高等量子力學(xué)閆學(xué)群課后參考答案

第一章量子力學(xué)基本概念和一般理論量子態(tài)矢量的定義是什么。描述微觀粒子狀態(tài)的態(tài)矢量ψ等符號(hào)代表一個(gè)復(fù)矢量，而y+是y的厄密共軛矢量或稱“對(duì)偶矢量"。用狄拉克符號(hào)記為|ψ>，表示波函數(shù)ψ的右矢；<ψ|表示左矢。右矢和左矢是互相獨(dú)立的，但存在如下關(guān)系：。請(qǐng)簡(jiǎn)述線性算符的運(yùn)算規(guī)則和性質(zhì)。(6)若由方程能夠唯一地解出|ψ>，則可定義算符A的逆算符，于是A'滿足(7)若，則U稱為幺正算符。(8)，表示算符A的函數(shù)。幺正變換的基本性質(zhì)有哪些。幺正變換具有許多非常有意義的性質(zhì)。(1)幺正變換下兩個(gè)態(tài)矢量的內(nèi)積不變。(2)幺正變換下算符方程的形式不變。(3)幺正變換下力學(xué)量算符對(duì)應(yīng)的平均值保持不變。(4)幺正變換下算符的行列式不變。(5)幺正變換下算符的本征值譜不變。(6)幺正變換下算符的跡不變。(7)利用上述性質(zhì)(6)可以給出指數(shù)算符函數(shù)的一一個(gè)有用公式。(8)可以證明，若算符R是厄米算符，即R=R+，則由它所生成的算符時(shí)間演化算符U(t，t0)的基本性質(zhì)有哪些。1.初始條件2.幺正性3.因子化特性4.時(shí)間反演特性5.薛定諤繪景中的動(dòng)力學(xué)方程矢量空間中的如下運(yùn)算規(guī)則有哪些。什么叫密度矩陣？如果采用一個(gè)具體表象，例如，F(xiàn)表象(分立情形，)，則與量子態(tài)|ψ>相應(yīng)的密度算符可表示成如下矩陣形式，稱為密度矩陣。請(qǐng)列舉混合態(tài)密度算符的性質(zhì)。第二章量子力學(xué)測(cè)量問(wèn)題從不同角度，量子測(cè)量有不同分類，常見(jiàn)的分類有哪些。(1)一般測(cè)量、投影測(cè)量和POVM；(2)直接測(cè)量和間接測(cè)量；(3)完全測(cè)量與不完全測(cè)量。理想測(cè)量的三個(gè)基本要求是什么。(1)當(dāng)t=0，即探測(cè)體和被測(cè)系統(tǒng)相互作用之前，探測(cè)體制備在量子態(tài)ρp，同時(shí)量子客體制備在ρ0態(tài)。(2)使用儀器測(cè)量之前，量子客體和探測(cè)體在t=0時(shí)開(kāi)始相互作用，在t=τ>0時(shí)結(jié)束作用。(3)此方法的第三步是，一個(gè)經(jīng)典儀器及在探測(cè)體上的測(cè)量可以用馮·諾依曼投影假設(shè)的理想測(cè)量描述。什么叫標(biāo)準(zhǔn)量子極限，標(biāo)準(zhǔn)量子極限可以逾越嗎？其中，叫作標(biāo)準(zhǔn)量子極限。標(biāo)準(zhǔn)量子極限可以逾越嗎?答案是肯定的。在得到這個(gè)極限時(shí)用了不確定關(guān)系，但是二者是不相同的。標(biāo)準(zhǔn)量子極限的具體數(shù)值依賴于量子態(tài)，與如何測(cè)量有關(guān)，而不確定關(guān)系是底線。那么，在遵守不確定性原理的前提下如何使測(cè)量精度超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限呢?目前有兩種思路：一種是以犧牲共軛量一方為代價(jià)，去求得另一方的超精度測(cè)量，這即是壓縮態(tài)的思想；另一種就是量子非破壞性測(cè)量(QuantumNon-DemolitionMeasurement，QND測(cè)量)。什么是量子Zeno效應(yīng)，在對(duì)量子系統(tǒng)進(jìn)行連續(xù)測(cè)量時(shí)，測(cè)量設(shè)備一般以兩種不同的方式反作用于量子系統(tǒng)，請(qǐng)簡(jiǎn)單描述。量子Zeno效應(yīng)是純量子測(cè)量效應(yīng)。理論和實(shí)驗(yàn)都已經(jīng)表明，頻繁的測(cè)量能阻止不穩(wěn)定量子系統(tǒng)的衰變或躍遷。極端而言，連續(xù)進(jìn)行的量子測(cè)量將使不穩(wěn)定的量子系統(tǒng)穩(wěn)定地保持在其初態(tài)上，這種不穩(wěn)定初態(tài)的存活概率在連續(xù)測(cè)量下將成為百分之百，這就是量子Zeno效應(yīng)。這種在古代哲學(xué)中提到的“飛矢不動(dòng)”的佯謬，在量子系統(tǒng)中真的可以實(shí)現(xiàn)。在對(duì)量子系統(tǒng)進(jìn)行連續(xù)測(cè)量時(shí)，測(cè)量設(shè)備一般以兩種不同的方式反作用于量子系統(tǒng)。其一，它可以影響被測(cè)量的可觀測(cè)值的期望值的演化。這被稱為“動(dòng)力學(xué)反作用”，這種影響是可以預(yù)測(cè)的。其二，測(cè)量設(shè)備以隨機(jī)的方式擾動(dòng)這個(gè)可觀測(cè)量，增加它們的不確定性，從而造成對(duì)期.望值的隨機(jī)偏離。第一種情況可以通過(guò)構(gòu)造合適的測(cè)量設(shè)備來(lái)加以避免；而第二種作用是基本的、無(wú)法去除的。第三章二次量子化方法什么是二次量子化方法。二次量子化方法是研究全同粒子組成的多粒子體系的一種常用方法，是現(xiàn)代多體理論及場(chǎng)論的基礎(chǔ)。眾所周知，對(duì)于單粒子體系，不存在粒子交換問(wèn)題，粒子的性質(zhì)在不考慮自旋時(shí)由坐標(biāo)算符x(為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，此處只寫(xiě)出一維)和動(dòng)量算符p構(gòu)成一對(duì)正則共軛量，它們的對(duì)易關(guān)系定義了單粒子量子力學(xué)。但是在多粒子體系中，由于粒子不止一個(gè)，體系的性質(zhì)當(dāng)然不能再由一個(gè)粒子的坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符描述。諧振子相干態(tài)的定義以及表達(dá)式是什么。歷史上最早定義的相干態(tài)為諧振子相干態(tài)，它是諧振子的一些量子力學(xué)狀態(tài)，處于這些態(tài)中的粒子按量子力學(xué)規(guī)律運(yùn)動(dòng)，與在同一勢(shì)場(chǎng)中具有相同能量的經(jīng)典粒子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)最為接近。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們討論一維運(yùn)動(dòng)。經(jīng)典諧振子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律x(t)與其能量表達(dá)式為相干態(tài)的基本性質(zhì)有哪些？(1)聲子數(shù)不確定，且呈泊松分布。(2)具有最小不確定性。(3)不具有正交性，但仍可歸一化。(4)具有完全性，形成完全集。壓縮算符定義即它的性質(zhì)。首先定義如下壓縮算符：它具有如下性質(zhì)：請(qǐng)闡述二次量子化方法共有兩條規(guī)定。(1)將普通場(chǎng)量函數(shù)替換為非對(duì)易的場(chǎng)算符。替換的主要內(nèi)容就是規(guī)定對(duì)易規(guī)則。(2)維持原來(lái)方程形式不變，只將原來(lái)的普通函數(shù)替換成場(chǎng)算符。對(duì)薛定諤方程可以嚴(yán)格證明，這種二次量子化程式正是將單粒子薛定諤方程轉(zhuǎn)化為該粒子全同多粒子薛定諤方程的方法。全同粒子系統(tǒng)的算符通?？梢苑譃閹追N類型。(1)單體算符，如式(3.103)中的第一部分，其中每一項(xiàng)僅僅涉及單個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)特征；(2)兩體算符，如式(3.103)中的第二部分，這是多體系統(tǒng)中的兩體相互作用能部分，涉及兩個(gè)粒子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)特征。(3)多體算符，這類和式中的算符每一項(xiàng)都涉及三個(gè)或更多粒子的運(yùn)動(dòng)特征，這類算符并不常見(jiàn)。第四章輻射場(chǎng)的量子化及其與物質(zhì)的相互作用經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)中給出的電磁場(chǎng)能量密度和總能量公式分別是什么。電磁場(chǎng)能量密度場(chǎng)的總能量公式為什么是JC模型？我們得到頻率為v的單模量子化場(chǎng)與-一個(gè)兩能級(jí)原子相互作用的系統(tǒng)的哈密頓算符為其中，式(4.47)稱作Jaynes-Cummings哈密頓量，相應(yīng)的模型稱作JC模型。用哪三種方法求解JC模型。1.概率幅方法2.海森伯算符方法3.幺正時(shí)間演化算符方法經(jīng)典電磁場(chǎng)轉(zhuǎn)化為量子場(chǎng)的算符有幾種方法。(1)考慮光子是玻色子，所以取如下同時(shí)性對(duì)易關(guān)系：(2)在前面建立的自由電磁場(chǎng)量子化理論的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在進(jìn)一步將場(chǎng)算符分解為簡(jiǎn)正模式。第五章開(kāi)放量子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)量子理論在哪些方面有重大的改變和發(fā)展。統(tǒng)所做的局部觀測(cè)和統(tǒng)計(jì)性研究，導(dǎo)致量子理論在以下三個(gè)方面的重大改變和發(fā)展：其一，產(chǎn)生了不同于純態(tài)的混態(tài)概念；其二，混態(tài)的演化不再像純態(tài)遵守幺正和可逆的薛定諤方程，而是遵守一般是非幺正和不可逆的“主方程”；其三，測(cè)量過(guò)程一般不再是正交投影，而是非正交投影。開(kāi)放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的定義，總哈密頓量的公式是什么。一般來(lái)說(shuō)，開(kāi)放系統(tǒng)是指一個(gè)量子系統(tǒng)S耦合到另一一個(gè)稱作環(huán)境的量子系統(tǒng)B的系統(tǒng)。因此，它是復(fù)合系統(tǒng)S+B的子系統(tǒng)。多數(shù)情況下假設(shè)復(fù)合系統(tǒng)是封閉的，遵循哈密頓動(dòng)力學(xué)，然而，子系統(tǒng)s的狀態(tài)將隨其內(nèi)部動(dòng)力學(xué)和與環(huán)境的相互作用而改變。相互作用導(dǎo)致某種系統(tǒng)——環(huán)境關(guān)聯(lián)，以致一般情況下，s態(tài)的變化下不再是幺正的、哈密頓動(dòng)力學(xué)的變化，子系統(tǒng)S的動(dòng)力學(xué)由總系統(tǒng)哈密頓演化驅(qū)動(dòng)常稱作約化系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，并且S也被稱作約化系統(tǒng)。設(shè)Hs是系統(tǒng)的希爾伯特空間，Hg是環(huán)境的希爾伯特空間?？傁到y(tǒng)S+B的希爾伯特空間由張量積表示?？偣茴D量H(t)為馬爾科夫量子主方程怎么寫(xiě)，。如果量子動(dòng)力學(xué)半群存在，在某種數(shù)學(xué)條件下(見(jiàn)下面)，一個(gè)線性映射L，即半群的生成元，可以表示成如下指數(shù)形式：由此，立刻可以得到開(kāi)放系統(tǒng)約化密度矩陣的一階微分方程上式方程式叫作馬爾科夫量子主方程。借助本征算符的性質(zhì)可以得到的近似有哪些。第一個(gè)近似是弱耦合假設(shè)，這個(gè)假設(shè)允許將精確的運(yùn)動(dòng)方程展開(kāi)到密度矩陣二階項(xiàng)，結(jié)合條件，導(dǎo)致對(duì)主方程的玻恩近似。第二個(gè)近似是馬爾科夫近似，將密度矩陣ρs(s)用當(dāng)前時(shí)刻的密度矩陣ρs(t)代替。再者，將積分限推至無(wú)窮大得到主方程的玻恩-馬爾科夫近似。玻恩-馬爾科夫近似相關(guān)的物理?xiàng)l件是，系統(tǒng)和庫(kù)的關(guān)聯(lián)時(shí)間τB比系統(tǒng)的弛豫時(shí)間τR小很多，即。最后，在旋波近似中，對(duì)于比例于的快速振蕩項(xiàng)中的部分可忽略，這使得量子主方程為L(zhǎng)indblad形式。相應(yīng)的物理?xiàng)l件是，問(wèn)題中涉及頻率差的倒數(shù)。第六章開(kāi)放系統(tǒng)退相干請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明庫(kù)系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)。這個(gè)模型的優(yōu)點(diǎn)是：一方面，它顯示出了退相干的幾個(gè)重要特性；另一方面，它又足夠簡(jiǎn)單并精確可解。正如下面將要看到的，模型以最純粹的形式顯示退相干，也就是沒(méi)有布居衰減的量子相千破壞。根據(jù)退相干函數(shù)分析三個(gè)時(shí)間不同的函數(shù)。(1)短時(shí)間范圍。在這個(gè)范圍內(nèi)，Γ的值隨時(shí)間t的平方增加(2)真空范圍。這里，退相干函數(shù)可以近似地寫(xiě)為(3)熱范圍。這個(gè)范圍也可以稱作馬爾科夫范圍，因?yàn)橥讼喔珊瘮?shù)的數(shù)值隨時(shí)間線性增加，有對(duì)粒子散射的兩種限度情況進(jìn)行分析討論。首先，假設(shè)的，其中k0是散射粒子的典型波數(shù)。表達(dá)式(6.106)中指數(shù)平均為零，由此得到式中，σ(k)是總橫截面，γscatt是總散射率，類似于兩個(gè)內(nèi)部能級(jí)轉(zhuǎn)換引起的退相干，散射引起的退相干飽和于大的距離△x，并且以等于總散射率的比率發(fā)生。退相干函數(shù)的飽和容易被獲知：對(duì)于，散射粒子的波長(zhǎng)小于距離△x。因此，一個(gè)單個(gè)的散射反應(yīng)對(duì)定位客體系統(tǒng)即已提供了充足的信息。進(jìn)一步增加△x不可能增強(qiáng)這個(gè)信息。其次，對(duì)于小距離，，我們發(fā)現(xiàn)引入球坐標(biāo)以至于，則有式中上式被視為有效橫截面簡(jiǎn)單描述原子與腔場(chǎng)模相互作用實(shí)驗(yàn)的基本思想。首先，讓我們簡(jiǎn)單描述實(shí)驗(yàn)的基本思想。第一個(gè)諧振器R1用來(lái)制備原子在狀態(tài)|e>和|g>的某個(gè)疊加態(tài)。初始時(shí)刻，腔C包含一個(gè)較小的相干態(tài)|a>。正像下面將要說(shuō)明的，原子和腔C中的場(chǎng)相互作用有效地驅(qū)動(dòng)場(chǎng)態(tài)的相移±φ，其中的符號(hào)由原子態(tài)誘發(fā)。因此，第一個(gè)原子A1和腔C中的場(chǎng)相互作用導(dǎo)致兩個(gè)原子態(tài)和兩個(gè)相分量|aexp(±iφ)|之間的糾纏。第二個(gè)諧振器R2驅(qū)動(dòng)A1狀態(tài)的進(jìn)一步混合，以至于在場(chǎng)發(fā)射探測(cè)器De和Dg驅(qū)動(dòng)中原子態(tài)最終測(cè)量不給出任何有關(guān)態(tài)的信息。結(jié)果，A1上的狀態(tài)測(cè)量投影C中的場(chǎng)在一個(gè)兩相分量的薛定諤貓型疊加態(tài)上，兩相分量在復(fù)平面上被2φ分開(kāi)。忽略瞬時(shí)場(chǎng)阻尼、歸一化因子及再相因子，這個(gè)態(tài)實(shí)質(zhì)上取如下形式：.指針基的動(dòng)力學(xué)選擇與正統(tǒng)的量子力學(xué)解釋矛盾嗎？為什么嗎？并不矛盾，必須認(rèn)識(shí)到，上面討論的問(wèn)題與正統(tǒng)的量子力學(xué)解釋并不矛盾。因?yàn)樗挥性谌藗兙芙^對(duì)儀器的可觀測(cè)量給出肯定的決定和拒絕應(yīng)用約化假設(shè)的時(shí)候才會(huì)有上面的討論結(jié)果。然而，情況還是有些不能令，人滿意，因?yàn)榘凑杖粘＝?jīng)驗(yàn)，如果一個(gè)測(cè)量設(shè)備被設(shè)計(jì)出來(lái)用于測(cè)量某物理量，如動(dòng)量，則它只能測(cè)量動(dòng)量，而不能測(cè)量位置。測(cè)量系統(tǒng)可觀測(cè)量的這種模糊性明顯是由于系統(tǒng)一儀器相互作用不固定在儀器的希爾伯特空間HM(或某個(gè)子空間)唯一的基矢|Mn>上。這種模糊性，只有對(duì)于某些原因，當(dāng)一個(gè)具體基矢被挑出，即只有一一個(gè)具體的物理量(或是它的某個(gè)函數(shù))可能在M上被測(cè)量，才有可能避免。系統(tǒng)可觀測(cè)量由儀器測(cè)量，然而卻由對(duì)應(yīng)的相關(guān)態(tài)|Sn>集合確定。第七章形式散射理論T矩陣的方程式以及怎么用T矩陣求躍遷率。完成式(7.10)的積分并令t0→-∞后得當(dāng)r≠s時(shí)按照上述方式定義的矩陣T稱為躍遷矩陣。式(7.12)表示，一旦求出T矩陣，就可以給出躍遷概率。由式(7.12)得到，從s態(tài)到r態(tài)的躍遷速率為什么是S矩陣，應(yīng)滿足什么條件。為了使散射理論的公式具有更明顯的對(duì)稱性，在量子力學(xué)和量子場(chǎng)論中用得更多的是散射矩陣，或稱S矩陣。下面將看到：S矩陣和T矩陣一對(duì)應(yīng)，實(shí)質(zhì)上是完全一樣的，不過(guò)是換了一種對(duì)稱更明顯的表述方式。由于是完備系，可以將展開(kāi)，有式(7.56)的右端不包含分立的束縛態(tài)，因?yàn)檫@些態(tài)都和正交。由散射態(tài)的正交歸一條件得矩陣S稱為散射矩陣或簡(jiǎn)稱S矩陣。S矩陣具有下述性質(zhì)有哪些。1.S矩陣具有幺正性，滿足2.S矩陣和演化算符的關(guān)系式(7.75)表示，S矩陣對(duì)應(yīng)的算符等于體系從t→-∞開(kāi)始，經(jīng)散射后，演化到t→+∞的演化算符。算符S稱為幺正散射算符。它的矩陣元Srq表示若體系在t→-∞時(shí)處在無(wú)微擾的本征態(tài)ψq，則經(jīng)過(guò)散射和相互作用后，在t→+∞時(shí)體系處在ψr態(tài)的概率振幅。S矩陣與體系的性質(zhì)、體系的哈密頓算符有關(guān)，因?yàn)檠莼惴鸘決定于體系的哈密頓算符H。3.S矩陣的轉(zhuǎn)動(dòng)不變性和分波法4.S矩陣的幺正性和光學(xué)定理5.S矩陣的時(shí)間反演對(duì)稱性請(qǐng)寫(xiě)出戴遜(Dyson)方程以及玻恩級(jí)數(shù)的方程式。式(7.43)稱為戴遜(Dyson)方程。它既可以用算符的形式寫(xiě)出，也可以用態(tài)的形式給出。由式(7.20)，進(jìn)行反復(fù)迭代后有波函數(shù)的戴遜方程式(7.44)是玻恩級(jí)數(shù)，它一直可以做到任意級(jí)。它的一級(jí)近似就是玻恩一級(jí)近似。第八章形式散射理論請(qǐng)寫(xiě)出克萊因-高登方程的方程式以及怎么理解“負(fù)能量”的問(wèn)題。上式即為克萊因-高登方程。在相對(duì)論力學(xué)中，負(fù)能量的出現(xiàn)幾乎是不可避免的。在經(jīng)典力學(xué)中，由于粒子的初始能量為正，運(yùn)動(dòng)過(guò)程又必須保持能量守恒，因此以后任何時(shí)刻，能量也必然為正，不會(huì)引起麻煩。在量子力學(xué)中，負(fù)能量問(wèn)題必須另外考慮。因?yàn)槿粲胸?fù)能級(jí)存在，而且按式(8.8)，k越大，E負(fù)得越大。粒子從負(fù)的數(shù)值小的較高能級(jí)向負(fù)的數(shù)值大的較低能級(jí)躍遷，將不斷放出能量。于是體系將不會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定態(tài)。這個(gè)結(jié)果當(dāng)然是不合理的。分析一下克萊因-高登方程為什么會(huì)出現(xiàn)負(fù)概率問(wèn)題的原因。先分析一下克萊因-高登方程出現(xiàn)負(fù)概率問(wèn)題的原因。由于克菜因-高登方程是對(duì)時(shí)間的二階微分方程，初始條件必須同時(shí)由決定。而概率流守恒定律或連續(xù)性方程是ρ對(duì)時(shí)間的一階微分方程，為使它和克萊因-高登方程一致，ρ必