助χ2計(jì)算公式進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．一則“雙黃連口服液可抑制新冠病毒”消息熱傳后，引起部分市民搶購．人民日報(bào)官微稱，抑制不等于預(yù)防和治療，勿自行服用．上海專家稱是否有效還在研究中．問題：如何判斷其有效？如何收集數(shù)據(jù)？收集哪些數(shù)據(jù)？[提示]略．知識點(diǎn)12×2列聯(lián)表(1)定義：如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)整理成如下的表格形式．Aeq\o(A,\s\up7(－))總計(jì)Baba＋beq\o(B,\s\up7(－))cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d因?yàn)檫@個表格中，核心數(shù)據(jù)是中間4個格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．(2)χ2計(jì)算公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．拓展：列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義記n＝a＋b＋c＋d，則由上表可知：(1)事件A發(fā)生的概率可估計(jì)為P(A)＝eq\f(a＋c,n)；(2)事件B發(fā)生的概率可估計(jì)為P(B)＝eq\f(a＋b,n)；(3)事件AB發(fā)生的概率可估計(jì)為P(AB)＝eq\f(a,n)．其他事件的概率類似可求．1．下面是2×2列聯(lián)表．y1y2總計(jì)x1a2173x222527總計(jì)b46100則表中a＝________，b＝________．5254[a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54．]知識點(diǎn)2獨(dú)立性檢驗(yàn)任意給定一個α(稱為顯著性水平，通常取為0.05,0.01等)，可以找到滿足條件P(χ2≥k)＝α的數(shù)k(稱為顯著性水平α對應(yīng)的分位數(shù))，就稱在犯錯誤的概率不超過α的前提下，可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱為A與B有關(guān))；或說有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．若χ2＜k成立，就稱不能得到前述結(jié)論．這一過程通常稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．提醒：(1)χ2＜k的統(tǒng)計(jì)意義A與B獨(dú)立時，也稱為A與B無關(guān)．當(dāng)χ2＜k成立時，一般不直接說A與B無關(guān)．也就是說，獨(dú)立性檢驗(yàn)通常得到的結(jié)果，或者是有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)，或者沒有1－α的把握認(rèn)為A與B有關(guān)．(2)常用的顯著性水平α以及對應(yīng)的分位數(shù)k對照表α＝P(χ2≥k)k2．下列選項(xiàng)中，哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系”()A．χ2＝2.700 B．χ2C．χ2＝3.765 D．χ2D[∵5.014>3.841，故D正確．]3．若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2＝4.013，那么在犯錯誤的概率不超過__________的前提下認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系．5%[查閱χ2表知有95%的把握認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系，故在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認(rèn)為兩個變量之間有關(guān)系．]類型1由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)【例1】在500人身上試驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．未感冒感冒總計(jì)使用血清258242500未使用血清216284500總計(jì)4745261000[思路點(diǎn)撥]獨(dú)立性檢驗(yàn)可以通過2×2列聯(lián)表計(jì)算χ2的值，然后和臨界值對照作出判斷．[解]假設(shè)感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075．χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認(rèn)為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法1．根據(jù)實(shí)際問題的需要確定允許推斷“事件A與B有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k．2．利用公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量χ2．3．如果χ2≥k推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病總計(jì)生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220總計(jì)80460540根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%的把握判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)？[解]由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638．∵9.638>6.635，∴有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃?。愋?獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用1．利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，估計(jì)值的準(zhǔn)確度與樣本容量有關(guān)嗎？[提示]利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本容量n越大，這個估計(jì)值越準(zhǔn)確，如果抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果就不具有可靠性．2．在χ2運(yùn)算后，得到χ2的值為29.78，在判斷變量相關(guān)時，P(χ2≥P(χ2≥7.879)＝0.005，哪種說法是正確的？[提示]兩種說法均正確．P(χ2≥6.635)＝0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥7.879)＝0.005的含義是在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為兩個變量相關(guān)．【例2】為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對本班48人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計(jì)男生6女生10總計(jì)48已知在全班48人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為eq\f(2,3)．(1)請將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫計(jì)算過程)；(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)？說明你的理由；(3)現(xiàn)從女生中抽取2人進(jìn)一步調(diào)查，設(shè)其中喜愛打籃球的女生人數(shù)為X，求X的分布列與均值．[思路點(diǎn)撥](1)由古典概型的概率求得2×2列聯(lián)表．(2)計(jì)算χ2，判斷P(χ2＞3.841)＝0.05是否成立．(3)結(jié)合超幾何分布求解．[解](1)列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜愛打籃球不喜愛打籃球總計(jì)男生22628女生101020總計(jì)321648(2)由χ2＝eq\f(48×220－602,28×20×32×16)≈4.286．因?yàn)?.286>3.841，所以，能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)．(3)喜愛打籃球的女生人數(shù)X的可能取值為0,1,2．其概率分別為P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,10)C\o\al(1,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(10,19)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,10),C\o\al(2,20))＝eq\f(9,38)，故X的分布列為X012Peq\f(9,38)eq\f(10,19)eq\f(9,38)X的均值為E(X)＝0＋eq\f(10,19)＋eq\f(9,19)＝1．1．檢驗(yàn)兩個變量是否相互獨(dú)立，主要依據(jù)是計(jì)算χ2的值，再利用該值與分位數(shù)k進(jìn)行比較作出判斷．2．χ2計(jì)算公式較復(fù)雜，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計(jì)算時要細(xì)心．3．統(tǒng)計(jì)的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)的性質(zhì)來推測全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)．因此，統(tǒng)計(jì)推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計(jì)關(guān)系，而不是因果關(guān)系．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．2020年寒假，因?yàn)椤靶鹿凇币咔槿w學(xué)生只能在家進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，為了研究學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生對線上教學(xué)進(jìn)行調(diào)查，其中男生與女生的人數(shù)之比為9∶11，抽取的學(xué)生中有30名男生對線上教學(xué)滿意，有10名女生對線上教學(xué)不滿意．(1)完成2×2列聯(lián)表，并回答能否有90%的把握認(rèn)為對線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)；滿意不滿意總計(jì)男生女生總計(jì)100(2)從被調(diào)查的對線上教學(xué)滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取5名學(xué)生，再在這5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，作線上學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)介紹，求恰好抽到1名男生與1名女生的概率．[解](1)滿意不滿意總計(jì)男生301545女生451055總計(jì)7525100χ2＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)≈3.030．查表可得P(χ2≥2.706)＝0.1，由于3.030>2.706，故有90%的把握認(rèn)為對線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)．(2)由題可知，從被調(diào)查的對線上教學(xué)滿意的學(xué)生中，利用分層抽樣抽取5名學(xué)生，其中女生3名，男生2名．從這5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生的情況有Ceq\o\al(2,5)種，其中抽取一名男生與一名女生的情況有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)種，故從這5名學(xué)生中恰好抽到1名男生與1名女生的概率為eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)．1．隨機(jī)調(diào)查某校110名學(xué)生是否喜歡跳舞，由公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)(其中n＝a＋b＋c＋d)計(jì)算出χ2的值，并由此得出結(jié)論：有99%的把握認(rèn)為學(xué)生是否喜歡跳舞與性別有關(guān)，則χ2可以為()P(χ2≥k)kC．D[因?yàn)橛?9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否喜歡跳舞與性別有關(guān)，所以χ2＞6.635，故選D．]2．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個變量A，B是否有關(guān)系，當(dāng)隨機(jī)變量χ2的值()A．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大B．越大，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越小C．越小，“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大D．與“A與B有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)A[用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考查兩個分類是否有關(guān)系時，算出的隨機(jī)變量χ2的值越大，說明“A與B有關(guān)系”成立的可能性越大，由此可知A正確．故選A．]3．通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8．則正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”C[根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為C．]4．在一個2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計(jì)算得χ2，認(rèn)為“兩個變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過________．0.001[如果χ2>10.828時，認(rèn)為“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過0.001．]5．博鰲亞洲論壇2021年年會于4月18日至21日在海南博鰲鎮(zhèn)舉行．為了搞好對外宣傳工作，會務(wù)組選聘了50名記者擔(dān)任對外翻譯工作，在下面“性別與會俄語”的2×2列聯(lián)表中，a－b＋d＝________．會俄語不會俄語總計(jì)男ab20女6d總計(jì)185028[由題得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝20，,a＋6＝18，,b＋d＝32，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12，,b＝8，,d