兩角和與差的正弦余弦和正切公式

第五章三角函數§551兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一探要點·究所然情境導學從兩角差的余弦公式cosα－β＝cosαcosβ＋sinαsinβ出發(fā)，你能推導出兩角和與差的三角函數的其他公式嗎？探究點一由公式Cα－β推導公式Cα＋β思考由于公式Cα－β對于任意α，β都成立，那么把其中的＋β換成－β后，也一定成立請你根據這種聯系，從兩角差的余弦公式出發(fā)，推導出用任意角α，β的正弦、余弦值表示cosα＋β的公式？答∵α＋β＝α－－β，cos－β＝cosβ，sin－β＝－sinβ，∴cosα＋β＝cos＝cosαcos－β＋sinαsin－β＝cosαcosβ－sinαsinβ即cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ思考利用誘導公式五或六可以實現正弦和余弦的互化，根據這種聯系，請你試著從差角的余弦公式出發(fā)，推導出用任意角α，β的正弦、余弦值表示sinα＋β及sinα－β的公式？探究點二由公式Cα－β推導公式Sα＋β及Sα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβ即sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβ從而，sinα－β＝sin＝sinαcos－β＋cosαsin－β＝sinαcosβ－cosαsinβ思考運用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡、求值要注意靈活進行三角函數名稱以及角的變換，善于構造符合某一公式的特征結構后，再運用公式化簡、求值如果題目中存在互余角，要善于發(fā)現和利用探究點三兩角和與差的正弦、余弦公式的應用解原式＝sin＋27°cos18°－－cos＋27°·sin－18°＝sin＋27°cos18°－＋cos＋27°sin18°－例1化簡求值：1sin＋27°cos18°－－sin63°－sin－18°；反思與感悟解答此類題一般先要用誘導公式把角化正化小，化切為弦統(tǒng)一函數名稱，然后根據角的關系和式子的結構選擇公式跟蹤訓練1化簡求值：1sin14°cos16°＋sin76°·cos74°；2sin54°－cos36°＋＋cos54°－sin36°＋；解原式＝sin＝sin90°＝1∴sinα＝sin＝sinα－βcosβ＋cosα－βsinβ反思與感悟此類題是給值求角題，步驟如下：1求所求角的某一個三角函數值；2確定所求角的范圍，此類題常犯的錯誤是對角的范圍不加討論，范圍討論的程度過大或過小，會使求出的角不合題意或者漏解，同時要根據角的范圍確定取該角的哪一種三角函數值∴sinα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβsinα－β＝sinαcosβ－cosαsinβ例3已知sin2α＋β＝3sinβ，求證：tanα＋β＝2tanα證明sin2α＋β＝3sinβ?sin?sinα＋βcosα＋cosα＋βsinα＝3sinα＋βcosα－3cosα＋βsinα?2sinα＋βcosα＝4cosα＋βsinα?tanα＋β＝2tanα反思與感悟證明三角恒等式一般采用“由繁到簡”、“等價轉化”、“往中間湊”等辦法，注意等式兩邊角的差異、函數名稱的差異、結構形式的差異當堂測·查疑缺1237°cos37°－sin83°cos53°的值是A解析原式＝sin7°cos37°－cos7°sin37°4解析sinC＝sin＝sinA＋B＝sinAcosB＋cosAsinB1234答案A1234∴f∈12341234cosα＋β＝cosαcosβ－sinαsinβ1234呈重點、現規(guī)律α±β與Sα±β的聯系、結構特征和符號規(guī)律四個公式Cα±β、Sα±β雖然形式不同、結構不同，但它們的本質是相同的，其內在聯系為cosα－β cosα＋β sinα＋β sinα－β，這樣我們只要牢固掌握“中心”公式cosα－β的由來及表達方式，也就掌握了其他三個公式對于公式Cα－β與Cα＋β，可記為“同名相乘，符號反”對于公式Sα－β與Sα＋β，可記為“異名相乘，符號同”2使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡sinβco