第6章 互感電路

第六章互感電路6.1互感與互感電壓6.2同名端及其判定6.3具有互感電路的計(jì)算6.4空芯變壓器本章小結(jié)習(xí)題

6.1互感與互感電壓

6.1.1互感現(xiàn)象

圖6.1中,設(shè)兩個(gè)線圈的匝數(shù)分別為N1、N2。在線圈1中通以交變電流i1,使線圈1具有的磁通Φ11叫自感磁通,Ψ11=N1Φ11叫線圈1的自感磁鏈。由于線圈2處在i1所產(chǎn)生的磁場(chǎng)之中,Φ11的一部分穿過(guò)線圈2,線圈2具有的磁通Φ21叫做互感磁通,Ψ21=N2Φ21叫做互感磁鏈。這種由于一個(gè)線圈電流的磁場(chǎng)使另一個(gè)線圈具有的磁通、磁鏈分別叫做互感磁通、互感磁鏈。圖6.1互感應(yīng)現(xiàn)象由于i1的變化引起Ψ21的變化,從而在線圈2中產(chǎn)生的電壓叫互感電壓。同理,線圈2中電流i2的變化,也會(huì)在線圈1中產(chǎn)生互感電壓。這種由一個(gè)線圈的交變電流在另一個(gè)

線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象。

為明確起見(jiàn),磁通、磁鏈、感應(yīng)電壓等應(yīng)用雙下標(biāo)表示。第一個(gè)下標(biāo)代表該量所在線圈的編號(hào),第二個(gè)下標(biāo)代表產(chǎn)生該量的原因所在線圈的編號(hào)。例如,Ψ21表示由線圈1產(chǎn)生

的穿過(guò)線圈2的磁鏈。

6.1.2互感系數(shù)

在非鐵磁性的介質(zhì)中,電流產(chǎn)生的磁通與電流成正比,當(dāng)匝數(shù)一定時(shí),磁鏈也與電流大小成正比。選擇電流的參考方向與它產(chǎn)生的磁通的參考方向滿足右手螺旋法則時(shí),可得

Ψ21∝i1

設(shè)比例系數(shù)為M21,則

Ψ21=M21i1

或

(6.1)

M21叫做線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù),簡(jiǎn)稱互感。

同理,線圈2對(duì)線圈1的互感為

可以證明,M12=M21(本書不作證明),今后討論時(shí)無(wú)須區(qū)分M12和M21。兩線圈間的互感系數(shù)用M表示,即

M=M12=M21

互感M的SI單位是亨(H)。

線圈間的互感M不僅與兩線圈的匝數(shù)、形狀及尺寸有關(guān),還和線圈間的相對(duì)位置及磁介質(zhì)有關(guān)。當(dāng)用鐵磁材料作為介質(zhì)時(shí),M將不是常數(shù)。本章只討論M為常數(shù)的情況。6.1.3耦合系數(shù)

兩個(gè)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通,一般情況下,只有部分相交鏈。兩耦合線圈相交鏈的磁通越多,說(shuō)明兩個(gè)線圈耦合越緊密。耦合系數(shù)k用來(lái)表示磁耦合線圈的耦合程度。

耦合系數(shù)定義為

因?yàn)?/p>

所以而Φ21≤Φ11,Φ12≤Φ22,所以有

緊密繞在一起的兩個(gè)線圈,當(dāng)

時(shí)稱全耦合。而兩線圈軸線相互垂直且在對(duì)稱位置上時(shí),k=0。所以,改變兩線圈的相互位置,可以相應(yīng)地改變M的大小。

6.1.4互感電壓

互感電壓與互感磁鏈的關(guān)系也遵循電磁感應(yīng)定律。與討論自感現(xiàn)象相似,選擇互感電壓與互感磁鏈兩者的參考方向符合右手螺旋法則時(shí),因線圈1中電流i1的變化在線圈2中產(chǎn)生的互感電壓為

(6.3)

同樣,因線圈2中電流i2的變化在線圈1中產(chǎn)生的互感電壓為

(6.4)

由式(6.3)和式(6.4)可看出,互感電壓的大小取決于電流的變化率。當(dāng)di/dt>0時(shí),互感電壓為正值,表示互感電壓的實(shí)際方向與參考方向一致;當(dāng)di/dt<0時(shí),互感電壓為

負(fù)值,表明互感電壓的實(shí)際方向與參考方向相反。

當(dāng)線圈中通過(guò)的電流為正弦交流電時(shí),如

則

同理互感電壓可用相量表示,即

式中,XM=ωM稱為互感抗,單位為歐姆(Ω)。思考題

1.互感應(yīng)現(xiàn)象與自感應(yīng)現(xiàn)象有什么異同?

2.互感系數(shù)與線圈的哪些因素有關(guān)?

3.已知兩耦合線圈的L1=0.04H,L2=0.06H,k=0.4,試求其互感。

4.U21=jωM?I1中互感電壓的參考方向與互感磁通及電流的參考方向之間有什么

關(guān)系?6.2同名端及其判定

分析線圈的自感電壓和電流方向關(guān)系時(shí),只要選擇自感電壓uL與電流i為關(guān)聯(lián)參考方向,其元件約束關(guān)系uL=L(di/dt)就成立,不必考慮線圈的實(shí)際繞向。當(dāng)線圈電流增加時(shí)(di/dt>0),自感電壓的實(shí)際方向與電流實(shí)際方向一致;當(dāng)線圈電流減少時(shí)(di/dt<0),自感電壓的實(shí)際方向與電流的實(shí)際方向相反。

分析互感線圈時(shí),需要知道線圈的繞向。如圖6.2所示,圖(a)和圖(b)的區(qū)別只是線圈2的繞向不同,其它情況相同。當(dāng)線圈1的電流i1增加時(shí),即di1/dt>0,由楞次定律知線圈2的互感電壓u21的方向在圖(a)中由注“*”號(hào)的一端指向另一端,在圖(b)中由注“Δ”號(hào)的一端指向另一端。可見(jiàn),要確定互感電壓的方向時(shí),需要知道線圈的繞向。圖6.2互感電壓與線圈繞向的關(guān)系6.2.1同名端

用同名端來(lái)反映磁耦合線圈的相對(duì)繞向,從而在分析互感電壓時(shí)不需要考慮線圈的實(shí)際繞向及相對(duì)位置。

當(dāng)兩個(gè)線圈的電流分別從端鈕1和端鈕2流進(jìn)時(shí),每個(gè)線圈的自感磁通和互感磁通的方向一致,就認(rèn)為磁通相助,則端鈕1、2就稱為同名端。如圖6.1中的兩個(gè)線圈,i1、i2分

別從端鈕a、c流入,線圈1的自感磁通Φ11和互感磁通Φ12方向一致,線圈2的自感磁通Φ22和互感磁通Φ21方向一致,則線圈1的端鈕a和線圈2的端鈕c為同名端。顯然,端鈕b和端鈕d也是同名端。而a、d及b、c端鈕則稱異名端。同名端用相同的符號(hào)“*”或“Δ”標(biāo)記。為了便于區(qū)

別,僅將兩個(gè)線圈的一對(duì)同名端用標(biāo)記標(biāo)出,另一對(duì)同名端不需標(biāo)注。

在電路理論中,把有互感的一對(duì)電感元件稱為耦合電感元件,簡(jiǎn)稱耦合電感。圖6.3所示為耦合電感的電路模型,其中兩線圈的互感為M,自感分別為L(zhǎng)1、L2。圖中“*”號(hào)表示它們的同名端。6.2.2同名端的測(cè)定

如果已知磁耦合線圈的繞向及相對(duì)位置,同名端便很容易利用其概念進(jìn)行判定。但是,實(shí)際的磁耦合線圈的繞向一般是無(wú)法確定的,因而同名端就很難判別。

測(cè)定同名端比較常用的一種方法為直流法,其接線方式如圖6.4所示。當(dāng)開(kāi)關(guān)S接通瞬間,線圈1的電流i1經(jīng)圖示方向流入且增加,若此時(shí)直流電壓表指針正偏(不必讀取指

示值),則電壓表“+”柱所接線圈端鈕和另一線圈接電源正極的端鈕為同名端。反之,電壓表指針?lè)雌?則電壓表“-”柱所接線圈端鈕與另一線圈接電源正極的端鈕為同名端。上述實(shí)驗(yàn)告訴我們一個(gè)很有用的結(jié)論:當(dāng)隨時(shí)間增大的電流從一線圈的同名端流入時(shí),會(huì)引起另一線圈同名端電位升高。判別互感線圈的同名端不僅在理論分析中很重要,而且在實(shí)際應(yīng)用中也非常重要。如變壓器使用中,經(jīng)常根據(jù)需要用同名端標(biāo)記各繞組的繞向關(guān)系。在電子技術(shù)中廣泛應(yīng)用的互感線圈,許多情況下也必須考慮互感線圈的同名端。6.2.3同名端原則

當(dāng)兩個(gè)線圈的同名端確定后,如圖6.5所示,在選擇一個(gè)線圈的互感電壓參考方向與引起該電壓的另一線圈的電流的參考方向遵循對(duì)同名端一致的原則下,有

(6.5)

其中,若di2/dt>0,按照同名端的概念u12>0,與實(shí)際情況相符。同理,若di1/dt>0,則u21>0。因此,利用同名端的概念在分析互感電路時(shí),不必考慮線圈的繞向及相對(duì)位置,但對(duì)參考方向所遵循的原則必須理解和掌握。

在正弦交流電路中,互感電壓與引起它的電流為同頻率的正弦量,當(dāng)其相量的參考方向滿足上述原則時(shí),有

(6.6)

可見(jiàn),在上述參考方向原則下,互感電壓比引起它的正弦電流超前π/2。例6.1圖6.6所示電路中,M=0.025H,i1=2sin1200tA,試求互感電壓u21。

解：選擇互感電壓u21與電流i1的參考方向?qū)ν艘恢?

如圖6.6所示,則

其相量形式為

故

所以思考題

1.試判定圖6.7(a)、(b)中各對(duì)磁耦合線圈的同名端。

2.在圖6.4中,若同名端已知,開(kāi)關(guān)原先閉合已久,若瞬時(shí)切斷開(kāi)關(guān),電壓表指針如何偏轉(zhuǎn)?為什么?這與同名端一致原則矛盾嗎?3.請(qǐng)?jiān)趫D6.8中標(biāo)出自感電壓和互感電壓的參考方向,并寫出u1和u2的表達(dá)式。6.3具有互感電路

6.3.1互感線圈的串聯(lián)

1.順向串聯(lián)

所謂順向串聯(lián),就是把兩線圈的異名端相連,如圖6.9所示。的計(jì)算

這種連接方式中,電流將從兩線圈的同名端流進(jìn)或流出。選擇電流、電壓的參考方向如圖6.9所示,則在正弦電路中有

串聯(lián)后線圈的總電壓為

其中,LF為順向串聯(lián)的等效電感:

LF=L1+L2+2M

2.反向串聯(lián)

反向串聯(lián)是兩個(gè)線圈的同名端相連,如圖6.10所示。電流從兩個(gè)線圈的異名端流入,電流、電壓按習(xí)慣選擇參考方向,如圖6.10所示,則在正弦交流電路中有

其總電壓為

其中,LR為線圈反向串聯(lián)的等效電感:

由式(6.7)和式(6.8)可以看出,兩線圈順向串聯(lián)時(shí)的等效電感大于兩線圈的自感之和,而兩線圈反向串聯(lián)時(shí)的等效電感小于兩線圈的自感之和。從物理本質(zhì)上說(shuō)明順向串聯(lián)時(shí),

電流從同名端流入,兩磁通相互增強(qiáng),總磁鏈增加,等效電感增大;而反向串聯(lián)時(shí)情況則相反,總磁鏈減小,等效電感減小。

根據(jù)LF和LR可以求出兩線圈的互感M為例6.2將兩個(gè)線圈串聯(lián)接到工頻220V的正弦電源上,順向串聯(lián)時(shí)電流為2.7A,功率為218.7W,反向串聯(lián)時(shí)電流為7A,求互感M。

解：正弦交流電路中,當(dāng)計(jì)入線圈的電阻時(shí),互感為M的串聯(lián)磁耦合線圈的復(fù)阻抗為

根據(jù)已知條件,順向串聯(lián)時(shí)有反向串聯(lián)時(shí),線圈電阻不變,根據(jù)已知條件可得

得

6.3.2互感線圈的并聯(lián)

互感線圈的并聯(lián)也有兩種連接方式,一種是兩個(gè)線圈的同名端相連,稱同側(cè)并聯(lián),如圖6.11(a)所示;另一種為兩個(gè)線圈的異名端相連,稱異側(cè)并聯(lián),如圖6.11(b)所示。在圖6.11所示電壓、電流的參考方向下,可列出如下電路方程:

（6.10）

式(6.10)中互感電壓前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。求解式(6.10)可得并聯(lián)電路的等效復(fù)阻抗Z為

（6.11）L為兩個(gè)線圈并聯(lián)后的等效電感,即

（6.12）

式(6.11)和式(6.12)的分母中,負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。

有時(shí)為了便于分析電路,將式(6.10)進(jìn)行變量代換、整理,可得如下方程:

式(6.13)中方程與圖6.12所示電路的方程是一致的,因此,用圖6.12所示無(wú)互感的電路可等效替代圖6.11所示的互感電路。圖6.12就稱為圖6.11的去耦等效電路,即消去互感后的等效電路。用去耦等效電路來(lái)分析求解互感電路的方法稱為互感消去法。

在圖6.12中,±M前面的正號(hào)對(duì)應(yīng)于互感線圈的同側(cè)并聯(lián),負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于互感線圈的異側(cè)并聯(lián)。而L1?M和L2?M中M前的負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián),正號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。同

時(shí)應(yīng)當(dāng)注意,去耦等效電路僅僅對(duì)外電路等效。一般情況下,消去互感后,節(jié)點(diǎn)將增加。有時(shí)還會(huì)遇到有互感的兩個(gè)線圈僅有一端相連接的情況,如圖6.13所示。在圖示各量

參考方向下,其端鈕間的電壓方程為

（6.14）

式中,M前的正號(hào)對(duì)應(yīng)于同側(cè)相連,負(fù)號(hào)對(duì)應(yīng)于異側(cè)相連。由于?I=?I1+?I2的關(guān)系,故式(6.14)也可寫成

由式(6.15)可得圖6.14所示的去耦等效電路模型。M前的正、負(fù)號(hào),上面的對(duì)應(yīng)于同側(cè)相連,下面的對(duì)應(yīng)于異側(cè)相連。思考題

1.圖6.15中給出了有互感的兩個(gè)線圈的兩種連接方式,現(xiàn)測(cè)出等效電感LAC=16mH,LAD=24mH,試標(biāo)出線圈的同名端,并求出M。

2.兩線圈的自感分別為0.8H和0.7H,互感為0.5H,電阻不計(jì)。試求當(dāng)電源電壓一定時(shí),兩線圈反向串聯(lián)時(shí)的電流與順向串聯(lián)時(shí)的電流之比。

3.圖6.16所示電路中,已知L1=0.01H,L2=0.02H,M=0.01H,C=20μF,R1=5Ω,R2=10Ω,試分別確定當(dāng)兩個(gè)線圈順向串聯(lián)和反向串聯(lián)時(shí)電路的諧振角頻率ω0。

4.畫出圖6.17所示電路的去耦等效電路,并求出電路的輸入阻抗。6.4空芯變壓器

變壓器是利用互感來(lái)實(shí)現(xiàn)能量傳輸和信號(hào)傳遞的電器設(shè)備。它通常由兩個(gè)互感線圈組成,一個(gè)線圈與電源相連接,稱為初級(jí)線圈;另一個(gè)線圈與負(fù)載相連接,稱為次級(jí)線圈。

若變壓器互感線圈繞在非鐵磁性材料制成的芯子上,則該變壓器稱為空芯變壓器。圖6.18所示為空芯變壓器的電路模型。圖中R1、L1分別表示初級(jí)線圈的電阻和電

感,R2、L2分別表示次級(jí)線圈的電阻和電感,兩線圈的互感為M,以上均為變壓器的參數(shù)。RL、XL為負(fù)載阻抗的電阻和電抗。當(dāng)頻率不很高時(shí),一般可以忽略原、副線圈的匝間電容。

根據(jù)圖中所示的電流、電壓參考方向和線圈的同名端,應(yīng)用KVL可以列出如下各回路電壓方程:

(（6.16）

令

其中R22=R2+RL,X22=ωL2+XL,則

求解上述方程可得

由式(6.19)可以求出空芯變壓器的輸入阻抗為

其中

Z1f稱為次級(jí)回路反射到初級(jí)回路的反射阻抗。由此可知,雖然初級(jí)回路與次級(jí)回路沒(méi)有直接的電的連接,但由于互感作用使閉合的次級(jí)電路中產(chǎn)生了次級(jí)電流,該電流又影響了初級(jí)回路。從初級(jí)回路來(lái)看,次級(jí)回路的作用可以看作是在初級(jí)回路中