高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程 練習(xí)（含解析）

人教A版（2019）選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程一、單選題1．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個焦點(diǎn)重合，且橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長為6，那么該橢圓的離心率為A．2 B． C． D．2．設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若在雙曲線右支上存在點(diǎn)，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3．已知是橢圓上的一個點(diǎn)，、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，若，則等于（

）A． B． C． D．4．設(shè)是橢圓的左?右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則此雙曲線的離心率e為（

）A． B． C． D．26．設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（

）A． B．3 C． D．27．雙曲線的焦距為（

）A． B．2 C． D．48．已知是雙曲線C的兩個焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．9．已知，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O且傾斜角為60°的直線l與橢圓C的一個交點(diǎn)為M，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．10．已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．11．明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）、（2）、（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別、、，設(shè)圖（1）、（2）、（3）中橢圓的離心率分別為、、，則（

）A． B．C． D．12．已知橢圓和雙曲線有相同焦點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、填空題13．與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14．設(shè)雙曲線，其左焦點(diǎn)為，過作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)，且與另一條漸近線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的漸近線方程為__________.15．已知拋物線，圓與軸相切，斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)與拋物線交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)(，兩點(diǎn)在軸的同一側(cè))，若，，則的取值范圍為___________.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，：過點(diǎn)且與相切，軸被所截得的弦長為4，則=________.三、解答題17．已知拋物線T：（）和橢圓C：，過拋物線T的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段的中垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn).(1)若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求p的值；(2)若恰好被平分，求面積的最大值18．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，是拋物線上的不同兩點(diǎn)，且軸，直線與軸交于點(diǎn)，再在軸上截取線段，且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間，連接，過點(diǎn)作直線的平行線，證明是拋物線的切線.19．如圖，橢圓的離心率是，短軸長為，橢圓的左?右頂點(diǎn)為、.過橢圓與拋物線的公共焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求橢圓和拋物線的方程；（2）記的面積為的面積為，若，求直線在軸上截距的范圍.20．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，直線AD，BD交于D，且它們的斜率滿足：．(1)求點(diǎn)D的軌跡C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，直線OP與OQ分別交直線于點(diǎn)M，N，是否存在常數(shù)入，使，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓)的離心率為，短軸的一個端點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）求橢圓的方程.（2）點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過上一點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)為，直線交于另一點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn).證明：（i）；（ii）為線段的中點(diǎn).參考答案：1．D先求出拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，再根據(jù)橢圓的通徑公式求出a、c，算出離心率.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)（2，0），準(zhǔn)線x=-2，即橢圓的c=2，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線恰好過橢圓的焦點(diǎn)，即相交的線段為橢圓的通徑；即通徑為，又因?yàn)閏=2解得a=4所以離心率故選D.【點(diǎn)睛】本題目考察了拋物線的方程和性質(zhì)，以及橢圓的性質(zhì)，本題關(guān)鍵點(diǎn)在通徑上，如果記不得通徑公式就直接帶入計(jì)算，一樣可得答案，屬于一般題型.2．D根據(jù)題設(shè)條件和雙曲線的性質(zhì)，在三角形值尋找等量關(guān)系，得到之間的等量關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】依題意，可知三角形是一個等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知可知，根據(jù)雙曲定義可知，整理得，代入整理得，求得；∴．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率問題，正確解題的關(guān)鍵是熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，以及尋找判斷三角形中邊的關(guān)系.3．B求出的值，利用橢圓的定義可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，則.故選：B.4．B由向量的關(guān)系可得，由橢圓的定義及，可得，的值，在直角三角形中，由勾股定理可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，由，即，所以，連接可得，所以，可得，又因?yàn)?，所以，，在中，，即，可得：，解得，故選：．5．A根據(jù)題意漸近線的斜率為，所以該漸近線的方程為，所以，求得，利用，求得即可得解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，，∴該漸近線的方程為，∴，解得或（舍去），∴，∴雙曲線的離心率為．故選：A．6．B由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.7．C由方程求得后再得，從而得焦距，【詳解】由題意，所以，焦距為．故選：C．8．A根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.9．D依題意可得，的值，由橢圓的定義可得a，c的關(guān)系，即求出離心率的值．【詳解】解：依題意可得．又，，，．故選：D．10．C由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．11．A根據(jù)橢圓的離心率公式可知，橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大，比較出三個橢圓的長軸長與短軸長的比值大小，由此可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.因?yàn)?，，，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.12．A求出橢圓和雙曲線的半焦距即得解.【詳解】由題得橢圓的半焦距為，雙曲線的半焦距為，所以.故選：A13．由已知雙曲線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)所求雙曲線方程為，，根據(jù)、求得和的值即可求解.【詳解】由雙曲線可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)所求雙曲線的方程為，，由題意可得：，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故答案為：.14．畫出圖形，由，可得是的中點(diǎn)，再結(jié)合題意可得垂直平分，再由雙曲線的兩條漸近線關(guān)于對稱，從而可得，進(jìn)而可求出雙曲線漸近線方程【詳解】解：因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以垂直平分，所以，因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線關(guān)于對稱，所以，因?yàn)?所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故答案為：15．先求出，然后設(shè)出直線，讓直線與拋物線聯(lián)立，再根據(jù)向量之間的關(guān)系及韋達(dá)定理求出，再利用拋物線的定義及條件建立等式，再轉(zhuǎn)化為不等式求解即可.【詳解】由圓的方程可知，其圓心坐標(biāo)為，當(dāng)圓與軸相切可知，得，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線方程為，設(shè)斜率為的直線方程為，設(shè)，直線與拋物線聯(lián)立，，得，所以①，②所以，，而，則有，，所以③，由①，③解得，代入②有，變形得，因?yàn)椋?，所以，變形得，解?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是先求出拋物線方程，二是運(yùn)用拋物線的定義，三是解不等式.16．1或3根據(jù)題意，得到圓心在拋物線上，推出；再由拋物線的定義，得到；聯(lián)立求出；再由圓的性質(zhì)，由題中條件，得出，進(jìn)而可求出，從而可求出.【詳解】由已知得圓心在拋物線上，所以；又拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，則，所以，因?yàn)檩S被所截得的弦長為，根據(jù)圓的性質(zhì)：圓心到弦的距離的平方，與弦長一半的平方之和，等于半徑的平方；所以，故.所以，即，所以或，故或.故答案為：1或3.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程與拋物線定義的應(yīng)用，考查由圓的弦長求參數(shù)，屬于常考題型.17．(1)4(2)．（1）求出橢圓焦點(diǎn)，得拋物線焦點(diǎn)，從而得的值；（2）設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)得出一個參數(shù)值，由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部得出另一個參數(shù)的范圍，然后求出三角形面積，得出最大值．(1)在橢圓中，，所以，；(2)設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，中點(diǎn)為，則，，，，設(shè)，則，兩式相減得，所以，，，所以，解得，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，因?yàn)?，所以或，，時，，時，，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線民橢圓、拋物線相交問題，考查圓錐曲線中的面積問題．解題方法采用設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，代入曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，求得弦中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長等，把這個結(jié)論代入其他條件可求得參數(shù)關(guān)系，參數(shù)值，參數(shù)范圍等．即設(shè)參數(shù)，利用韋達(dá)定理把目標(biāo)用參數(shù)表示，進(jìn)而求最值，證明一些結(jié)論．本題考查學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，對學(xué)生的要求較高，屬于難題．18．（1）；（2）見解析.（1）分過點(diǎn)的直線斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，聯(lián)立，求得兩根只和，兩根之積，再根據(jù)半焦距公式幾塊求得p，從而得出答案；（2）不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，設(shè)直線PQ的方程為，，求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)，可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而可求的PE的斜率，聯(lián)立，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可得直線l的方程，聯(lián)立消元，利用根的判別式即可得證.【詳解】（1）解：設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，，聯(lián)立，得，則，所以，，因?yàn)椋?，化簡得，所以，?dāng)過點(diǎn)的直線斜率不存在時，則，故，又因?yàn)?，則，所以，綜上所述，，所以；（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則，設(shè)直線PQ的方程為，，聯(lián)立，消元整理得，則，即故，即，當(dāng)時，，則，又因，且點(diǎn)介于點(diǎn)點(diǎn)之間，則為的中點(diǎn)，所以，則直線的斜率為，因?yàn)橹本€平行直線，所以直線的斜率為，故直線的方程為，即，聯(lián)立，消元整理得，，所以直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)，有直線l斜率不為0，所以是拋物線的切線.19．（1）橢圓，拋物線；（2）.（1）依題意得到方程組，求出的值，即可求出拖橢圓方程，再根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出拋物線方程；（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓，利用韋達(dá)定理及弦長公式，點(diǎn)到直線的距離，求出三角形的面積，，再根據(jù)得到不等式，解得即可；【詳解】（1）根據(jù)題意得：，解得，，，拋物線焦點(diǎn)，因此橢圓，拋物線（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓，整理得：，判別式：弦長公式：，所以聯(lián)立與拋物線，整理得：，判別式：弦長公式：，所以，因?yàn)?，因此，解得：在軸上截距或，因此在軸上截距取值范圍是.20．(1)；(2)存在，λ的值為4.(1)設(shè)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)給定條件列式、化簡整理即可作答.(2)設(shè)出直線l的方程，與軌跡C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算三角形面積即可判斷作答.(1)設(shè)，而點(diǎn)，，則，，又，于是得，化簡整理得：，所以點(diǎn)D的軌跡C的方程是：.(2)存在常數(shù)，使，如圖，

依題意，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l：，，，由消去y得：，則，，，則，直線OP：，取，得點(diǎn)M橫坐標(biāo)，同理得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，則，因此有，于是得，所以存在常數(shù)，使.21．（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.（1）根據(jù)離心率及短軸的一個端點(diǎn)的坐標(biāo)可求橢圓的方程；（2）（i）求出點(diǎn)的坐