隨機(jī)過程論(錢敏平第3版)-習(xí)題及答案 【ch06】馬氏過程

第六章馬氏過程1.我們希望證明隨機(jī)過程{X(t),t≥0}是一個馬氏過程，其中X(t)=X?+t。同時，我們要證明對于任意的函數(shù)f(x)，滿足P?[f(X?)]=f(X?+t)，以及P?[|X?|<M]=1，其中M是一個有限的正數(shù)。首先，我們證明{X(t),t≥0}是馬氏過程?？紤]固定的時刻序列0<t?<t?<?<t?，以及實數(shù)x。我們希望證明下列等式成立：P[X(t?)≤x?,X(t?)≤x?,…,X(t?)≤x?|X(t)=x]=P[X(t?)≤x?,X(t?)≤x?,…,X(t?)≤x?|X(t?)=x?]根據(jù)題目給出的關(guān)系式X(t)=X?+t，我們可以將條件概率展開為：P[X?+t?≤x?,X?+t?≤x?,…,X?+t?≤x?|X?=x?]=P[x?-x?≤t?,x?-x?≤t?-t?,…,x?-x?≤t?-t???]由于t?<t?<?<t?且對應(yīng)的x?,x?,…,x?是任意實數(shù)，上述條件概率等于乘積：P[x?-x?≤t?]?P[x?-x?≤t?-t?]???P[x?-x?≤t?-t???]根據(jù)X(t)=X?+t的性質(zhì)，我們可以將P[x-x?≤t]等同于P[X(t)-X?≤0]。對于給定的任意時刻t，根據(jù)X(t)=X?+t，我們可以將條件概率轉(zhuǎn)化為：P[X(t?)-X?≤0]?P[X(t?)-X(t?)≤0]???P[X(t?)-X(t???)≤0]這正是條件概率P[X(t?)≤x?,X(t?)≤x?,…,X(t?)≤x?|X(t)=x?]，因此我們證明了{(lán)X(t),t≥0}是一個馬氏過程。接下來，我們希望證明對任意的函數(shù)f(x)，滿足P?[f(X?)]=f(X?+t)?？紤]一個函數(shù)f(x)，并將其展開為泰勒級數(shù)：f(X?+t)=f(X(t))=f(X?)+(t-0)?f’(X?)+\frac{(t-0)2}{2!}?f’’(X?)+?根據(jù)泰勒級數(shù)的性質(zhì)，我們可以取f’(X?)作為函數(shù)f(x)的線性部分。利用馬氏性質(zhì)P?[f(X?)]=f(X?+t)可以推導(dǎo)出：P?[f(X?)]=P[X(t)≤X?+t]=P[X?+t-X(t)≥0]=P[(X?-X(t))≤0]=P[X?-X(t)≤0]這與f(X?)中的線性部分相一致，因此我們證明了P?[f(X?)]=f(X?+t)。最后，對于函數(shù)f(x)，我們希望證明其定義域C(f)是連續(xù)有界的。由題目給出的條件可知，x是取值于實數(shù)集合R的隨機(jī)變量。由于f(x)和f’(x)都是函數(shù)，它們的定義域是實數(shù)集合R，因此C(f)包括整個實數(shù)集合R，也就是連續(xù)的。對于有界性，我們需要證明存在一個有限的正數(shù)M，使得P[|X?|<M]=1。根據(jù)隨機(jī)變量x的定義，我們可以通過設(shè)置M=|X?|+t，從而有：P[|X?|<M]=P[|X?|<|X?+t|]=P[X?-X?-t<0]=P[-t<0]=1因此，我們證明了對于函數(shù)f(x)，其定義域C(f)是連續(xù)有界的。綜上所述，根據(jù)題目所給的條件，{X(t),t≥0}是一個馬氏過程，對于任意函數(shù)f(x)，滿足P?[f(X?)]=f(X?+t)，并且函數(shù)f(x)及其導(dǎo)數(shù)f’(x)在其定義域內(nèi)連續(xù)有界。2.3.泊松過程是一種重要的隨機(jī)過程，其半群和無窮小生成元描述了其演化特性。對于泊松過程，其半群可以通過如下公式定義：P_t(x,A)=e^(-λt)*(λt)^x/x!其中，P_t(x,A)表示在時間t內(nèi)，泊松過程在狀態(tài)x處的概率，A表示事件集合，λ是泊松過程的強(qiáng)度參數(shù)。無窮小生成元用記號Q表示，可以通過如下公式定義：Q(x,y)=-λ(x=y)λ(x=y+1)0(其他情況)其中，Q(x,y)表示從狀態(tài)y轉(zhuǎn)移到狀態(tài)x的速率。這些公式描述了泊松過程的概率和轉(zhuǎn)移特性，用于描述泊松過程在時間上的演化。4.5.6.當(dāng)取消條件supq<+∞時，即最小的連續(xù)時間的馬氏鏈，在該情況下的半群和生成元如下：半群：對于馬氏鏈的半群，定義如下：P(t)=e^(tQ)其中，P(t)表示在時間t內(nèi)的馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，e^(tQ)表示矩陣的指數(shù)函數(shù)。生成元：生成元用記號Q表示，可以通過如下公式定義：Q=lim(t→0)(P(t)-I)/t其中，Q表示生成元，P(t)表示時間為t的馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣，I表示單位矩陣。在取消條件supq<+∞的情況下，最小的連續(xù)時間的馬氏鏈的半群和生成元是連續(xù)時間馬氏鏈的極限形式。具體的半群和生成元的形式取決于泊松過程的參數(shù)和取消條件的具體值，無法給出具體的表達(dá)式。7.略8.9.略10.略11.習(xí)題1中過程的弱生成元，是描述該過程在無窮小時間內(nèi)發(fā)生轉(zhuǎn)移的速率。根據(jù)題目描述，習(xí)題1中過程的轉(zhuǎn)移概率如下：P(t)=e^(tQ)其中，P(t)表示在時間t內(nèi)的過程的轉(zhuǎn)移概率矩陣，e^(tQ)表示矩陣的指數(shù)函數(shù)。而弱生成元Q的定義為：Q=lim(t→0)(P(t)-I)/t其中，Q表示生成元，I表示單位矩陣。要求習(xí)題1中過程的弱生成元，我們需要將P(t)帶入上述公式，并求取t趨近于0的極限。請?zhí)峁┝?xí)題1中過程的具體轉(zhuǎn)移概率矩陣，以便我能夠幫助你計算弱生成元。12.13.略14.15.略16.略17.18.略19.略20.21.略22.23.24.25.略26.略27.28.要證明完備可分距離空間X上的概率測度μ是胎緊的，需要證明對于任意的ε>0，存在有限個開集B_1,B_2,…,B_n，使得滿足以下條件：對于任意的x∈X，存在某個i∈{1,2,…,n}，使得μ(B_i)>0；對于任意的B_i和B_j（i≠j），有d(B_i,B_j)>ε，其中d(.,.)是X上的距離度量。下面給出完備可分距離空間X上概率測度μ是胎緊的證明的主要思路：由于X是完備可分距離空間，所以存在可數(shù)稠密子集D={x_1,x_2,…}，即D可以在X中稠密分布。對于任意的ε>0，定義開球B(x_i,ε/2)，其中x_i∈D。由于D是稠密的，對于任意的x∈X，存在某個x_i使得d(x,x_i)<ε/2。構(gòu)造開集B_i=B(x_i,ε/2)。根據(jù)以上定義，對于任意的x∈X，存在某個B_i使得x∈B_i。由于D是可數(shù)集，所以存在有限個開集B_1,B_2,…,B_n覆蓋D，且滿足d(B_i,B_j)>ε/2對于任意的i≠j都成立。對于任意的x∈X，存在某個B_i包含x，并且對于任意的y∈X，如果y?B_i，則d(x,y)>ε/2。因此，有B_i